SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn TOÁN khối 12, năm học 2011-2012 Ngày thi: 05/02/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Chú ý: - Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn; - Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính. Bài 1. Tính gần đúng tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số | |= - - +y x x x 3 2 3 5 1 và trục hoành. Bài 2. Cho hàm số ( )f x x x x= + + + + 2 3 2 1 2 3 có đồ thị (C). Tính giá trị gần đúng của k và m để đường thẳng (d): k my x= + tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = +1 3 . Bài 3. Cho phương trình ( ) 6 log 49 6 m+ − = x x (1) a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 2011 2012 . b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 4. Giải hệ phương trình: x y y xy x y y xy ì ï + + = ï í ï + + = ï î 2 2 2 2 2 2 2 4 7 2 6 3 Bài 5. Tính giá trị của biểu thức: = + + + + + + + +A 20 12 20122000 20 12 20122001 20 12 20122011 20 12 20122012 Bài 6. Cho đa thức 5 4 3 2 P( )x x ax bx cx dx e= + + + + + Tính P( 3 2012 ), biết rằng P(1) = 0, P(2) = 2, P(3) = 8, P(4) = 18, P(5) = 32. Bài 7. Trong mặt phẳng (Oxy), cho A( ; )2 5 , B( ; )3 2 4 , C( ; )- 3 3 , D( ; )- 2 3 3 và đường thẳng (d): x y- - =2 2 0 . Tìm điểm I thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác IAB và tam giác ICD có diện tích bằng nhau. Bài 8. Cho tứ diện ABCD có AB 1cm= , AC 2cm= , AD 5cm= và · · · = = = 0 2 1 BAC CAD BAD 40 . 3 2 Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB= 2 6 , BC= 6 , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và K là điểm trên cạnh AD sao cho AK = 6 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK. Bài 10. Cho các số a, b, c đều lớn hơn 503. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2 2012 2 2012 2 2012 = + + − − − a b c b c a HẾT Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích đề thi. S GIO DC V O TO K thi chn HSG gii Toỏn, Lý, Hoỏ, Sinh trờn MTCT LONG AN Mụn Toỏn khi 12, nm hc 2011-2012 CHNH THC HNG DN CHM Bi Túm tt hng gii Kt qu im 1 Phng trỡnh honh giao im: | |x x x- - + = 3 2 3 5 1 0 Vi x>0, pt: - - + =x x x 3 2 3 5 1 0 Vi x<0, pt: - + + =x x x 3 2 3 5 1 0 Suy ra ta ba giao im. ( , ; )4 14743 0 ( , ; )0 18144 0 ( , ; )- 0 17950 0 1,0 2 ( ) 23 1 3 '(1 3) 2 1 2 3 x d k f x x x dx = + = + = + + + + ( ) ( ) ,= + - + =m f k1 3 1 3 2 44232 ,k = 2 39301 ,m = 2 44232 0,5 0,5 3 a) t ( ) 6 0= > x X X Pt tr thnh 2 49 6 0 + = m X X (2) 2 1,2 49 49 4.6 2 = m X T ú suy ra cỏc nghim =x log X 6 b) (1) cú nghim (2) cú nghim X > 0 Lp bng bin thiờn suy ra: 2 49 6 3,570426916 4 m m a) 1 2 2,17066 1,17091 x x b) m = 3 0,5 0,5 4 y = 0 h vụ nghim. y ạ 0 , hpt ỡ ù ù + - + = ù ù ù ù ớ ù ổ ử ù ữ ỗ ù + - + = ữ ỗ ữ ù ỗ ữ ố ứ ù ù ợ x x y y x x y y 2 2 2 4 7 2 0 6 2 3 0 ỡ ù ổ ử ù ữ ỗ ù - - + = ữ ỗ ù ữ ỗ ữ ù ố ứ ù ớ ù ổ ử ổ ử ù ữ ữ ỗ ỗ ù - - + = ữ ữ ỗ ỗ ù ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ù ố ứ ố ứ ù ợ x x y y x x y y 2 2 2 3 2 0 2 3 2 0 t u x y = - 2 ; x v y = , ta cú h: (1) (2) u v v u ỡ ù - + = ù ớ ù - + = ù ợ 2 2 3 2 0 3 2 0 (1) (2) suy ra (u v)(u + v + 3)=0 ị u = v hoc u = 3 v *u = v, h cú 4 nghim. *u = 3 v, h vụ nghim (1; 1) (2;2) (1,23606; 0,61803) (3,23606;1,61803) 1,0 5 (S dng mỏy tớnh Casio FX 570ES) Khai bỏo: A = A 1: B = 20 12 A B+ + CALC: 20122013 A, 0 B Nhn = cho n khi A = 20122000 thỡ dng, c kt qu B 232,05467 1,0 6 P(1) = 0 =2.