Luyện thi đại học Chương 9 lượng giác IV

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ Bài 173: Giải hệ phương trình: ( ) () 2cosx 1 0 1 3 sin 2x 2 2 −= ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ Ta có: () 1 1cosx 2 ⇔ = () xk2k 3 π ⇔=±+ π∈Z Với xk 3 2 π =+ π thay vào (2), ta được 23 sin 2x sin k4 32 π ⎛⎞ =+π= ⎜⎟ ⎝⎠ Với x 3 π =− + πk2 thay vào (2), ta được 23 sin 2x sin k4 32 π ⎛⎞ =−+π=−≠ ⎜⎟ ⎝⎠ 3 2 (loại) Do đó nghiệm của hệ là: 2, 3 π = +π∈  xkk Bài 174: Giải hệ phương trình: sin x sin y 1 xy 3 + = ⎧ ⎪ π ⎨ += ⎪ ⎩ Cách 1: Hệ đã cho xy xy 2sin .cos 1 22 xy 3 +− ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ += ⎪ ⎩ π− − ⎧ ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ π π ⎪⎪ += += ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ xy xy 2.sin .cos 1 cos 1 62 2 xy xy 3 3 4 2 2 3 3 − ⎧ −= π =π ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ π ⎨⎨ π += ⎪⎪ += ⎩ ⎪ ⎩ xy x yk k xy xy () 2 6 2 6 π ⎧ =+ π ⎪ ⎪ ⇔∈ ⎨ π ⎪ =−π ⎪ ⎩ xk kZ yk Cách 2: Hệ đã cho 3 3 31 sin sin 1 cos sin 1 3 22 3 3 sin 1 2 3 32 2 6 2 6 π π ⎧ ⎧ =− =− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ π ⎛⎞ ⎪⎪ +−= + = ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎩ ⎩ π ⎧ π ⎧ =− =− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ π ππ ⎛⎞ ⎪⎪ += + =+ π ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝⎠ ⎩ π ⎧ =+ π ⎪ ⎪ ⇔∈ ⎨ π ⎪ =− π ⎪ ⎩  yx yx xx x x yx yx x x k xk k yk Bài 175: Giải hệ phương trình: sin x sin y 2 (1) cos x cos y 2 (2) ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Cách 1: Hệ đã cho xy xy 2sin cos 2 (1) 22 xy xy 2cos cos 2 (2) 22 +− ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ +− ⎪ = ⎪ ⎩ Lấy (1) chia cho (2) ta được: + ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ xy xy tg 1 ( do cos 0 22 − = không là nghiệm của (1) và (2) ) 24 22 22 +π ⇔=+π ππ ⇔+=+ π⇔=−+ π xy k x ykyxk thay vào (1) ta được: sin x sin x k2 2 2 π ⎛⎞ +−+π= ⎜⎟ ⎝⎠ sin x cos x 2⇔+= 2 cos 2 4 2, 4 π ⎛⎞ ⇔− ⎜⎟ ⎝⎠ π ⇔− = π∈ =  x xhh Do đó: hệ đã cho () 2, 4 2,, 4 π ⎧ =+ π∈ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = +− π ∈ ⎪ ⎩   xhh ykhkh Cách 2: Ta có A BACB CD ACBD =+= ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ =−= ⎩⎩ D+ − Hệ đã cho ( ) ( ) ()() ⎧− + − = ⎪ ⇔ ⎨ ++−= ⎪ ⎩ ⎧π π ⎛⎞ ⎛⎞ −+ −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝⎠ ⎝⎠ ⇔ ⎨ ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ ++ += ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩ sin x cos x sin y cos y 0 sin x cos x sin y cos y 2 2 2sin x 2sin y 0 44 2sin x 2sin y 2 2 44 sin sin 0 44 sin sin 0 44 sin 1 4 sin sin 2 44 sin 1 4 2 42 2 42 sin sin 0 44 xy xy x xy y xk yh xy ⎧π π ⎛⎞⎛⎞ − +−= ⎜⎟⎜⎟ ⎪ ⎧π π ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞ ⎪ −+ −= ⎜⎟⎜⎟ ⎪ ⎪ π ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛⎞ ⇔⇔+= ⎨⎨ ⎜⎟ ππ ⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞ ⎪⎪ ++ += ⎜⎟⎜⎟ ⎪⎪ π ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ ⎩ += ⎪ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎩ ⎧ ππ +=+π ⎪ ⎪ ππ ⎪ ⇔+=+π ⎨ ⎪ ⎪ ππ ⎛⎞⎛⎞ −+ −= ⎜⎟⎜⎟ ⎪ ⎝⎠⎝⎠ ⎩ π ⎧ =+ π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ =+ π ∈ ⎪ ⎩ xk2 4 yh2,h,k 4 Z Bài 176: Giải hệ phương trình: −− = ⎧ ⎪ ⎨ +=− ⎪ ⎩ tgx tgy tgxtgy 1 (1) cos2y 3cos2x 1 (2) Ta có: tgx tgy 1 tgxtgy − =+ () 2 1tgxtgy 0 tg x y 1 tgx tgy 0 1tgxtgy 0 1tgx 0(VN) ⎧ += −=⎧ ⎪⎪ ⇔∨−= ⎨⎨ +≠ ⎪ ⎩ ⎪ += ⎩ ( xy k kZ 4 π ⇔−=+π ∈ ) , với x, y k 2 π ≠ +π xy k 4 π ⇔=++π, với x, y k 2 π ≠ +π Thay vào (2) ta được: cos2y 3 cos 2y k2 1 2 π ⎛⎞ + ++ π=− ⎜⎟ ⎝⎠ cos 2 3 s 2 1 31 1 s2 cos2 sin2 222 6 yiny in y y y ⇔− =− π ⎛⎞ ⇔−=⇔− ⎜⎟ ⎝⎠ 1 2 = () 5 222 2 66 6 6 y h hay y h h Z ππ π π ⇔−=+π −=+π ∈ ,, 62 (lọai)yhhhayyhh ππ ⇔=+π ∈ =+π ∈  Do đó: Hệ đã cho () () 5 6 , 6 xkh hk Z yh π ⎧ =++π ⎪ ⎪ ⇔∈ ⎨ π ⎪ =+π ⎪ ⎩ Bài 177: Giải hệ phương trình 3 3 cos x cos x sin y 0 (1) sin x sin y cos x 0 (2) ⎧ −+= ⎪ ⎨ −+= ⎪ ⎩ Lấy (1) + (2) ta được: 33 sin x cos x 0 + = 33 3 sin x cos x tg x 1 tgx 1 xk(k 4 ⇔=− ⇔=− ⇔=− π ⇔=−+π∈Z) Thay vào (1) ta được: ( ) 32 sin y cos x cos x cos x 1 cos x=− = − == 2 1 cos x.sin x sin 2x sin x 2 ππ ⎛⎞⎛ =− −+ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 1 sin sin k 22 4 ⎞ π ⎟ ⎠ π ⎛⎞ =− − + π ⎜⎟ ⎝⎠ 1 sin k 24 ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ − ⎪ ⎩ 2 (nếu k chẵn) 4 2 (nếu k lẻ) 4 Đặt 2 sin 4 α= (với 02 < α< π ) Vậy nghiệm hệ () ππ ⎧⎧ =− + π ∈ =− + + π ∈ ⎪⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ =α+ π ∈ =−α+ π ∈ ⎡⎡ ⎪⎪ ⎢⎢ ⎪⎪ =π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈ ⎣⎣ ⎩⎩     x2m,m x 2m1,m 44 yh2,h y 2h,h yh2,hyh2,h II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Bài 178: Giải hệ phương trình: () () 1 sin x.cos y 1 2 tgx.cotgy 1 2 ⎧ =− ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ Điều kiện: cos x.sin y 0 ≠ Cách 1: Hệ đã cho () () 11 sin x y sin x y 22 sin x.cos y 10 cos x.sin y ⎧ + +−= ⎡⎤ ⎣⎦ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= ⎪ ⎩ − () ( ) () () () + +−=⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= ⎪ ⎩ − + +−=⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= ⎪ ⎩ sin x y sin x y 1 sin x cos y sin y cos x 0 sin x y sin x y 1 sin x y 0 − ( ) () +=− ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= ⎪ ⎩ π ⎧ +=−+ π ∈ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=π ∈ ⎩   sin x y 1 sin x y 0 xy k2,k 