Luyện thi đại học Chương 7 lượng giác II

CHƯƠNG VII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN Cách giải : Áp dụng các công thức A 0B AB 0 A BA ≥≥ ⎧⎧ =⇔ ⇔ ⎨⎨ B = = ⎩⎩ 2 B0 AB A B ≥ ⎧ =⇔ ⎨ = ⎩ Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng giác nên ta xử lý điều kiện B bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ 0≥ các bài toán quá phức tạp. Bài 138 : Giải phương trình ( ) 5cos x cos2x 2sin x 0 *−+= () * 5cos x cos2x 2sin x⇔−=− 2 sin x 0 5cos x cos 2x 4sin x ≤ ⎧ ⇔ ⎨ −= ⎩ ()( 22 sin x 0 5cosx 2cos x 1 4 1 cos x ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −−=− ⎪ ⎩ ) = 2 sin x 0 2cos x 5cosx 3 0 ≤ ⎧ ⇔ ⎨ +− ⎩ () sin x 0 1 cosx cosx 3 loại 2 ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =∨ =− ⎪ ⎩ ≤ ⎧ ⎪ ⇔ π ⎨ =± + π ∈ ⎪ ⎩ π ⇔=−+ π∈   sin x 0 xk2,k 3 xk2,k 3 Bài 139 : Giải phương trình 333 3 sinx cosx sinxcotgx cosxtgx 2sin2x++ + = Điều kiện : cos x 0 sin 2x 0 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 ≠ ⎧ ≠ ⎧ ⎪ ≠⇔ ⇔ > ⎨⎨ ≥ ⎩ ⎪ ≥ ⎩ Lúc đó : () 332 2 * sinxcosxsinxcosxcosxsinx 2sin2x⇔++ + = () ( ) 22 sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin 2x⇔+++= ( ) () 22 sin x cos x sin x cos x 2sin 2x⇔+ + = () 2 sin x cos x 0 sin x cos x 2sin 2x +≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ += ⎪ ⎩ () sin x 0 2sin x 0 4 4 sin2x 1 nhận do sin2x 0 1 sin 2x 2sin 2x ⎧π ⎛⎞ ⎧π ⎛⎞ +≥ +≥ ⎪⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⇔⇔ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎨⎨ ⎪⎪ = > += ⎩ ⎩ () ⎧π ⎧π ⎛⎞ ⎛⎞ +≥ +≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⇔⇔ ⎨⎨ πππ ⎪⎪ =+π∈ =+ π∨= + π ∈ ⎪⎪ ⎩⎩  sin x 0 sin x 0 44 5 xk,k xm2x m2loại,m 444 π ⇔=+ π ∈xm2,m 4 Bài 140 : Giải phương trình () π ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ 2 1 8 sin 2x.cos 2x 2 sin 3x * 4 + Ta có : (*) 22 sin 3x 0 4 1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x 4 ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇔ ⎨ π ⎛⎞ ⎪ += ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ + () ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇔ ⎨ π ⎡ ⎤ ⎪ ++=−+ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ sin 3x 0 4 14sin2x1cos4x 21cos(6x ) 2 ()( sin 3x 0 4 1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎪ ⎜⎟ ⇔ ⎝⎠ ⎨ ⎪ ++ −=+ ⎩ ) ⎧π⎧π ⎛⎞ ⎛⎞ +≥ +≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⇔⇔ ⎨⎨ ππ ⎪⎪ = = +π∨ = +π ∈ ⎪⎪ ⎩⎩  sin 3x 0 sin 3x 0 44 15 sin 2x x k x k , k 21212 So lại với điều kiện sin 3x 0 4 π ⎛⎞ + ≥ ⎜⎟ ⎝⎠ Khi x k thì 12 π •=+π sin 3x sin 3k cos k 42 ππ ⎛⎞⎛ ⎞ += +π= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ π () ( ) () () ⎡ = ⎢ − ⎢ ⎣ 1 , nếu k chẵn nhận 1, nếu k lẻ loại π •=+π 5 Khi x k thì 12 ππ π ⎛⎞⎛ ⎞⎛ += +π= −+π ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ 3 sin 3x sin 3k sin k 42 2 ⎞ ⎟ ⎠ ( ) () − ⎡ = ⎢ ⎢ ⎣ 1, nếu k chẵn loại 1, nếu k lẻ nhận Do đó () () ππ ⇔ =+π∨=+ +π∈  5 *x m2x 2m1,m 12 12 Bài 141 : Giải phương trình () 1sin2x 1sin2x 4cosx * sin x −++ = Lúc đó : () * 1 sin2x 1 sin 2x 2sin 2x⇔− ++ = ( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 ) 22 2 2 1 sin 2x 4 sin 2x sin 2x 0 ⎧ ⎪ +− = ⇔ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ 22 1 sin 2x 2sin 2x 1 sin 2x 0 ⎧ ⎪ −= ⇔ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ − 242 2 1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1 1 sin 2x 2 sin 2x 0 ⎧ −= − ⎪ ⎪ ⇔≥ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ ⎩ + () 22 sin 2x 4 sin 2x 3 0 1 sin 2x 2 ⎧ −= ⎪ ⇔ ⎨ ≥ ⎪ ⎩ ⎧ − =∨ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ ⎩ 33 sin 2x sin 2x 22 2 sin 2x 2 3 sin 2x 2 ⇔= ππ ⇔ =+π∨ = +π∈  2 2x k2 2x k2 , k 33 ππ ⇔ = +π∨ = +π ∈  xkxk,k 63 Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trò tuyệt đối () ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −++= ⎪ ⎩ ⇔−++= sin x 0 * cosx sinx cosx sinx 2sin2x cos x sin x cos x sin x 2sin 2x Bài 142 : Giải phương trình () +++=sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 * Đặt sin 3 tsinx 3cosxsinx cosx cos 3 π =+ =+ π 1 tsinx2sinx 33 cos 3 ππ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔= + = + ⎜⎟ ⎜⎟ π ⎝⎠ ⎝⎠ () +=*thành t t 2 ⇔=− −≥ ≤ ⎧⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ =− + − += ⎩⎩ ≤ ⎧ ⇔⇔= ⎨ =∨= ⎩ 22 t2t 2t 0 t 2 t44tt t 5t40 t2 t1 t1t4 Do đó () * πππ ππ ⎛⎞ ⇔ + =⇔+=+π += +π∈ ⎜⎟ ⎝⎠  15 sin x x k2 hay x k2 , k 32 36 36 ππ ⇔=−+ π∨=+ π∈  xk2xk2,k 62 Bài 143 : Giải phương trình () ( ) ( ) ++=+3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3 cos x * Chia hai vế của (*) cho cos x 0 ≠ ta được () () ( ) * 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔++=+ Đặt utgx1vớiu=+ ≥0 x Thì 2 u1tg−= (*) thành () ( ) 22 3u u 1 5 u 2+= + 32 3u 5u 3u 10 0⇔ − +−= () ( ) 2 u23u u5 0⇔− ++= ( ) 2 u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔=∨ ++= Do ủoự () * tgx 1 2+= tgx 1 4+= tgx 3 tg vụựi 22 == << ,xkk =+ Baứi 144 : Giaỷi phửụng trỡnh () () 1 1 cos x cos x cos2x sin 4x * 2 + = () () * 1 cosx cosx cos2x sin2xcos2x + = + = cos x 0 hay 1 cos x cos x sin 2x cos 2x 0 = =+ + = 2 cos x 0 cos x 0 hay sin 2x 0 2x k , k 2 12(1cosx)cosxsin2x =+ + = 2 cos x 0 cos x 0 hay sin 2x 0 xk,k 42 12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP) = + = + = = 2 cos x 0 cos x 0 sin 2x 0 hay 5 xhhayx h,h sin 2x 1 44 (1 cosx)cosx 0 =+ == = = === xh,h 4 sin 2x 1 sin 2x 1 hay hay cosx0( sin2x0) cosx1( sinx0 sin2x0) =+ xh,h 4 Baứi 145 : Giaỷi phửụng trỡnh ( ) ( ) ( ) 33 sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *++ += () 33 sinx cosx cosx sinx *sinx cosx 2sinxcos sin x cos x ++ += x () () 22 sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + = sin x cos x 0 1 sin 2x 2sin 2x + += + + = = + sin x 0 sin x cos x 0 4 sin 2x 1 xk,k 4 ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⇔ ⎨ ππ ⎪ +=+π∈ ⎪ ⎩  sin x 0 4 xk,k 42 ⎧π ⎛⎞ +≥ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⇔ ⎨ ππ π π ⎪ +=+ π += + π∈ ⎪ ⎩  sin x 0 4 3 xh2hayx h2,h 42 4 2 π ⇔=+ π∈xh2,h 4 Bài 146 : Giải phương trình () cos 2x 1 sin 2x 2 sin x cos x *++ = + Điều kiện cos 2x 0 và sin x 0 4 π ⎛⎞ ≥+ ⎜⎟ ⎝⎠ ≥ Lúc đó : () () 2 22 * cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+ () () 22 22 cos x sin x cos x sin x 2 cos 2x cos x sin x⇔−++ + + () 4sinx cosx=+ () ( ) ( ) cosx cosx sinx sinx cosx cos2x 2 sinx cosx⇔+++ =+ sin x cos x 0 cos x cos 2x 2 += ⎡ ⇔ ⎢ += ⎣ () tgx 1 cos2x 2 cos x * * =− ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ 2 tgx 1 cos2x 4 4 cos x cos x =− ⎡ ⇔ ⎢ =− + ⎣ 2 tgx 1 cos x 4 cos x 5 0⇔=−∨ + −= ( ) tgx1cosx1cosx5loại⇔=−∨ =∨ =− π ⇔=−+π∨= π∈  xkxk2,k 4 Thử lại : () ππ ⎛⎞ •=−+π = − = ⎜⎟ ⎝⎠ x k thì cos 2x cos 0 nhận 42 Và () sin x sin k 0 nhận 4 π ⎛⎞ += π= ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) •=π =x k2 thì cos 2x 1 nhận và () cos x cos 0 nhận 44 ππ ⎛⎞ += > ⎜⎟ ⎝⎠ Do đó (*) π ⇔ =− + π∨ = π ∈  xkxk2,k 4 Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực () cos x cos 2x 2 ** sin x cos x 0 ⎧ += ⎪ ⇔ ⎨ +≥ ⎪ ⎩ 2 cos x 1 cos 2x 2cos x 1 1 sin x cos x 0 = ⎧ ⎪ ⇔=− ⎨ ⎪ +≥ ⎩ = π∈ = ⎧ ⇔⇔= ⎨ +≥ ⎩  cos x 1 x2k,k sin x cos x 0 Cách khác () () 2 22 * cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+ () ⇔+ −+ += + 2 (cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x () +> ⎧ ⎪ ⇔+= ⎨ − ++= ⎪ ⎩ cos x sin x 0 cos x sin x 0 hay cos x sin x cos x sin x 2 +> ⎧ ⎪ ⇔=− ⎨ + = ⎪ ⎩ cos x sin x 0 tgx 1 hay 2cosx2cos2x4 +> ⎧ ⎪ ⇔=− ⎨ + = ⎪ ⎩ cos x sin x 0 tgx 1 hay cos x cos 2x 2 = ⎧ π ⇔=−+π∈ ⎨ = ⎩  cos x 1 xk,khay cos 2x 1 4 π ⇔=−+πxkhay =π∈ 4  x2k,k ( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 ) BÀI TẬP 1. Giải phương trình : a/ 1sinx cosx 0++= b/ 2 2 4x cos cos x 3 0 1tgx − = − c/ sin x 3 cos x 2 cos 2x 3 sin 2x+=++ d/ 2 sin x 2sinx 2 2sinx 1 − += − e/ =− − 3tgx 23sinx 3 2sinx 1 f/ 24 sin 2x cos 2x 1 0 sin cos x +− = g/ +− += 2 8cos4xcos 2x 1 cos3x 1 0 h/ 2 sin x sin x sin x cos x 1++ += k/ 2 5 3sin x 4 cos x 1 2 cos x−−=− l/ 2 cos2x cos x 1 tgx=+ 2. Cho phương trình : ( ) 1sinx 1sinx mcosx1++−= a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1) 3. Cho f(x) = 3cos 6 2x + sin 4 2x + cos4x – m a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0 b/ Cho () 22 gx 2cos2x3cos2x 1=+. Tìm tất cả các giá trò m để phương trình f(x) = g(x) có nghiệm. () ĐS : 1 m 0≤≤ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 12cosx 12sinx m+++= ( ) ĐS : 1 3 m 2 1 2+≤≤ + B) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách giải : 1/ Mở giá trò tuyệt đối bằng đònh nghóa 2/ Áp dụng A BA•=⇔=±B ≥ ≥≥ ⎧ ⎧⎧ •=⇔ ⇔ ⇔ ∨ ⎨⎨ ⎨⎨ < ⎧ = ±= = ⎩⎩ ⎩ 22 B0 B0 A0 A0 AB =− ⎩ A BAB AB AB Bài 147 : Giải phương trình ( ) cos 3x 1 3 sin 3x *=− () 22 13sin3x0 * cos 