Đề thi thử đại học môn Toán (8)

TRUNG TÂM LUYN THI I HC  THI TH TUYN SINH I HC NM 2011 THPT CHUYÊN LÝ T TRNG CN TH Môn thi: TOÁN; khi A Thi gian làm bài: 180 phút, không k phát đ PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7 đim) Câu I (2 đim) Cho hàm s 13 3  xxy (1) 1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s (1). 2. nh m đ phng trình sau có 4 nghim thc phân bit: mmxx 33 3 3  Câu II (2 đim) 1. Gii phng trình: 22 4 4 (2 sin 2 )(2cos cos ) cot 1 2sin x xx x x   2. Gii h phng trình: 22 2 50 (, ) 2510 xy xy x y xy xy y y         ฀ Câu III (1 đim) Tính 2 cos 8 sin 2 cos2 2 x dx xx        Câu IV (1 đim) Cho hình chóp S.ABC có mt phng (SAC) vuông góc vi mt phng (ABC), ,2SA AB a AC a  và ฀ ฀ 0 90 .ASC ABC Tính th tích khi chóp S.ABC và cosin ca góc gia hai mt phng (SAB), (SBC). Câu V (1 đim) Cho ba s thc dng a, b, c tha mãn: a.b.c = 1. Tìm giá tr ln nht ca biu thc: ab bc ca T ababbcbccaca     PHN T CHN (3 đim) - Thí sinh ch đc làm mt trong hai phn (phn A hoc phn B) A. Theo chng trình Chun Câu VI.a (2 đim) 1. Trong mt phng ta đ Oxy , cho hai đim (4; 1), ( 3; 2)AB  và đng thng :3 4 42 0xy . Vit phng trình đng tròn ()C đi qua hai đim ,A B và tip xúc vi đng thng . 2. Trong không gian ta đ Oxyz, cho bn đim A(6; 6; 6), B(4; 4; 4), C( 2; 10; 2) và S(2; 2; 6). Chng minh O, A, B, C là bn đnh ca mt hình thoi và hình chiu vuông góc ca S trên mt phng (OABC) trùng vi tâm I ca OABC. Tính khong cách gia hai đng thng SO và AC. Câu VII.a (1 đim) Gii phng trình: 2 33 (2 1)log (4 9)log 14 0xxxx B. Theo chng trình Nâng cao Câu VI.b (2 đim) 1. Trong mt phng ta đ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1; 0), B(3; 2) và ฀ 0 120 .ABC Xác đnh ta đ hai đnh C và .D 2. Trong không gian ta đ Oxyz, cho ba đim A, B, C ln lt di đng trên các tia Ox, Oy và Oz sao cho mt phng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua đim M(1; 2; 3). Xác đnh ta đ các đim A, B, C đ th tích khi t din OABC đt giá tr nh nht. Câu VII.b (1 đim) www.VNMATH.com Gii h phng trình: 22 2 33 33279 (, ) log ( 1) log ( 1) 1 xy x y xy xy xy            ฀ Ht Thí sinh không đc s dng tài liu. Cán b coi thi không gii thích gì thêm. H và tên thí sinh:…………………………………………… S báo danh…………… ÁP ÁN – THANG IM Môn thi: TOÁN; khi: A Câu áp án im 1. (1,0 đim)  Tp xác đnh: D = ฀  S bin thiên: - Chiu bin thiên: 22 '3 3,'0 3 30 1,(1)3,(1) 1yx y x x y y   0,25 Hàm s đng bin trên mi khong (; 1) và (1; +), nghch bin trên khong (1; 1) - Cc tr: + Hàm s đt cc tiu ti x = 1 và y CT = y(1) = 1; + Hàm s đt cc đi ti x = -1 và y C = y(-1) = 3. - Gii hn: xx lim , lim     0,25 Bng bin thiên: 0,25 '' 6 , '' 0 6 0 0, (0) 1yxy x xy  đim un I(0; 1)  th: đi qua các đim (2; 1), (2; 3) và nhn đim un I(0; 1) là tâm đi xng. 0,25 2. (1,0 đim) Phng trình đã cho là phng trình hoành đ giao đim gia đ th (C’) ca hàm s: 13 3  xxy và đng thng (d): 13 3  mmy ((d) cùng phng vi trc hoành) Xét hàm s: 13 3  xxy , ta có: + Hàm