(11) 2 , P(2) = 2 = 2(21) 2 , P(3) = 8 = 2(31) 2 , P(4) = 18 = 2(41) 2 , P(5) = 32 = 2(51) 2 Suy ra P(x) = (x1)(x2)(x3)(x4)(x5) + 2(x1) 2 78428,29103 1,0 7 AB ; CD= =3 13 Pt AB: x y+ - =2 2 11 2 0 , Pt CD: x y- + =2 3 7 3 0 I( , ) ( )a b d a b- - =ẻ ị 2 2 0 ( , ). ( , ).= = V VIAB ICD S S d I AB AB d I CD CD 1 1 2 2 | | | | . . a b a b + - - + = 2 2 11 2 2 3 7 3 3 13 3 13 Gii 2 h : (I) a b a b a b ỡ ù + - = - + ù ớ ù - - = ù ợ 2 2 11 2 2 3 7 3 2 2 0 (57,30099; 29,65049) (0,97807; 0,51096) 1,0 và (II) a b a b a b ì ï + - = - + - ï í ï - - = ï î 2 2 11 2 2 3 7 3 2 2 0 Ta có 2 điểm I: (–57,30099; –29,65049) và (0,97807; –0,51096) 8 Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN=1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. · 2 2 0 0 0 2 . .cos 2sin 20 2sin 40 , 2sin 30 1 2 ( )( )( ) = + − = = = = + + = = − − − BMN BM AB AM AB AM BAM BN MN BM BN MN p S p p BM p BN p MN 2 2 . . , 4. = = − BMN BM BN MN OB AO AB OB S Thể tích khối chóp A.BMN là 1 ' . 3 = BMN V AO S Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì ' 1 1 1 . . 1. . 10 ' 0,85965 2 5 10 = = = ⇒ = ≈ V AB AM AN V V V AB AC AD 0,85965 1,0 9 Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm AD Ta có MN // AD ⇒ MN // (SAD) mà SK ⊂ (SAD) ⇒ d(MN,SK)=d(MN,(SAD))=d(O,(SAD)) Kẻ OH SI OH (SAD) OH d(O,(SAD))⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 2 2 42 SI SD ID 2 = − = ; 2 2 3 2 SO SI OI 2 = − = OI.SO OH.SI OI.SO OH SI = ⇒ = 1,60356 1,0 10 Do a, b, c > 503 (*) nên suy ra: 2 2012 0a − > , 2 2012 0b − > , 2 2012 0c − > Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: 2 2012 2 2 2012 a b a b + − ≥ − (1) 2 2012 2 2 2012 b c b c + − ≥ − (2) 2 2012 2 2 2012 c a c a + − ≥ − (3) Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: 3 2012P ≥ . Dấu “=” xảy ra khi 2012a b c = = = (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy MinP 3 2012 = khi 2012a b c = = = 134,56596 1,0 Chú ý: - Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm; - Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả. Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm; - Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm. . TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn TOÁN khối 12, năm học 201 1- 2 012 Ngày thi: 05/02 /2 012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Chú ý: - Các giá. biểu thức: = + + + + + + + +A 20 12 2 0122 000 20 12 2 0122 001 20 12 201 22011 20 12 2 0122 012 Bài 6. Cho đa thức 5 4 3 2 P( )x x ax bx cx dx e= + + + + + Tính P( 3 2 012 ), biết rằng P(1) = 0, P(2). 2 2 012 0a − > , 2 2 012 0b − > , 2 2 012 0c − > Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: 2 2 012 2 2 2 012 a b a b + − ≥ − (1) 2 2 012 2 2 2 012 b c b c + − ≥ − (2) 2 2 012 2 2