Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán 2015 số 33

Sở giáo dục & đào tạo Thừa thiên huế Trng THPT 80 Nguyn Hu đề chính thức Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA Năm học 2014-2015 Mụn thi : Toán (120 phút, không kể thời gian giao đề) Cõu I (3,0 im) Cho hm s 2 32 + + = x x y cú th (C) 1. Kho sỏt v v th hm s(C) 2. Cho ng thng d: mxy += 2 . Chng minh rng d ct (C) ti hai im A, B phõn bit vi mi s thc m . Gi , 1 k 2 k l n l t l h s gúc ca tip tuyn ca ( C ) t i A v B. Tỡm m P = ( ) ( ) 2014 2014 1 2 k k+ t giỏ tr nh nht. Cõu II (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh lng giỏc: cos2x sin x cosx 0 + = 2. Gii h phng trỡnh: ( ) =+++ + =++ 10)1(4)19( 1 1 1913 223 2 xxyx xx yxy Cõu III (2,0 im) Cho khi chúp .S ABC cú SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, ã ã 0 AS 90 ,B SAC = = ã 0 120BSC = . Gi M, N ln lt trờn cỏc on SB v SC sao cho SM = SN = 2a. Chng minh tam giỏc AMN vuụng. Tớnh th tớch S.ABC v khong cỏch t im C n mt phng ( )SAB theo a. Cõu IV (2,0 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai im ( ) 1;2A v ( ) 4;3B . Tỡm ta im M trờn trc honh sao cho gúc AMB bng 0 45 . Câu V (1,0điểm) Chứng minh rằng nếu ,x y là các số thực dương thì ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 xy x y + ≥ + + + - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh Số báo danh Câu I 1. Khảo sát tự làm 2. Nội dung Điểm Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d: mx x x +−= + + 2 2 32    =−+−+ −≠ ⇔ (*)023)6(2 2 2 mxmx x 0,5 Xét phương trình (*), ta có: Rm ∈∀>∆ ,0 và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. 0,5 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là 2 2 2 2 1 1 )1( 1 , )1( 1 + = + = x k x k , trong đó 1 x , 2 x là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy ( ) ( ) ( ) 4 422 1 22 1 . 2 2121 2 2 2 1 21 = +++ = ++ = xxxxxx kk (k 1 >0, k 2 >0) 0,5 Có P = ( ) ( ) ( ) 2014 2014 2014 2015 1 2 1 2 k k 2. k k 2+ ≥ = , do dó MinP = 2 2015 đạt được khi 2 2 2 1 2 2 2 1 21 )2()2( )2( 1 )2( 1 +=+⇔ + = + ⇔= xx xx kk do 1 x , 2 x phân biệt nên ta có x 1 +2 = - x 2 - 2 ⇔ x 1 + x 2 = - 4 ⇔ m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm. 0,5 Câu II 1. Nội dung Điểm 2 2 cos2x sin x cos x 0 cos x sin x (cosx sin x) 0− + = ⇔ − + − = 0,5 (cosx sin x)(cosx sin x 1) 0⇔ − + + = 0,5 2.cos x 0 cosx sin x 0 4 cosx sin x 1 0 2 cos x 1 4  π   + =  ÷  − =     ⇔ ⇔   + + = π    − = −   ÷    0,5 x k x k 4 2 4 3 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 2 4 4 π π  + = + π π   = + π    π π  ⇔ − = + π ⇔ = π+ π    −π  π π = + π   − = − + π    0,5 2. Nội dung Điểm ĐK: 0x ≥ NX: x = 0 không TM hệ PT Xét x > 0 PT (1) ⇔ x xx yyy ++ =++ 1 1933 2 ⇔ 1 111 1)3(33 2 2 +         +=++ xxx yyy (3) 0,5 Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. 1 2 +t , t > 0. Ta có: f’(t) = 1 + 1 1 2 2 2 + ++ t t t >0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞) PT(3) ⇔ f(3y)= f         x 1 ⇔ 3y = x 1 0,5 Thế vào pt(2) ta được PT: 10).1(4 223 =+++ xxxx Đặt g(x)= 10).1(4 223 −+++ xxxx , x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0 ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞) 0,5 Ta có g(1) = 0 Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 0,5 Với x =1 ⇒ y = 3 1 KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1; 3 1 ). Câu III Dùng Đlý hàm số Cosin tính được: MN = 32a 0,25 AM= 22a , AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc ASC∠ = 60 0 ) ⇒ tam giác AMN vuông tại A. 0,25 Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại A. )(AMNSH ⊥⇒ ; tính được SH = a. 0,5 Tính được 3 22 3 . a V AMNS = 0,25 3 1 . . . . == SCSB SNSM V V ABCS AMNS 3 . 22 aV ABCS =⇒ 0,25 Vậy 3 . 2 3 6 2 ( ;( )) 2 2 3 S ABC SAB V a d C SAB a S a ∆ = = = 0,5 Câu IV Giả sử tọa độ của ( ) ;0M x . Khi đó ( ) ( ) 1 ;2 ; 4 ;3MA x MB x= − = − uuur uuur . Theo giả thiết ta có 0 . . .cos 45MA MB MA MB = uuur uuur 0,25 N M S C B A H N M A S ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 6 1 4. 4 9. 2 2 5 10 2 5. 8 25. 2 x x x x x x x x x x ⇔ − − + = − + − + ⇔ − + = − + − + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 5 10 2 5 8 25 (do 5 10 0) 10 44 110 75 0 1 5 4 15 0 1; 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + = − + − + − + > ⇔ − + − + = ⇔ − − − + = ⇔ = = 0,25 Vậy ta có hai điểm cần tìm là ( ) 1;0M hoặc ( ) 5;0M 0,25 Câu V Do , 0x y > nên bất đẳng thức đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1x y xy x y   + + + + ≥ + +   0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2x y x y xy x x y y⇔ + + + + + ≥ + + + + 0,25 ( ) ( ) 2 2 1 0xy x y xy⇔ − + − ≥ , bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi 1x y= = 0,25 0,25 . dục & đào tạo Thừa thi n huế Trng THPT 80 Nguyn Hu đề chính thức Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA Năm học 2014 -2015 Mụn thi : Toán (120 phút, không kể thời gian giao đề) Cõu I (3,0 im) Cho. Chứng minh rằng nếu ,x y là các số thực dương thì ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 xy x y + ≥ + + + - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh Số báo danh Câu I 1. Khảo sát tự. x > 0 PT (1) ⇔ x xx yyy ++ =++ 1 1 933 2 ⇔ 1 111 1)3 (33 2 2 +         +=++ xxx yyy (3) 0,5 Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. 1 2 +t , t > 0. Ta có: