ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 129 ) Bài i : (2 điểm) Cho hàm số y = 1 - x 5 - 2x x - 2 + 1) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số . 2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kì trên (H) tới 2 tiệm cận của nó là 1 số không đổi , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . Bài ii : (2 điểm) 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 1 x + - x - 3 + 2 x -2x 3 + = m . 2) Giải bất phương trình : log 5x + 4 (4x 2 + 4x + 1) + log 2x + 1 (10x 2 + 13x + 4) ≥ 4 . Bài iii : (3 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABC có đường cao là SA , tam giác ABC vuông ở A . Biết rằng AB = a , AC = a 3 , góc giữa mặt bên SBC và đáy là 60 0 . Tính diện tích xung quanh của hình chóp và số đo góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) . 2) Trong hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - y - 2z - 4 = 0 , điểm A( 5 ; - 7 ; 1) và đường thẳng (d) : 3- 3- z 1 3 y 2 1 x = + = + . Viết phương trình tham số của đường thẳng sau : a - (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P). b - (∆) qua A , cắt và tạo với (d) một góc 60 0 . Bài iv : (2 điểm) 1) Tính tích phân : ∫ 1 1- 32 2 dx )x - (4 x 2) Trong một nhóm đại biểu các đoàn viên của Đoàn trường gồm 9 đoàn viên nam và 7 đoàn viên nữ ta chọn 6 đại biểu đi dự hội nghị đoàn cấp trên . Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 2 đoàn viên nữ ? . Bài v : (1 điểm) Cho ∆ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn: a - c b a + + b -a c 25b + + c - b a 81c + = 59. Tìm số đo góc lớn nhất của tam giác . ============ Hết =========== đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 129) Bài Nội dung cơ bản Điểm Bài I - 2 (1 đ) • Lấy M(x 0 ; y 0 ∈(H)) ⇒ x 4 - 1 x - y 1 x 0 00 0 − += ≠ 1 • Tiệm cận đứng : x- 1 = 0 ⇒ khoảng cách d 1 từ M tới nó là : d 1 = x 0 -1 • Tiệm cận xiên : x + y - 1 = 0 ⇒ k/c cách d 2 từ M tới tiệm cận xiên d 2 = 1 2 1 4 1 1 0 2 − = − −++ = + + 0 00 2 00 x 22 1- x - x 1 1 -y x x • d 1 .d 2 = x 0 -1. 1 − 0 x 22 = 22 (Không đổi , không phụ thuộc M ) ⇒ đpcm 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài Nội dung cơ bản Điểm Bài II - 1 (1 đ) • TXĐ : 3 x 1 - 0 x - 2x 3 x - 3 0 1 x 2 ≤≤⇔ ≥+ ≥ ≥+ 0 • Đặt t = x - 3 - 1 x + ⇒ t'(x) = x - 32 1 1 x2 1 + + > 0 ∀ x∈(-1 ; 3) t(-1) = -2 ; t(3) = 2 ; t(x) liên tục và ↑ trên [-1;3] ⇒ tập giá trị của t là [-2 ; 2] . • t 2 = 4 - x - 2x 32 2 + ⇒ 2 x - 2x 3 + = t - 4 2 2 PT đã cho trở thành : t + m t - 4 2 = 2 ⇔ 4 + 2t - t 2 = 2m (*) • PT đã cho có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm t ∈ [-2 ; 2] ⇔ 2m ∈ tập giá trị của h/s liên tục f(t) trên miền [-2 ; 2] f '(t) = 2- 2t ⇒ f(-2) = - 4 , f(1) = 5 , f(2) = 4 ; Dấu f '(t) và bảng biến thiên : 1 2 - 2 4 -4 5 + 0 f (t) f '(t) t _ ⇒ Giá trị cần tìm : -2 ≤ m ≤ 5/2 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài II - 