Đề số 7 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x 3 2 1 2 3 1 lim 1 →− + − + b) ( ) x x x x 2 lim 1 →+∞ + + − Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 2= : x khi x f x x x khi x 2( 2) 2 ( ) ² 3 2 2 2 − ≠ = − + = Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) x y x 2 2 1 2 − = − b) y x 2 cos 1 2= − Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 . Gọi I là trung điểm của SO. a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD). c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD. II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình : x x 5 3 1− = có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2). Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y xcot2= . Chứng minh rằng: y y 2 2 2 0 ′ + + = . b) Cho hàm số x y x 3 1 1 + = − có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình: x x 17 11 1= + có nghiệm. Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số x y x 3 4 − = + . Chứng minh rằng: y y y 2 2 ( 1) ′ ′′ = − . b) Cho hàm số x y x 3 1 1 + = − có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x y2 2 5 0+ − = . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 7 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) x x x x x x x x x 3 2 2 1 1 2 3 1 ( 1)(2 1) lim lim 1 1 →− →− + − + + − = + + 0,50 x x x 2 1 lim (2 1) 0 →− = + − = 0,50 b) ( ) x x x x x x x x x 2 2 1 lim 1 lim 1 →+∞ →+∞ + + + − = + + + 0,50 2 1 1 1 lim 2 1 1 1 1 x x x x →+∞ + = = + + + 0,50 2 x x x x f x x x x 2 2 2 2( 2) 2 lim ( ) lim lim 2 ( 1)( 2) 1 → → → − = = = − − − (1) 0,50 f(2) = 2 (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta suy ra f(x) liên tục tại x = 2 0,25 3 a) x x x y y x x 2 2 2 2 1 2 8 1 ' 2 ( 2) − − + = ⇒ = − − 0,50 b) 2 2 2 2 sin 1 2 cos 1 2 ' 1 2 x x y x y x − = − ⇒ = − 0,50 4 0,25 a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB. S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM) Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*) 0,25 I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**) Từ (*) và (**) ta suy ra IH = 2 OK 0,25 a a OK d I SCD IH OK OM SO a 2 2 2 2 1 1 1 4 3 3 ( ,( )) 2 4 3 = + = ⇒ = ⇒ = = 0,25 b) SMC SNC c c c MQ SC NQ SC( . . )∆ = ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 · SCD SCB SC SCD SCB MQN( ) ( ) (( ),( ))∩ = ⇒ = 0,25 2 2 2 2 2 2 3 4SM OM SO a a a= + = + = 0,25 2 SMC∆ : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 5 4 4 a MQ MQ MS MC a a a = + = + = ⇒ = · MQ NQ MN MQN MQ NQ 2 2 2 cos . + − ⇒ = = · 0 1 120 2 MQN− ⇒ = 0,25 c) AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD). Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC 0,50 a d AC BD OP OP SO OD a a a 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 30 ( , ) 5 3 2 6 = + = + = ⇒ = = 0,50 5a Gọi f x x x 5 ( ) 3 1= − − liên tục trên R 0,25 f f f f( 1) 1, (0) 1 ( 1). (0) 0− = = − ⇒ − < 0,50 ⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25 6a a) y xcot2= ⇒ y x 2 2 sin 2 ′ = − 0,25 y y x x 2 2 2 2 2 2 2cot 2 2 sin 2 ′ + + = − + + 0,25 x x 2 2 2(1 cot 2 ) 2cot 2 2= − + + + 0,25 2 2 2 2cot 2 2cot 2 2 0x x= − − + + = 0,25 b) x y x 3 1 1 + = − ⇒ y x 2 4 ( 1) ′ = − 0,50 k y (2) 4 ′ = = 0,25 ⇒ PTTT: y x4 15= − 0,25 5b Gọi f x x x 17 11 ( ) 1= − − ⇒ f x( ) liên tục trên R 0,25 f(0) = –1, f 17 11 11 6 (2) 2 2 1 2 (2 1) 1 0= − − = − − > ⇒ f f(0). (2) 0< 0,50 ⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm 0,25 6b a) x y x 3 4 − = + ⇒ y y x x 2 3 7 14 ' " ( 4) ( 4) − = ⇒ = + + 0,25 y x x 2 4 4 49 98 2 2. ( 4) ( 4) ′ = = + + (*) 0,25 x y y x x x x x 3 3 4 3 14 7 14 98 ( 1) 1 . . 4 4 ( 4) ( 4) ( 4) − − − − ′′ − = − = = ÷ + + + + + (**) 0,25 Tử (*) và (**) ta suy ra: y y y 2 2 ( 1) ′ ′′ = − 0,25 b) Vì tiếp tuyến vuông góc với d: x y2 2 5 0+ − = nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 0,25 Gọi x y 0 0 ( ; ) là toạ độ tiếp điểm. x f x k x x x 02 0 0 2 0 0 1 4 ( ) 1 ( 1) 4 ( 1) 3 = − ′ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = 0,25 Với x y PTTT y x 0 0 1 1 := − ⇒ = − ⇒ = 0,25 Với x y PTTT y x 0 0 3 5 : 8= ⇒ = − ⇒ = − 0,25 3 . 0) 0 ,25 6a a) y xcot2= ⇒ y x 2 2 sin 2 ′ = − 0 ,25 y y x x 2 2 2 2 2 2 2cot 2 2 sin 2 ′ + + = − + + 0 ,25 x x 2 2 2( 1 cot 2 ) 2cot 2 2= − + + + 0 ,25 2 2 2 2cot 2 2cot 2 2 0x x= − − + + = 0 ,25 b) x y x 3. ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 20 10 – 2 011 MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 7 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) x x x x x x x x x 3 2 2 1 1 2 3 1 ( 1) (2 1) lim lim 1 1 →− →− + − + + − = + + 0,50 x x x 2 1 lim. = = 0 ,25 b) SMC SNC c c c MQ SC NQ SC( . . )∆ = ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0 ,25 · SCD SCB SC SCD SCB MQN( ) ( ) (( ),( ))∩ = ⇒ = 0 ,25 2 2 2 2 2 2 3 4SM OM SO a a a= + = + = 0 ,25 2 SMC∆ : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1