s là mt hàm chn nên (C’) nhn trc Oy làm trc đi xng, đng thi 0x thì 3 3 31 31 y xxxx 0,25 I (2,0 đim) T đó (C’) đc suy t (C) nh  hình bên: 0,25  1 y’(x) y(x)  +  1 0 0 + +  3  1  +  x y 0 1  2  1 2 1       1 3 x y 1 1 1   3  (d) www.VNMATH.com + Da vào đ th (C’) ta suy ra điu kin ca m đ phng trình đã cho có 4 nghim phân bit là: 3 3 3 23 30 1311 03 320 1 m mm mm m mm m                           0,5 1. (1,0 đim) 1) K: ,xkk  ฀ Vi K trên phng trình đã cho tng đng vi: 44 22 222 1 cos sin (2 sin 2 )(cos cos ) 2 11 1 sin 2 (2 sin 2 )(cos cos ) 22 x xxxx x xx x +=- - Û- = - - 0,25 222 2 2 1 2 sin 2 2(2 sin 2 )(cos cos ) 1 2cos cos 2 2cos cos 1 0 x xx x xx xx -=- - Û=- Û = 0,25 2 2 2,( ) 3 xl x llZ p p p é = ê ê Û ê =± + Î ê ë 0,25 II (2,0 đim) So vi điu kin ta suy ra nghim ca phng trình là 2 2, 3 xll p p=± + ΢ 0,25 2. (1,0 đim) Nhn xét: H đã cho không có nghim (x; 0), nên tng đng vi: 2 50 1 250 x xxy y xy y           0,25 1 ()( )6 1 5 xyx y xyx y            0,25 www.VNMATH.com A S C B M H 2 () 1 3 3 () 1 2 xy I x y xy I I x y                         0,25 Gii các h (I), (II) ta đc nghim ca h là:                   2 51 ; 2 55 ; 2 51 ; 2 55 0,25 2 cos 1cos(2 ) 1 8 4 sin 2 cos2 2 2 2 1sin(2 ) 4 x x dx dx xx x             0,25 2 cos(2 ) 1 4 22 1sin(2 ) sin( ) cos( ) 4 88 x dx dx x xx                              0,25 III (1,0 đim) 2 cos(2 ) 11 4 3 2 22 1sin(2 ) sin( ) 48 x dx dx xx                    0,25 13 ln 1 sin(2 ) cot( ) 48 42 x xC          0,25 + K SH vuông góc AC (H  AC)  SH  (ABC)  3 3, , 2 a SC BC a SH  2 3 2 ABC a S    3 . 1 . 34 S ABC ABC a VSSH   0,25 + Gi M là trung đim SB và  là góc gia hai mt phng (SAB) và (SBC). Ta có: SA = AB = a, SC BC a 3  AM  SB và CM  SB  ฀ cos cos AMC   0,25 + SAC = BAC  36 22 aa SH BH SB  0,25 IV (1,0 đim) AM là trung tuyn SAB nên: 2222 2 22 10 416 AS AB SB a AM   10 4 a AM 0,25 www.VNMATH.com Tng t: 42 4 a CM  ฀ 222 AM CM AC 105 cos AMC 2.AM.CM 35    Vy: 105 cos 35   t 111 ,,abc x yz . Khi đó theo gi thit ta có x, y, z là 3 s thc dng tha mãn: xyz = 1 và biu thc T đc vit li: 111 111 T x yyzzx     0,25 Ta luôn có Bđt thc đúng:   2 3 22 3 3 333 0 x yxxyyxy     3 22 3 33 33 33 111 x yxyxxyy xyxy              3 3 33 1 x yxyxyz   3 3 3 3 1 1 z xy x yz    (1) 0,25 Tng t: 3 3 3 3 1 1 x yz x yz    (2); 3 3 3 3 1 1 y zx x yz    (3) 0,25 V (1,0 đim) Cng v theo v các bđt (1), (2), (3) ta đc: 1T  . ng thc xy ra khi và ch khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1 Vy max 1T  đt đc khi a = b = c = 1 0,25 1. (1,0 đim) Gi I(a;b) là tâm và R là bán kính ca (C) AI 2 = BI 2  7a + b = 2 (1) 0,25 BI 2 = d 2 (I,)  (a + 3) 2 + (b + 2) 2 = 2 (3 4 42) 25 ab (2) 0,25 Gii h phng trình gm (1) và (2) ta đc I(1;-5) hoc I(-3;23) 0,25 + I(1; -5)  R = 5 (C): (x – 1) 2 + (y + 5) 2 = 25 + I(-3; 23)  R = 25 (C): (x + 3) 2 + (y – 23) 2 = 625 0,25 2. (1,0 đim) Ta có: + Các đon OB và AC đu nhn I(2; 2; 2) làm trung đim (1) +  8; 16; 8 , 4; 4; 4 . 32 64 32 0AC OB AC OB AC OB              (2) T (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đnh ca hình thoi OABC 0,50 VI.a (2,0 đim) + .32320 (4; 0; 4); ( ) .16160 SI AC SI SI OABC SI OB                 + Do OABC là hình thoi và ( )SI OABC  nên: ( ) AC OB AC SOB AC SI       0,25 www.VNMATH.com T đó trong mp(SOB) nu k I HSO  ti H thì I HAC  ti H. Vy IH là đon vuông góc chung ca SO và AC .42.23466 (, ) 11 211 SI OI dSO AC IH SO  0,25 Ghi chú: Có th dùng công thc: |[ , ]. | (, ) |[ , ]| SO AC OI dSOAC SO AC         0,50 K: x > 0. t: 3 logtx , phng trình tr thành: 2 (2 1) (4 9) 14 0xt x t   (1) 0,25 Do 210, 0xx  nên có th xem pt (1) là pt bc 2 n t, ta có: 22 ' (4 9) 56(2 1) (4 5) ' | 4 5|xxx x   pt (1) có các nghim : 7 2; 21 tt x   0,25 + Vi t = 2 ta đc pt: 3 log 2 9xx   0,25 VII.a (1,0 đim) + Vi 7 21 t x   ta đc pt: 33 77 log log 0 21 21 xx xx    Xét hàm s: 3 7 () log 21 fx x x   , TX : (0; )D   2 114 '( ) 0, 0 .ln3 (2 1) fx x x x     Hàm s f là mt hàm đng bin trên (0; )D   . Mt khác f(3) = 0  x = 3 là nghim duy nht ca pt trên D Vy phng trình có đúng 2 nghim x = 9, x = 3 0,25 1.(1,0 đim) T gi thit suy ra ABD đu. Ta có : (2; 2) AB   , trung đim ca AB là M(2;1)  pt trung trc ca đon AB: 3 0xy   0,25 D thuc trung trc ca AB  D(t; 3  t) 0,25 + ABCD là hình thoi nên: 222 (1) (3) 8 410 2 3AD AB t t t t t 0,25 + 23 (23;13),(3;13)tD C     + 23 (23;13),(3;13)tD C      0,25 2.(1,0 đim) T gi thit ta suy ra ta đ các đim A, B, C đnh bi: ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )Aa B b C c trong đó a, b, c là các s thc dng  phng trình mp(ABC): 1 xyz abc   0,25 + M(1, 2, 3)  mp(ABC) nên: 123 1 abc   + Th tích ca khi t din OABC đc tính bi: 11 66 V OAOBOC abc 0,25 VI.b (2,0 đim) + Theo bđt CauChy: 3 123 123 1 3 . . . . 162 27abc V abc abc     0,25 www.VNMATH.com ng thc xy ra khi 1231 3; 6; 9 3 hay ac abc    Vy max 27V  đt đc khi (3;0;0), (0;6;0), (0;0;9)ABC 0,25 K: 1, 1xy  . Khi đó h tng đng: 21 213() 3.3 3.3 3 9 (1) (1)(1)3 xy x y xy xy            0,25 t: 21 21 3,3, xy x y uv    K: u > 0, v > 0 Phng trình (1) tr thành: 3 33 9 (3)(3)0 3 u uvuv u v v        (tha K) 0,25 TH1: Vi u = 3, ta có h: 21 2 2 33 (1)(1)3 2 20 VN xy yx xy xx            0,25 VII.b (1,0 đim) TH2: Vi v = 3, ta có h: 21 2 2 0 22 33 1 (1)(1)3 2 0 1 2 xy x y xy x xy yy y                                So vi K ta nhn c 2 nghim:   2; 0 , 1 1; 2    Tóm li h phng trình có 2 nghim:   2; 0 , 1 1; 2    0,25 Ht www.VNMATH.com . TRUNG TÂM LUYN THI I HC  THI TH TUYN SINH I HC NM 2011 THPT CHUYÊN LÝ T TRNG CN TH Môn thi: TOÁN; khi A Thi gian làm bài: 180 phút, không. không đc s dng tài liu. Cán b coi thi không gii thích gì thêm. H và tên thí sinh:…………………………………………… S báo danh…………… ÁP ÁN – THANG IM Môn thi: TOÁN; khi: A Câu áp án im 1 thi: TOÁN; khi: A Câu áp án im 1. (1,0 đim)  Tp xác đnh: D = ฀  S bin thi n: - Chiu bin thi n: 22 '3 3,'0 3 30 1,(1)3,(1) 1yx y x x y y   0,25 Hàm