ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Câu 1: (2điểm) Cho hàm số 1 12 + − = x x y a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (D) : y = x – 1 Câu 2: (1điểm) a) Giải phương trình : ( ) ( ) 3 cos 2 -sin cos 2sin 1 0x x x x+ + = . b) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết: = =+ .13 .10 z zz Câu 3: (0,5điểm) Giải phương trình 015.265 222 =+− −− xx Câu 4: (1điểm) Giải hệ phương trình : 3 2 2 1 3 ( 1) 1 5 5 − + + = + + + − + + − = y x y x y x xy y y y x Câu 5: (1điểm) Tính các tích phân: ∫ = 2 0 3 .sin.2sin π dxxxI Câu 6: (1điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 2 a AM = , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a. Câu 7: (1điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với 2 17 3 3 M ; ÷ . Biết phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12. Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương. Câu 8: (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0 a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S) Câu 9: (0,5điểm)Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang số chia hết cho 10. Câu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz. Chứng minh rằng : 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 xy yz zx x y x z y z y z y x z x z x z y x y + + ≤ + + + + + + + + + HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN Câu 1. (2,0đ) 1. 2 1 1 x y x − = + Tập xác định: D = ¡ \{–1}. x lim y 2 →±∞ = Tiệm cận ngang: 2 = y x 1 x 1 lim y ; lim y + − →− →− = −∞ = +∞ Tiệm cận đứng: 1 −= x 0,25 2 )1( 3 ' + = x y > 0, ∀x∈D Hàm số tăng trên (–∞;–1), (–1;+∞) Hàm số không có cực trị. 0,25 0,25 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y -2 -1 1 2 3 4 5 0,25 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là : 2 1 1 1 x x x − = − ⇔ + x 2 – 2x = 0 0,25 ⇔ x = 0 hay x = 2 suy ra y = -1 hay y = 1 0,5 Vậy tọa độ giao đểm là (0; -1) hay (2; 1) 0,25 Câu 2 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 cos 2 -sin cos 2sin 1 0x x x x+ + = x –∞ –1 +∞ y’ + + y 2 +∞ –∞ 2 (1,0đ) sin 2 3 cos 2 3sin cos 1 3 3 1 sin 2 cos2 sin cos 2 2 2 2 x x x x x x x x ⇔ + = − ⇔ + = − sin 2 cos cos2 sin sin cos cos sin 3 3 6 6 x x x x π π π π ⇔ + = − sin(2 ) sin( ) 3 6 x x π π ⇔ + = − 0,25 2 2 3 6 ( ) 2 ( ) 2 3 6 x x k k x x k π π π π π π π + = − + ⇔ ∈ + = − − + ¢ 2 2 ( ) 5 2 18 3 x k k k x π π π π = − + ⇔ ∈ = + ¢ 0,25 2. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết: = =+ .13 .10 z zz Giả sử z = x + yi => z = x– yi. (x, y∈IR) Theo đề bài ta có : =+ = .13 .102 22 yx x . 0,25 ⇔ ±= = 12 5 y x . 0,25 Câu 3 (0,5đ) Giải phương trình 015.265 222 =+− −− xx Đặt t = 5 x >0. Pt <=> t 2 –26t + 25 = 0 <=> = = 25 1 t t 0,25 <=> = = 2 0 x x . 0,25 Câu 4 (1,0đ) Giải hệ phương trình : 3 2 2 1 3 ( 1) 1 5 5 − + + = + + + − + + − = y x y x y x xy y y y x 0 Điều kiện : 0 1 > + ≥ − y x y ( vì y=0 không thỏa hpt) (1) 2 ( 1) ( 1)( 1) 3 ( 1)( 1) 1 − + ⇔ = + − + + + + − + + + x x x x y x x y y x y 2 2 1 ( 1)[ 3 3 3 1 ] 1 ⇔ + − + + − + + + + + x x x xy y y y x y 2 2 1 ( 1)[ (3 1) 3 3 1 ] (3) 1 ⇔ + + − + − + + + + + x x y x y y y x y 0,25 0,25 Xét A = x 2 + (3y – 1 )x + 3y 2 – 3y + 1 ∆ = -3(y - 1) 2 0 ≤ ∀ ∈x R => 0 ,≥ ∀ ∈A x y R (3) ⇔ x = -1 0,25 Thay x = -1 vào (2) ta có : 2 5 5+ + =y y 1 17 2 1 17 ( ) 2 − + = ⇔ − − = y y l Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - 1 ; 1 17 2 − + ) 0,25 Câu 5 (1,0đ) Tính các tích phân: ∫ = 2 0 3 .sin.2sin π dxxxI I = ∫ 2 0 4 .cos.sin2 π dxxx . Đặt t=sinx => dt=cosxdx 0,25 ▪ ∫ = 1 0 4 2 dttI . 0,25 = 1 0 5 5 2 t = 5 2 . 0,25x2 Câu 6(1,0 điểm) * Tính thể tích khối chóp S.HCD: Hai tam giác vuông AMD và DAC có AM AD 1 AD DC 2 = = nên đồng dạng, Suy ra · · ADH DCH = , mà · · · ADH HDC 90 DHC 90+ = ⇒ = o o ∆ ADC vuông tại D: 2 2 2 AC AD DC AC a 5 = + ⇒ = Hệ thức lượng ∆ ADC: DH.AC = DA.DC Suy ra: DC.DA 2a DH AC 5 = = ∆ DHC vuông tại H: 2 2 4a HC DC DH 5 = − = 0,25 Do đó diện tích ∆ HCD: 2 HCD 1 4a S DH.HC 2 5 = = Thể tích khối chóp SHCD: 3 S.HCD HCD 1 4a V SH.S 3 15 = = 0,25 Tính khoảng cách giữa SD và AC: Dựng HE SD ⊥ Ta có SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ AC và DH ⊥ AC , do đó AC ⊥ (SHD) Mà HE ⊂ (SHD) nên HE ⊥ AC Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC. nên ( ) HE d SD;AC = 0,25 ∆ SHD vuông tại H nên: 0,25 2 2 2 1 1 1 2a HE 3 HE SH HD = + ⇒ = Vậy ( ) 2a d SD;AC HE 3 = = Câu 7(1,0 điểm) Ta có : tam giác MDC vuông tại D =>(MD) : x – y + 5 = 0 => D(-2; 3) 0,25 MD = 8 2 3 => HD = 3 4 MD = 2 2 Gọi AB = a => S ABCD = 3a.2 2 2 = 12 => a = 2 2 0,25 =>DC = 4 2 Gọi C(c; 1 –c ) => DC 2 = 2(c + 2 ) 2 => c = 2 hay c = -6 (loại)=>C(2; -1) 0,25 =>B(3; 2) => (BC): 3x – y – 7 = 0 0,25 Câu 8 (1,0 điểm) (S): 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = và (P): x + y + z + 2015 = 0 a) (S) có tâm I(1; -2; 3) và R = 4 0,25 (D) qua I(1; -2; 3) và có VTCP u r = (1; 1; 1;) có ptts : x 1 t y 2 t z 3 t = + = − + = + 0,25 b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ≠ 2015) ( ) ( ) , 4 2 4 3d I Q D= ⇔ = − ± 0,25 Vậy (Q) : x + y + z 2 4 3 0− ± = 0,25 Câu 9: (0,5điểm) Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C 10 30 cách chọn Ta phải chọn : 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C 15 5 cách chọn. 1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C 1 3 cc 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có : C 4 12 0.25 Vậy xác suất cần tìm là : P(A) = 5 4 1 15 12 3 10 30 . . 99 667 = C C C C 0.25 Câu 10 (1,0 điểm) Chứng minh rằng : 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 xy yz zx x y x z y z y z y x z x z x z y x y + + ≤ + + + + + + + + + Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 1 1 1 3 ⇔ + + = x y z Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1 1 ( ) 4 ≤ + + x y x y ;x 2 + y 2 ≥ 2xy 0,25 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 4 xy xy xy xy(x y) x y x z y z xy(x y) (x y )z (x y )z ≤ ≤ + + + + + + + + + 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 2 xy xy (x y) (x y) z x y x z y z (x y )z ⇒ ≤ + ≤ + ÷ + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 16 8x y z x y z ≤ + + = + + ÷ ÷ (1) 0,25 Chứng minh tương tự : 3 3 2 2 1 1 1 1 16 8 yz y z x y z y x z x ≤ + + ÷ + + + (2) 0,25 3 3 2 2 1 1 1 1 16 8 zx z x y z x z y x y ≤ + + ÷ + + + (3) Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 0,25 . ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Câu 1: (2điểm) Cho hàm số 1 12 + − = x x y a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho x z y z y z y x z x z x z y x y + + ≤ + + + + + + + + + HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN Câu 1. (2,0đ) 1. 2 1 1 x y x − = + Tập xác định: D = ¡ {–1}. x lim y 2 →±∞ = . độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0 a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng