Đề thi thử đại học môn Toán (8)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tìm trên C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của C nhỏ nhất.. Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích

Trờng THPT Nguyễn Huệ đề thi thử đại học lần 1 năm 2011

Môn: TOáN ; Khối: A,B

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

Câu II (2 điểm)

1 Giải hệ phơng trình: 1 1 4

 + + − =

 + + + =



2 Giải phơng trình: 1 2(cos sin )

tan cot 2 cot 1

−

=

Câu III (1 điểm)

Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2

3

R

M là một

điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

Câu IV (1 điểm)

Tính tích phân: I =

1

2

dx

−∫ + + +

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

1 1 1 1

x y + y z +z x ≤

Phần riêng(3,0 điểm).Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A.Theo chơng trình Chuẩn

Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích

bằng 3

2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆ : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7

Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm: 1 2 1

log x + > 1 log (ax a+ )

B.Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1

x + y = và đờng thẳng ∆ :3x + 4y =12 Từ

điểm M bất kì trên ∆ kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số 2 4 3

2

y x

+ +

= + có đồ thị (C).Giả sử đờng thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.

Câu VIII.b (1 điểm) Giải phơng trình: ( )log 2 ( )log 2 2

3 1 + x+x 3 1 − x = + 1 x

- -Trờng THPT Nguyễn Huệ đáp án – thang điểm

đề thi thử đại học lần 1 năm 2011

Môn: TOáN ; Khối: A,B

Lu ý:Mọi cách giải đúng và ngắn gọn đều cho điểm tối đa

I 1.(1,0 điểm) Khảo sát

(2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2 x y x y →+∞ = →−∞ = ; tiệm cận ngang: y = 2 x→ −lim( 1)− y= +∞; limx→ −( 1)+ y= −∞; tiệm cận đứng: x = - 1 0,25 - Bảng biến thiên Ta có ' 1 2 0 ( 1) y x = < + với mọi x≠- 1 x -∞ -1 +∞

y’ + +

y +∞ 2

2 -∞

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và ( -1; +∞) 0,5 * Đồ thị 0,25 2 (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm

Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0 ≠- 1) thì 0 0 0 2 1 1 x y x + = + Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 0 0 2 1 1 x x + + - 2| = | 0 1 1 x + | Theo Cauchy thì MA + MB ≥ 2 0 0 1 x 1 1 x + + =2 ⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x 0 = 0 hoặc x 0 = -2.Nh vậy ta có hai điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3) 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1.(1,0 điểm) Giải hệ

(2,0 điểm)

Điều kiện: x≥-1, y≥1 Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ 0,25

0,25

 + + + + − + + =

 + − + + + − − =



Đặt u= x+ +1 x+6, v = y− + 1 y+ 4 Ta có hệ

10

5 5 2u v

u v



 + =

 + =





⇒{ 5

5

u

v=

=

⇒{ 3

5

x

y=

= là nghiệm của hệ

0,25 0,25

2 (1,0 điểm) Giải phơng trình

Điều kiện:sinx.cosx≠0 và cotx≠1 Phơng trình tơng đơng

sin cos 2 cos

1 cos sin 2 sin

−

=

⇒ cosx = 2

± +

Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2

− +

0,25 0,25

0,25 0,25

III Tìm vị trí

(1,0 điểm)

S

H I

O

B

M A

Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3, SI = 2

3

R

,

SM = SO2 +OM2 = 2R⇒SH = R hay H là trung điểm của SM

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1

2 R , (không đổi)

⇒ V BAHM lớn nhất khi dt( ∆ MAB) lớn nhất ⇒ M là điểm giữa của cung AB Khi đó V BAHM = 3 3

6 R (đvtt)

0,25

0,25 0,5

IV Tính tích phân

(1,0 điểm) Đặt u = x+ 1 x+ 2 thì u - x= 1 x+ 2 ⇒ 2 2 2

2

2

1

u

Đổi cận x= - 1 thì u = 2-1

x = 1 thì u = 2+1

2

1

2

du

u I

 + 

du

du

=1

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu V

(1,0 điểm) Đặt x=a

3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab≥ab

⇒ a3 + b3+1≥ (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0

a b 1 ab a b c ≤

Tơng tự ta có

3 3

c 1 bc a b c

a 1 ca a b c

Cộng theo vế ta có

x y + y z +z x

1

a + b + 1+ 3 3

1

c 1

1

a 1

≤ (a b c1 ) ab bc ca1 1 1

+ +  =(a b c1 ) (c a b+ + =) 1

+ + Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

0,25

0,5

0,25

VI a Tìm tọa độ

(1,0 điểm)

Ta có: AB = 2, M = ( 5; 5

2 − 2), pt AB: x – y – 5 = 0

S∆ABC= 1

2d(C, AB).AB = 3

2 ⇒ d(C, AB)= 3

2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1

2

⇒ d(G, AB)= (3 8) 5

2

t− t− − = 1

2 ⇒t = 1 hoặc t = 2

⇒G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)

Mà CMuuuur=3GMuuuur⇒C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)

0,25

0,5 0,25 VII a Từ các chữ số

(1,0 điểm) Gọi số có 6 chữ số là abcdef

Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số

Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số

Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số

0,25 0,5 0,25 VIII a Tìm a để

(1,0 điểm) Điều kiện: ax + a > 0

Bpt tơng đơng x2 + < 1 a x( + 1) Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có 2 1

1

x

a

x + <

+ Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có 2 1

1

x

a

x + >

+ Xét hàm số y = 2 1

1

x x

+ + với x ≠- 1 y’ = 2 12

x

− + + =0 khi x=1

x - ∞ -1 1 + ∞ y’ - || - 0 +

y

-1 +∞ 1

-∞ 2

2

a> 2

2 hoặc a < - 1

0,25

0,25

0,25 0,25

VI b Chứng minh

(1,0 điểm) Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)

Tiếp tuyến tại A có dạng

Tiếp tuyến đi qua M nên

0 1 0 1 1

x x + y y = (1)

Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt

xx + yy = do M thuộc ∆ nên 3x0 + 4y 0 =12 ⇒ 4y 0 =12-3x 0

⇒ 4 0 4 0

4

4

Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì

(x- y)x0 + 4y – 4 = 0

4x y− =y 4 0 x y= 1

Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)

0,25

0,5

0,25 VII b Tìm tập hợp

(1,0 điểm)

y = kx + 1 cắt (C): 2 4 3

2

y x

+ +

= + Ta có pt

0,25

2

x

+ + + = kx + 1 có 2 nghiệm phân biệt⇒ ≠k 1 Trung điểm I của AB có tọa độ thỏa mãn

2 3

2 2 1

k x k

y kx

+

 =

 = +



2

y

x

+ −

⇒ =

− Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong 2 2 5 2

y

x

+ −

=

−

0,5 0,25

VIII b Giải phơng trình

(1,0 điểm) Điều kiện : x>0

Đặt( )log 2

3 1 + x =u, ( )log 2

3 1 − x =v ta có pt

u +uv 2 = 1 + u 2 v 2 ⇔ (uv 2 -1)(u – 1) = 0

2 1 1

u

uv=



0,25 0,5 0,25