Đề số 13 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) x x x x 2 2 1 2 3 5 lim 1 → + − − b) x x x x 3 1 1 lim 1 + → + + − Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x mx x m 3 2 2 0− − + = luôn có nghiệm với mọi m. Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1. x x x khi x 1 f x x a x a khi x = 1 3 2 2 2 ( ) 3 3 − + − ≠ = + + Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số: a) y x x x x 2 4 2 3 1 3 1= + + − + b) x x y x x cos sin = + Bài 5: Cho đường cong (C): y x x 3 2 3 2= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y x 1 1 3 = − + . Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, a OB 3 3 = , SO ABCD( )⊥ , SB a= . a) Chứng minh: SAC ∆ vuông và SC vuông góc với BD. b) Chứng minh: SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥ c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 13 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: a) x x x x x = x x 2 2 1 1 2 3 5 2 5 7 lim lim 1 2 1 → → + − + = + − b) x x x x 3 1 1 lim 1 + → + + − Ta có x x x x x x x x x x 3 1 1 3 1 lim ( 1) 0 1 1 0 lim 1 lim ( 1) 3 0 + + + → → → − = + + − > ⇒ = +∞ − + + = > Bài 2: Xét hàm số f x x mx x m 3 2 ( ) 2= − − + ⇒ f(x) liên tục trên R. • f m m f m f f m m 3 4 ( ) , (0) (0). ( )= − = ⇒ = − • Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0 • Nếu m 0≠ thì f f m m(0). ( ) 0, 0< ∀ ≠ ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m) hoặc (m; 0). Vậy phương trình x mx x m 3 2 2 0− − + = luôn có nghiệm. Bài 3: x x x khi x 1 f x x a x a khi x = 1 3 2 2 2 ( ) 3 3 − + − ≠ = + + • x x x x x x x x f x x a x a 3 2 2 1 1 1 2 2 ( 1)( 2) lim ( ) lim lim 3 3 → → → − + − − + = = + + • Nếu a = –3 thì x x x x x x f x x 2 2 1 1 1 ( 1)( 2) 2 lim ( ) lim lim 1 0 3( 1) 3 → → → − + + = = = > − và f (1) 0= nên hàm số không liên tục tại x = 1 • Nếu a ≠ –3 thì x x x x f x x a 2 1 1 ( 1)( 2) lim ( ) lim 0 3 → → − + = = + , nhưng f a(1) 3 0= + ≠ nên hàm só không liên tục tại x = 1. Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1. Bài 4: a) y x y'= x x x x x x x 2 4 2 3 5 2 3 1 2 3 6 4 3 1 2 3 1 = + + − + ⇒ − + + − + b) x x x x x y y x x x x 2 cos sin cos sin sin + = + ⇒ = ⇒ x x x x x x x y x x x x x x x x 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos 1 ' sin cos (1 cot ) sin sin − − − = + = − − + − + Bài 5: y x x 3 2 3 2= − + ⇒ y x x 2 ' 3 6= − a) x y y 0 0 2 2, (2) 0 ′ = ⇒ = − = ⇒ PTTT y 2= − . b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 1 1 3 = − + nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3. Gọi x y 0 0 ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ x x x x x x 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 6 3 2 1 0 1 2 = − − = ⇔ − − = ⇔ = + 2 • Với x y 0 0 1 2 2= − ⇒ = ⇒ PTTT: ( ) y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − + + ⇔ = + − • Với x y 0 0 1 2 2= + ⇒ = − ⇒ PTTT: ( ) y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − − − ⇔ = − − Bài 6: a) • Chứng minh: SAC ∆ vuông + a a a SO SB OB a SO SO 2 2 2 2 2 2 2 3 6 6 9 9 3 = − = − ⇔ = ⇔ = . + a a OA OC BC OB a SO 2 2 2 2 3 6 9 3 = = − = − = = . ⇒ tam giác SAC vuông tại S. • Chứng minh SC ⊥ BD BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC. b) • Chứng minh: SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥ Gọi H là trung điểm của SA. a SA a SA OA OH 2 3 3 2 3 2 3 = = ⇒ = = ⇒ OH OB OD= = ⇒ ∆HBD vuông tại H ⇒ DH ⊥ BH (1) • ∆SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA ⇒ OH ⊥ SA (2) • SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD BD SAC SA BD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (3) • Từ (2) và (3) ta suy ra SA ⊥ (HBD) ⇒ SA ⊥ HD (4) Từ (1) và (4) ta suy ra DH ⊥ (SAB), mà DH ⊂ (SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB) • Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒ ∆IBD vuông tại I ⇒ ID ⊥ BI (5) • a a SD SO OD a CD 2 2 2 2 6 3 9 9 = + = + = = ⇒ ∆DSC cân tại D, IS = IC nên ID ⊥ SC (6) Từ (5) và (6) ta suy ra ID ⊥ (SBC), mà ID ⊂ (SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD). c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên a d SA BD OH 3 ( , ) 3 = = . ============================ 3 I K H O A B D C S . Đề số 13 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) x x x x 2 2 1 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 13 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: a) x x x x x = x x 2 2 1 1 2 3. nên hàm số không liên tục tại x = 1 • Nếu a ≠ –3 thì x x x x f x x a 2 1 1 ( 1)( 2) lim ( ) lim 0 3 → → − + = = + , nhưng f a(1) 3 0= + ≠ nên hàm só không liên tục tại x = 1. Vậy không có giá