WWW.TOANCAPBA.TK KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN - Lớp 12. Thời gian : 120 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm) Câu I: (3,0 điểm). Cho hàm số 1 2 x y x - = - có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng ( ) 1 : 4 2 d y x=- + . Câu II: (2,0 điểm). 1) Thực hiện phép tính : 2 2012 2012 log 3 2012 2012 2 3 log log 2 3 2 A = + − ÷ ÷ 2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = − + 2 ( ) 4. 3 x x f x e e trên đoạn [ ] 0;ln4 Câu III: (2,0 điểm). Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3 2 a . 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a. II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHON: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn: Câu IV.a (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2 1 1 ( ) 2 4 2 y f x x x= = − + (C) tại điểm ( ) , o o M x y , biết rằng // ( ) 2 o f x = và 0 o x < Câu V.a (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 1 2 4 5.2 16 0 x x+ + − + = 2) Giải bất phương trình: ( ) 2 2 3 12 11 12 11 x x− − ≥ + 2. Theo chương trình nâng cao: Câu IV.b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.ln x= trên [1 ; e 2 ] Câu V. b (2,0 điểm) 1) Cho log a b − = 2012 1 1 2012 và b log c − = 2012 1 1 2012 với 3 số dương a,b,c và khác 2012. Chứng minh rằng : log c a − = 2012 1 1 2012 2) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn cắt đồ thị (C): y = x x − 2 1 tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất . WWW.TOANCAPBA.TK WWW.TOANCAPBA.TK Hết. TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 3 KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN - Lớp 12. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT Phần Chung: Câu Ý Nội dung lời giải vắn tắt Điểm I 1) 2,00 • Tập xác định: { } \ 2D = ¡ . 0,25 • Đạo hàm ( ) 2 1 0 2 y x - ¢ = < - , với mọi 2x ¹ . 0,25 • Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ) ;2 , 2;- ¥ + ¥ 0,25 • Giới hạn, tiệm cận - lim lim 1 x x y y + ¥ - ¥® ® = = . Đồ thị có tiệm cận ngang 1y = . - 2 2 lim ; lim x x y y + - ® ® = + ¥ =- ¥ . Đồ thị có tiệm cận đứng 2x = . 0,25 • Bảng biến thiên x - ¥ 2 + ¥ y ¢ − || − y 1 - ¥ || + ¥ 1 0,5 • Đồ thị 0,5 2) 1,00 WWW.TOANCAPBA.TK WWW.TOANCAPBA.TK • Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng ( ) 1 : 4 2 d y x=- + là nghiệm của phương trình: 1 2 x x - - 1 4 2 x=- + (1) ( ) 1 1 4 2 2 x x x ⇔ − = − + − ÷ (2) (vì 2x = không là nghiệm của pt (2)) 2 8 15 0x x⇔ − = ⇔ 0x = hoặc 15 8 x = 0,5 • Với 0x = ta có 1 2 y = Với 15 8 x = ta có 7y =- Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: 1 0; 2 ÷ và 15 ; 7 8 − ÷ 0,5 II 1) 1,00 2 2012 2012 log 3 2012 2012 2 3 log log 2 3 2 A = + − ÷ ÷ 2 2012 2log 3 2012 2 3 log . 2 3 2 = − ÷ 0,5 2012 2012 log 1 3 3= − = − 0,5 2) 1,00 = − + 2 ( ) 4. 3 x x f x e e trên đoạn [ ] 0;ln4 ; = − 2 '( ) 2 4. x x f x e e 0,25 ( ) = ⇔ − = ⇔ = ∈ 2 '( ) 0 2 4. 