Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Thái Nguyên năm 2010 - 2011 môn toán

ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN năm học 2010-2011 Môn thi : TOÁN HỌC Lớp 12 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4 đ ) Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + . Bài 2 (4 đ ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 2 4 4 2 2 0 x y x y x y A xy y x y x y x   = + − + + + ∀ ≠  ÷   Bài 3 (4 đ ) Tìm số các số hạng là số nguyên trong khai triển 125 3 ( 7 3)+ Bài 4 (4 đ ) Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2 π ) của phương trình 1 cos 1 cos 4sin cos x x x x + + − = Bài 5 (4 đ ) Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là S b và S c . Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt (ADB) và (ADC) cắt BC tại M. α là góc giữa hai mặt (ADB) và (ADC). Chứng minh: a/ b c S MB MC S = b/ Diện tích S m của tam giác ADM là: b c m b c 2S .S .cos 2 S S S α = + . Hết Họ và tên : SBD: Hướng dẫn chấm môn Toán lớp 12 Kì thi chọn HSG năm học 2010-2011 Bài 1 : Đặt 2 2 3 , 2x x t t− + = ≥ . Khi đó : ( ) ( ) 2 1 1 1x t x⇔ + = + ( ) ( ) 2 2 3 1 2 1 0x x x t x⇔ − + − + + − = ( ) ( ) 2 1 2 1 0t x t x⇔ − + + − = 2 1 t t x =  ⇔  = −  Với 2t = ⇒ 2 2 3 2x x− + = 2 2 3 4x x⇔ − + = 2 2 1 0x x⇔ − − = 1 2 1 2 x x  = − ⇔  = +   . Với 1t x = − ⇒ 2 2 3 1x x x− + = − 2 2 1 0 2 3 2 1 x x x x x − ≥  ⇔  − + = − +  ( hệ vô nghiệm). Bài 2: : Đặt ( ) 2 x y t t y x = + ≥ ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 5 4A t t t t t t= − + − + − = − + + Xét hàm số f(t)=A f ’ (t)= 4t 3 – 10t + 1 2 f ''(t)= 12t - 10 0 t 2≥ ∀ ≥ Nên hàm số f ’ (t) đồng biến ' ' 2 ( ) (2) 13 0 ( )t f t f f t∀ ≥ ⇒ ≥ = > ⇒ đồng biến ( ) (2) 2 2f t f t⇒ ≥ = ∀ ≥ ' ' 2 ( ) ( 2) 3 0 ( )t f t f f t∀ ≤ − ⇒ ≤ − = − < ⇒ nghịch biến ( ) ( 2) 2 2f t f t ⇒ ≥ − =− ∀≤− Vậy ( ) 2 2f t t≥ − ∀ ≥ . Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là A min = -2 đạt được khi t = -2 hay (x + y) 2 = 0  x = - y . Bài 3: 125 125 125 3 32 125 0 ( 7 3) 3 7 k k k k C − = + = ∑ . Do vậy, để số hạng trong khai triển là số nguyên thì , 0 125 0 125 0 41 125 125 125 3 2 2 2 3 2 1, 3 k N k m N m N k k m k k m N N N k k m m t t N N ∈  ∈ ∈    ≤ ≤    ≤ ≤ ≤ ≤      − ⇔ ⇔   − − ∈ ∈ ∈       = = + ∈ ∈       . Có 21 giá trị của m thoả mãn nên có 21 số hạng nhận giá trị nguyên. Bài 4 : Điều kiện cosx ≠ 0. Biến đổi dẫn đến 2( cos sin ) 2sin 2 2 2 x x x+ = . -Với x (0; ) 0 2 2 x π π ∈ ⇒ < < …=> 4 6 3 3 4 10 5 k x l x π π π π  = +    = +   . Chọn được k, l = 0 => 6 3 10 x x π π  =    =   -Với x ( ;2 ) 2 x π π π π ∈ ⇒ < < …=> 4 6 3 4 2 5 k x l x π π π π  = − +    = +   . Chọn được k,l = 1 => 7 6 13 10 x x π π  =    =   Bài 5 a.Do M nằm trên mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (ADB) và (ADC) bằng nhau, kí hiệu là d. Do đó b b ADBM ADCM c c S .d S VMB dt(DBM) MC dt(DCM) V S .d S = = = = b. b c ABCD c c c 2S .S .sin 1 1 1 sin V S .BH S .BK.sin S .BK.AD. 3 3 3 AD 3AD α α = = α = = ABCD ADBM ADCM V V V= + => b m c m b c 2S .S .sin 2S .S .sin 2S .S .sin 2 2 3AD 3AD 3AD α α α = + Rút gọn được : b c m b c 2S .S .cos 2 S S S α = + . . ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN năm học 201 0- 2011 Môn thi : TOÁN HỌC Lớp 12 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4 đ ) Giải. c m b c 2S .S .cos 2 S S S α = + . Hết Họ và tên : SBD: Hướng dẫn chấm môn Toán lớp 12 Kì thi chọn HSG năm học 201 0- 2011 Bài 1 : Đặt 2 2 3 , 2x x t t− + = ≥ . Khi đó : ( ) ( ) 2 1 1 1x t. A min = -2 đạt được khi t = -2 hay (x + y) 2 = 0  x = - y . Bài 3: 125 125 125 3 32 125 0 ( 7 3) 3 7 k k k k C − = + = ∑ . Do vậy, để số hạng trong khai triển là số nguyên thì , 0 125 0 125