2 (1 đ) • Ta có 4x 2 + 4x + 1 = (2x +1) 2 ; 10x 2 + 13x + 4 = (5x +4)(2x +1) TXĐ : 1 4 5x 0 1 1 2x 0 ≠+< ≠+< ⇔ 0 x 2 1- ≠< (*) ( Khi đó 5x + 4 > 1 ) BPT ⇔ log 5x + 4 (2x + 1) 2 + log 2x + 1 [(2x + 1)(5x + 4)] ≥ 4 ⇔ 2.log 5x + 4 (2x + 1) + log 2x + 1 (5x + 4) - 3 ≥ 0 Đặt log 5x + 4 (2x + 1) = t ⇒ log 2x + 1 (5x + 4) = 1/ t . BPT trở thành : 2t + 1/t - 3 ≥ 0 ⇔ (2t 2 - 3t + 1)/ t ≥ 0 ⇔ (2t - 1)(t - 1)/ t ≥ 0 (1) Dấu VT (1) 1 1 2 0 _ _ + + ⇒ Tập nghiệm của (1) : 0 < t ≤ 1/2 ; t ≥ 1 * Nếu 0 < t ≤ 1/2 ⇒ 0 < log 5x + 4 (2x + 1) ≤ 1/2 ⇔ 1 < 2x +1 ≤ 4 5x + (với đk (*) thì 5x + 4 > 1) ⇔ ≤ > ⇔ +≤++ > 0 3- x -4x 0 x 4 5x 1 4x 4x 0 x 22 ⇔ 0 < x ≤ 1 ( thỏa mãn (*) ) * Nếu t ≥ 1 ta có : log 5x + 4 (2x + 1) ≥ 1 ⇔ 2x + 1 ≥ 5x + 4 ⇔ x ≤ -1 (loại ) Vậy tập nghiệm T = ( 0 ; 1] . 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài Nội dung cơ bản Điểm Bài III -1 (1 đ) a 3 a 60 0 K C B A S • ∆SBC có hình chiếu trên (SAC) cosϕ = 4 3 dt(SBC) dt(SAC) = ⇒ • Hạ AK ⊥ BC tại K ⇒ BC ⊥ SK ( đ/l 3 đờng ⊥ ) ⇒ ∠SKC là góc giữa (SBC) và đáy ⇒ ∠ SKC = 60 0 • ∆ABC vuông ⇒ BC = … = 2a AK = … = 3a /2 • ∆SAK vuông ⇒ SA = … = 3a / 2 SK = … = 3a • dt(∆SAC) = (1/2)SA.AC = …= 3 3 a 2 /4 dt(∆SAB) = (1/2)SA.AB = … = 3a 2 /4 dt(∆SBC) = (1/2) BC. SK = … = 3 a 2 ⇒ S xq = .a 37 2 4 3 + là ∆SAC nên góc ϕ giữa 2 mf đã cho t/m : ϕ ≈ 41 0 24,6' 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài III-2a (1 đ) • (d') = (P) ∩ (Q) ; trong đó (Q) là mf qua (d) và (Q) ⊥ (P) Dễ thấy (d) qua điểm B( - 1 ; - 3 ; 3) và nhận ( ) 3 - ; 1 ; 2 u = d làm vtcf • (Q) chứa (d) , (Q) ⊥ (P) ⇒ (Q) qua B và nhận 2 véc tơ : ( ) 3- ; 1 ; 2 u = d và ;-2) 1- (2; n P = làm cặp chỉ phương ⇒ (Q) có 1 vtft [ ] u ; n n dPQ = • [ ] u ; n n dPQ = = 1 2 1- 2 ; 2 3- 2 2- ; 3 - 1 2- 1- = ( 5 ; 2 ; 4 ) ⇒ PT (Q) : 5(x + 1) + 2(y + 3) + 4(z - 3) = 0 ⇔ 5x + 2y + 4z - 1 = 0 . ⇒ (d') : =++ = (2) 0 1 - 4z 2y 5x (1) 0 4 - 2z- y - 2x ⇔ = = 1 x 0 4 - 2z - y - 2x ⇔ 0 2 2z y 1 x =++ = ( nhân pt (1) với 2 rồi cộng với pt (2) ⇒ pt tham số (d') : x = 1 + 0.t ; y = -2 - 2t ; z = t ( t là tham số ) 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài III - 2b (1 đ) • PT tham số của (d): x = -1 + 2t ; y = -3 + t ; z = 3 - 3t ( tham số t ) Giả sử ∆ ∩(d) = M ⇒ M(-1 + 2t ; -3 + t ; 3 - 3t) . Vì ∆ qua M và A(5; - 7 ;1 ) nên 1 vtcf của ∆ là : ( ) 3t- 2 ; 4 t ; 6 -2t u += ∆ , đã có ( ) 3 - ; 1 ; 2 u = d • ∆ tạo với (d) góc 60 0 ⇔ ) u;ucos( cos60 0 d ∆ = ⇔ 2 1 = 3t)- (2 4) (t 6) -(2t 2 3t) - (-3).(2 4) 1.(t 6) -2.(2t 2222 +++−++ +++ .)3(1 22 ⇔ 56 28t - t 14 14t 2 1 2 + − = 14.14 ⇔ t 2 - 2t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 2 0.25 0.25 0.25 Bài Nội dung cơ bản Điểm Bài III - 2b (tiếp) • t = 2 ⇒ M 1 (3 ; -1 ;-3) ⇒ 1∆ u = (-2 ; 6 ; - 4) // ( 1; -3 ; 2) ⇒ pt ∆ 1 : x = 5 + m ; y = - 7 - 3m ; z = 1 + 2m (m là tham số ) • t = 0 ⇒ M 2 (-1 ; -3 ; 3) ⇒ 2 ∆ u = (- 6 ; 4 ; 2) // ( 3 ; -2 ; -1) ⇒ pt ∆ 2 : x = 5 +3 m ; y = - 7 - 2m ; z = 1 - m (m là tham số ) ĐS : 2 đờng thẳng thỏa mãn đề bài : ∆ 1 ; ∆ 2 ở trên . 