2 xy h,h () () ππ ⎧ =− + + ∈ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ππ ⎪ =− + − ∈ ⎪ ⎩ ≠   x2kh,k,h 42 y2kh,k,h 42 (nhận do sin y cos x 0) Cách 2: () sin x cos y 21 cos xsin y ⇔ = ⇔ =sin x cos y cos xsin y () ( ) () () () ()( () ()( 1 sin cos 3 2 1 cos sin 4 2 sin 1 3 4 sin 0 3 4 Thế 1 vào 2 ta được: xy xy xy xy ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ +=− +⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −= − ⎪ ⎩ ) ) 2, 2 , xy k k xyhh π ⎧ + =− + π ∈ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=π∈ ⎩   () () () 2 42 , 2 42 xkh hk Z ykh ππ ⎧ =− + + ⎪ ⎪ ⇔∈ ⎨ ππ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ Bài 179: Giải hệ phương trình: () () 23 1 3 23 cotg cotg 2 3 tgx tgy xy ⎧ += ⎪ ⎪ ⎨ − ⎪ += ⎪ ⎩ Đặt == X tgx, Y tgy Hệ đã cho thành: 23 23 XY XY 33 1 1 23 Y X 23 X Y3 YX ⎧⎧ += += ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ + ⎪⎪ +=− =− ⎪⎪ ⎩⎩ 3 2 23 XY 23 XY 3 3 23 XY 1 X X10 3 X3 3 X 3 3 Y Y3 3 ⎧ ⎧ += ⎪ += ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =− − −= ⎩ ⎪ ⎩ ⎧⎧ = =− ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ =− ⎪⎪ = ⎩⎩ Do đó: Hệ đã cho : tgx 3 3 tgx 3 3 tgy tgy 3 3 ⎧⎧ = =− ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ =− ⎪⎪ = ⎩⎩ ,, 36 ,, 63 ππ ⎧⎧ =+π∈ =−+π∈ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ ππ ⎪⎪ =− +π ∈ = +π ∈ ⎪⎪ ⎩⎩   xkk x kk yhhyhh Bài 180: Cho hệ phương trình: 1 sin x sin y 2 cos 2x cos 2y m ⎧ += ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎩ a/ Giải hệ phương trình khi 1 m 2 = − b/ Tìm m để hệ có nghiệm. Hệ đã cho ()() 22 1 sin x sin y 2 12sinx 12siny m ⎧ += ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −+− ⎩ = () ⎧ += ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ − ⎪ += ⎪ ⎩ ⎧ += ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ +− =− ⎪ ⎩ 22 2 1 sin x sin y 2 2m sin x sin y 2 1 sin x sin y 2 m sin x sin y 2sin x sin y 1 2 ⎧ += ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= ⎪ ⎩ 1 sin x sin y 2 1m 2sinxsiny 1 42 − ⎧ += ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ 1 sin x sin y 2 3m sin x sin y 84 Đặt X sin x, Y sin y với X , Y 1== ≤ thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình () 2 1m3 tt 0 248 −+−= * a/ () =− 1 Khi m thì * thành : 2 −−= ⇔−−= ⇔=∨=− 2 2 11 tt 0 22 2t t 1 0 1 t1t 2 Vậy hệ đã cho sin x 1 1 sin x 2 1 sin y sin y 1 2 = ⎧⎧ = − ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ =− ⎪⎪ = ⎩⎩ 2, (1) , 26 (1) , 2, 6 2 ππ ⎧⎧ =+ π∈ =−− +π∈ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ π π ⎪⎪ =−− + π ∈ =+ π∈ ⎪⎪ ⎩⎩     h h xkk x hh yhh ykk b/ Ta có : () 2 m1 *t 42 ⇔=−++ 3 t 8 Xét () [] 2 13 yt t CtrênD 1,1 28 =− + + = − thì: 1 y' 2t 2 =− + 1 y' 0 t 4 =⇔= Hệ đã cho có nghiệm ( ) [ ] * có 2 nghiệm trên -1,1⇔ () m dy 4 ⇔= cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc [ ] trên -1,1 ⇔− ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤ 1m 7 8416 17 m 24 Cách khác 2 () 8 4 3 2 0⇔=−−+=ycbt f t t t m có 2 nghiệm t 1 , t 2 thỏa 12 11⇔− ≤ ≤ ≤tt / 28 16 0 (1) 1 2 0 (1) 9 2 0 1 11 24 ⎧ Δ= − ≥ ⎪ =+ ≥ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ −=+ ≥ ⎪ ⎪ −≤ = ≤ ⎪ ⎩ m af m af m S 17 24 ⇔− ≤ ≤m Bài 181: Cho hệ phương trình: 2 2 sin x mtgy m tg y m sin x m ⎧ += ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ a/ Giải hệ khi m = -4 b/ Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm. Đặt X sin x= với X 1 ≤ Ytgy= Hệ thành: ( ) () 2 2 X mY m 1 YmXm 2 ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Lấy (1) – (2) ta được: ( ) 22 X YmYX0 − +−= () ( ) X YX Y m 0 X YYmX ⇔− +−= ⇔=∨=− Hệ thành () 2 2 =− = ⎧ ⎧ ⎪ ⎨⎨ + −= += ⎪ ⎩ ⎩ YmX XY hay X mm X m XmXm () ( ) 222 X YYmX X mX m 0 * X mX m m 0 * * ==− ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ +−= −+−= ⎪⎪ ⎩⎩ a/Khi m = -4 ta được hệ () () 2 2 Y4X XY X 4X 20 0 vô nghiệm X4X40 X2loạidoX1 Y2 =− − = ⎧ ⎧ ⎪ ∨ ⎨⎨ ++= −+= ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ =≤ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4. b/ Ta có (*) 2 X mX m 0 với X 1⇔+ −= ≤ () () 2 2 Xm1X X m do m không là nghiệm của * 1X ⇔= − ⇔= − Xét [ ) () 22 2 X X2X Ztrên1,1Z' 1X 1X −+ =−⇒= − − ; Z' 0 X 0 X 2=⇔ =∨ = Do đó hệ () 2 XYX1 X mX m 0 ⎧ =≤ ⎪ ⎨ +−= ⎪ ⎩ có nghiệm m0 ⇔ ≥ Xét (**): 22 X mX m m 0−+−= Ta có () 22 2 m4mm 3m4mΔ= − − =− + 4 00m 3 Δ≥ ⇔ ≤ ≤ Kết luận:  Khi m thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm 0≥  Khi < thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm m 0 Δ (do < 0) nên hệ đã cho vô nghiệm Do đó: Hệ có nghiệm m0 ⇔ ≥ Cách khác Hệ có nghiệm (*)hay ⇔=+−= 2 f(X) X mX m 0 (**) có nghiệm trên [-1,1] =− + −= 22 g(X) X mX m m 0 (1) (1) 0ff⇔− ≤ 2 1 40 (1) 0 (1) 0 11 22 mm af hay af m S ⎧ Δ= + ≥ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ −≥ ⎪ − ⎪ −≤ = ≤ ⎪ ⎩ hay (1)(1) 0gg−≤ 2 2 2 2 34 (1) 1 0 (1) ( 1) 0 11 22 mm ag m hay ag m Sm ⎧ Δ=− + ≥ ⎪ 0 − =+≥ ⎪ ⎪ ⎨ = −≥ ⎪ ⎪ −≤ = ≤ ⎪ ⎩ 12 0m⇔− ≤ 2 1 40 12 0 22 mm hay m m ⎧ Δ= + ≥ ⎪ −≥ ⎨ ⎪ −≤ ≤ ⎩ hay m = 1 hay ≤ ≤ 4 0m 3 m0⇔≥ [...]... để cá c hệ sau đâ y có nghiệ m 3 ⎧ ⎧sin x cos y = m 2 ⎪cos x = m cos y a/⎨ b/⎨ 3 ⎪sin x = m cos y ⎩sin y cos x = m ⎩ ⎛ 1- 5 1+ 5 ⎞ ≤m≤ ( ĐS 1 ≤ m ≤ 2) ⎜ ĐS ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn .. .IV HỆ KHÔNG MẪU MỰC Bà i 182: ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ Cá c h 1: sinα cos α sin2 α + cos2 α 2 + = = cosα sin