0 ln2 0;ln 4 x x f x e e x 0,25 ( ) ( ) ( ) 0 0; ln 2 1; ln 4 3f f f= = − = 0,25 [ ] ( ) 0;ln 4 max 3f x = khi x=ln4; [ ] ( ) 0;ln 4 min 1f x = − khi x=ln2 0,25 III 1) 1,00 • SO là đường cao của hình chóp (tính chất của hình chóp đều) 0,25 • 2 2 2 2 2 2 3 4 2 4 a a a SO SA AO= - = - = 2 a SO =Þ 0,25 • Thể tích khối chóp S.ABCD 3 2 1 1 . . . 3 3 2 6 ABCD a a V S SO a= = = (đvtt) 0,5 2) 1,00 • Gọi H là trung điểm của SA. Kẻ đường trung trực của cạnh SA trong mặt phẳng (SAO) cắt đường thẳng SO tại I. Ta có: IS IA= (1) - Mặt khác I SOÎ nên w cách đều 4 điểm A, B, C, D, tức là IA IB IC ID= = = (2) 0,25 • Từ (1) và (2) suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 0,25 WWW.TOANCAPBA.TK WWW.TOANCAPBA.TK • Bán kính mặt cầu: - Hai tam giác vuông SHI và SOA đồng dạng (vì có chung góc S $ ) nên ta có : . IS SH SH IS SA SA SO SO = =Þ 1 3 . 3 3 2 2 . 2 4 2 a a a a = = • Vậy, bán kính mặt cầu 3 4 a r IS= = . 0,25 0,25 H O A C B D S w Phần Riêng: IVa 1,00 TXĐ: D R= . 4 2 1 1 ( ) 2 4 2 y f x x x= = − + . ( ) ( ) 3 2 ' ; '' 3 1f x x x f x x= − = − 0,25 ( ) ( ) 7 '' 2 1 0 4 o o o o f x x x y= ⇔ = − < ⇒ = 0,25 ( ) 1 ' 1 0 o x f= − ⇒ − = 0,25 Phương trình tiếp tuyến: ( ) 7 7 0 1 4 4 y x= + + = 0,25 Va 1) 1,00 1 2 4 5.2 16 0 4 20.2 16 0 x x x+ + − + = ⇔ − + = 0,25 2 1;2 4 x x ⇔ = = 0,5 0; 2x x⇔ = = 0,25 2) 1,00 Ta có ( ) ( ) 12 11 . 12 11 1− + = nên 1 12 11 12 11 + = − 0,25 ( ) ( ) 2 2 3 1 12 11 12 11 x x− − − ≥ − 2 2 3 1x x⇔ − ≤ − 0,5 2 1 2 3 1 0 1 2 x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 0,25 WWW.TOANCAPBA.TK I WWW.TOANCAPBA.TK IVb Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.ln x= trên [1 ; e 2 ] 1,00 ln x y' x + = 2 2 0,25 y' x e = ⇔ = 2 1 0 0,25 x 1/e 2 1 e 2 y' 0 + y 2e 0 0,25 Vậy ] [ ,e e Maxy = 2 1 2 khi x = e 2 và [ ,e ] Miny = 2 1 0 khi x = 1 0,25 Vb 1) Chứng minh rằng : log c a − = 2012 1 1 2012 1,00 Ta có log a log b log b log a log a log b log a − = ⇒ − = ⇒ = − − − − 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 Do đó log c log a log b log a log c = = − ⇒ = − − 2012 2012 2012 2012 2012 1 1 1 1 1 1 0,25 Vậy log c a − = 1 2012 1 2012 0,25 2) (C): y = x x − 2 1 1,00 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x − 2 1 = 2x + m ( x ≠ 1) 0,25 x (m )x m)⇔ + − − = 2 2 0 (1) (1) có m , m∆ = + > ∀ ∈ 2 4 0 ¡ ⇒ (d) luôn cắt (C) tại A và B phân biệt. 0,25 Khi đó B A B A B A B A AB (x x ) (y y ) [(x x ) x .x ] (m )= − + − = + − = + ≥ 2 2 2 2 2 5 4 5 4 20 0,25 Vậy MinAB = 2 5 khi m = 0 0,25 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng thì cho điểm tối đa WWW.TOANCAPBA.TK . + + = 0,25 Va 1) 1, 00 1 2 4 5.2 16 0 4 20.2 16 0 x x x+ + − + = ⇔ − + = 0,25 2 1; 2 4 x x ⇔ = = 0,5 0; 2x x⇔ = = 0,25 2) 1, 00 Ta có ( ) ( ) 12 11 . 12 11 1 + = nên 1 12 11 12 11 + = − 0,25 (. 1 0,25 Vb 1) Chứng minh rằng : log c a − = 2 012 1 1 2 012 1, 00 Ta có log a log b log b log a log a log b log a − = ⇒ − = ⇒ = − − − − 2 012 2 012 2 012 2 012 2 012 2 012 2 012 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 Do. = − − 2 012 2 012 2 012 2 012 2 012 1 1 1 1 1 1 0,25 Vậy log c a − = 1 2 012 1 2 012 0,25 2) (C): y = x x − 2 1 1,00 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x − 2 1 = 2x + m ( x ≠ 1) 0,25 x