0.25 Bài IV - 1 (1 đ) Đặt x = 2sint (- π/2 ≤ t ≤ π/2) ; khi x =-1 ⇒ t = - π/6 , khi x = 1 ⇒ t = π/6 I = t)4sin - (4 d(2sint) . (2sint) 6 6 - 32 2 ∫ π π = t cos 8. .dt cost t 8sin 6 6 - 3 2 ∫ π π = t.dt tg 6 6 - 2 ∫ π π = .dt 1 - tcos 1 6 6 - 2 ∫ π π = ∫∫ 6 6 - 6 6 - 2 dt - dt tcos 1 π π π π = 6 t - 6 tgt 66 π π π π −− = 3 - 3 2 π = 3 -3 2 π 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài IV - 2 (1 đ) Các cách chọn 6 trong 16 đoàn viên không thỏa mãn đề bài gồm có : • Chọn 6 trong 16 đoàn viên trong đó không có đoàn viên nữ nào tức là phải chọn 6 đoàn viên nam trong 9 đoàn viên nam (không cần thứ tự) . Trờng hợp này có : S 0 = 6 9 0 7 .CC = 6!.3! 9! . 7!.0! 7! = 84 ( cách chọn ) • Chọn 6 trong 16 đoàn viên trong đó có đúng 1đoàn viên nữ . Ta lần lợt chọn : 1 trong 7 đoàn viên nữ ( có 7 cách chọn ) ; chọn 5 trong 9 đoàn viên nam ( có 5 9 C cách chọn ) . Trờng hợp này có : S 1 = 5 9 7C = 5!.4! 9! 7. = 882 ( cách chọn ) Nên số cách chọn không thỏa mãn đề bài là : 84 + 882 = 966 • Số cách chọn 6 trong 16 đoàn viên bất kì trong nhóm đoàn viên trên là : S = 6 16 C = 6!.10! 16! = 8008 ( cách chọn ) . Số cách chọn thỏa mãn đề bài là : S - (S 0 + S 1 ) . Vậy tất cả có : 8008 - ( 84 + 882) = 7042 ( cách chọn) 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài Nội dung cơ bản Điểm Bài V (1 đ) • Đặt 2z c - b a 2y b -a c 2x a - c b =+ =+ =+ ⇒ x , y , z > 0 và y x c x z b z y a += += += • Giả thiết ⇒ 2x z y + + 2y x) 25(z + + 2z y) 81(x + = 59 ⇔ + y 25x x y + + z 81x x z + + z 81y y 25z = 108 (*) áp dụng bđt Cô Si ta luôn có VT (*) ≥ 2.5 + 2.9 + 2.5.9 = 108 nên (*) thỏa mãn ⇔ 9y 5z 9x z 5x y = = = ⇔ 9x z 5x y = = ⇒ 6x y x c 10x x z b 14x z y a =+= =+= =+= hay ∆ ABC có các cạnh thỏa mãn a : b : c = 7 : 5 : 3 ⇒ góc lớn nhất là A và cosA = 2.5.3 7 - 3 5 222 + = 2 1 - ⇒ A = 120 0 . 0.25 0.25 0.25 0.25 Đồ thị của hàm số ở bài I - 1 . 5 y x 4 -4 3 -1 I O y = - x 2 + 2x -5 x - 1 y = -x + 1 x = 1 Ghi Chú : - Các cách giải khác hợp lí vẫn cho điểm tối đa . - Bài II - 2 nếu giải nh trên mà không có nhận xét 5x + 4 > 1 thì chỉ cho tối đa 0.75 đ - Bài tập hình nếu giải bằng phơng pháp tổng hợp bắt buộc phải vẽ hình , nếu giải bằng phương pháp tọa độ thì không nhất thiết phải vẽ hình . . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 129 ) Bài i : (2 điểm) Cho hàm số y = 1 - x 5 - 2x x - 2 + 1) Khảo sát sự biên thi n và vẽ đồ thị (H) của. góc lớn nhất của tam giác . ============ Hết =========== đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 129) Bài Nội dung cơ bản Điểm Bài I - 2 (1 đ) • Lấy M(x 0 ; y 0 . : ∫ 1 1- 32 2 dx )x - (4 x 2) Trong một nhóm đại biểu các đoàn viên của Đoàn trường gồm 9 đoàn viên nam và 7 đoàn viên nữ ta chọn 6 đại biểu đi dự hội nghị đoàn cấp trên . Hỏi có tất cả