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x ⎧ −≥ ⎪ ⇔ ⎨ =− + ⎪ ⎩ ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=− + ⎩ 22 1 sin 3x 3 1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= ⎩ 2 1 sin 3x 3 4sin 3x 2 3sin3x 0 ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =∨ = ⎪ ⎩ 1 sin 3x 3 3 sin 3x 0 sin 3x 2 ⇔= π ⇔= ∈  sin 3x 0 k x,k 3 Bài 148 : Giải phương trình ( ) 3sinx 2 cosx 2 0 *+−= () *2cosx23sin⇔=−x 22 23sinx 0 4cos x 4 12sinx 9sin x −≥ ⎧ ⇔ ⎨ =− + ⎩ () ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −=− + ⎩ 22 2 sin x 3 41 sin x 4 12sinx 9sin x ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −= ⎩ 2 2 sin x 3 13sin x 12sin x 0 ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =∨ = ⎪ ⎩ 2 sin x 3 12 sin x 0 sin x 13 ⇔= ⇔=π∈  sin x 0 xk,k Bài 149 : Giải phương trình ( ) sin x cos x sin x cos x 1 *++= Đặt tsinxcosx 2sinx 4 π ⎛⎞ =+= + ⎜⎟ ⎝⎠ Với điều kiện : 0t 2≤≤ Thì 2 t12sinxcos=+ x Do đó (*) thành : 2 t1 t1 2 − + = () 2 t2t30 t1t 3loại ⇔+−= ⇔=∨=− Vậy () ⇔* 2 112sinxcos=+ x ⇔= π ⇔= ∈ sin 2x 0 k x,k 2 Bài 150 : Giải phương trình ( ) sin x cos x 2sin 2x 1 *−+ = Đặt () t sin x cos x điều kiện 0 t 2=− ≤≤ Thì 2 t1sin2=− x () () 2 *thành:t 21 t 1+−= () 2 2t t 1 0 1 t 1 t loại diều kiện 2 ⇔−−= ⇔=∨=− khi t = 1 thì 2 11sin2=− x ⇔= π ⇔= ∈ sin 2x 0 k x,k 2 Baøi 151 : Giaûi phuông trình ( ) 44 sin x cos x sin x cos x *−=+ () ()() 2222 * sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔+ −=+ cos 2x sin x cos x⇔− = + 2 cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x −≥ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =+ ⎪ ⎩ 2 cos 2x 0 1 sin 2x 1 sin 2x ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −=+ ⎪ ⎩ 2 cos2x 0 sin 2x sin 2x ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =− ⎪ ⎩ cos2x 0 sin 2x 0 ≤ ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ 2 cos 2x 0 cos 2x 1 cos 2x 1 ≤ ⎧ ⇔⇔ ⎨ = ⎩ =− π ⇔=+π∈xk,k 2 Baøi 152 : Giaûi phöông trình () 2 3sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *−=+ Ta coù : () ( ) 22 * 23sinxcosx 2cosx 22 22cosx 1 ⇔ −=+ − 31 cosx sinx cosx cosx 22 ⎛⎞ ⇔− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ = cos x.sin x cos x 6 π ⎛⎞ ⇔−= ⎜⎟ ⎝⎠ cos x 0 cos x 0 cos x 0 sin x 1 sin x 1 66 >< ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=∨ ∨ ππ ⎨⎨ ⎛⎞ ⎛⎞ − =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩⎩ =− >< ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=∨ ∨ ππ π π ⎨⎨ −=+ π∈ −=−+ π∈ ⎪⎪ ⎩⎩   cos x 0 cos x 0 cos x 0 xk2,kx k2,k 62 6 2 >< ⎧⎧ π ⎪⎪ ⇔=+π∈∨ ∨ ππ ⎨⎨ = +π∈ =−+π∈ ⎪⎪ ⎩⎩    cos x 0 cos x 0 xk,k 2 2 xk2,kx k2,k 33 π ⇔=+π∈ xk,k 2 [...]... dương sao cho phương trình có nghiệ m 3 Cho phương trình: sin x − cos x + 4 sin 2x = m a/ Giả i phương trình khi m = 0 b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m (ĐS 2−4≤m≤ 65 ) 16 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)