Sở GD & ĐT Hoà Bình kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 tHCS năm học 2010 - 2011 Đề chính thức Đề thi môn : Toán Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4 điểm) 1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau: a/ 3 2 2 3 3 4 12A x x y xy y= + b/ 3 2 2 3 4 2 8B x y xy x y= + + + 2. Cho 11 6 2 11 6 2a = + + . Chứng minh rằng a là một số nguyên. Bài 2: (6 điểm) 1. Giải phơng trình: 2 2 12 3 1 4 2x x x x = + + + + 2. Cho hàm số 2 ( 1) 1y m x m= + (m: tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân. 3. Tìm x để biểu thức 1 1 x A x = + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: (4 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, có bán kính bằng 2. Biết ã 0 60BAC = , đờng cao AH = 3. Tính diện tích tam giác ABC. 2. i c vua ca trng A thi u vi i c vua ca trng B, mi u th ca trng ny thi u vi mi u th ca trng kia mt trn. Bit rng tng s trn u bng bn ln tng s cu th ca c hai i v s cu th ca trng B l s l. Tỡm s cu th ca mi i. Bài 4: (5 điểm) Cho na ng trũn tõm O bỏn kớnh R, ng kớnh AB. Hai im E, F thay i trờn na ng trũn sao cho s o cung AE khỏc khụng v nh hn s o cung AF, bit EF = R . Gi s AF ct BE ti H, AE ct BF ti I. 1. Chng minh rng t giỏc IEHF ni tip c trong mt ng trũn. 2. Gi EG v FQ l cỏc ng cao ca tam giỏc IEF, chng minh rng di QG khụng i. 3. Chng minh rng QG song song vi AB. Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ = + + + Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký): Sở GD&ĐT Hoà Bình Hớng dẫn chấm môn toán Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh cấp THCS Năm học 2010-2011 Bài ý Nội dung Điểm 1. (4đ) 1 2 a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y ). b/ B = ( x + 2y + 1 ).( x 2 - 2xy + 4y 2 ). 2 2 11 6 2 11 6 2 (3 2) (3 2) 6a = + + = + + = Từ đó a là số nguyên. 1,0 1,0 1,5 0,5 2 (6 đ) 1. 2. 3. + HS lập luận đợc x 2 + x + 4 và x 2 + x + 2 khác 0 rồi đa PT về dạng 9( x 2 + x ) + 12 = ( x 2 + x + 4 ) ( x 2 + x + 2 ) +HS biến đổi PT về dạng ( x 2 + x - 4 ) ( x 2 + x + 1 ) = 0 +HS giải PT tích tìm đợc 2 nghiệm là x = 1 17 2 + HS lập luận đợc để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đờng thẳng y = x ( hoặc y = - x ) + Từ đó dẫn đến 2 1 1 1 0 m m = hoặc 2 1 1 1 0 m m = giải 2 hệ PT đó tìm đợc m = 2 hoặc m = 0 và trả lời bài toán. + HS viết đợc 2 1 1 A x = + + HS lập luận và tìm đợc giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng - 1 khi x = 0. 1,0 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 1,5 3 (4 đ) 1. 2. Gọi K là trung điểm của BC, dễ có ã 0 60KOC = . Xét tam giác vuông OKC có OC = 2 Tính đợc 0 .sin 60 3KC OC= = , Tính đợc 2 3BC = , suy ra diện tích tam giác ABC là 3 3S = (Đvdt) Chú ý: Thực chất tam giác ABC đều nh- ng không yêu cầu HS vẽ hình đúng. + Gi s cầu thủ đội trờng A là x; Số cầu thủ đội trờng B là y t k và lập đợc PT: xy = 4( x + y ) ( 4)( 4) 16x y = + HS lp lun và tìm đợc x = 20 ; y= 5, KL 1,0 1,0 1,0 1,0 4 (5 ) 1. 2. 3. 1. Chng minh c t giỏc IEHF ni tip c trong mt ng trũn. 2. Chng minh c IFEIQG : (g.g), t ú cú 1 EF IE 2 QG IG = = ; 1 1 EF= 2 2 QG R= (pcm). 3. Chng minh c IFEIAB : (g.g), kt hp 2,0 1,0 1,0 H Q G I F B A O E vi (2) ta cú IABIQG : , suy ra IA IB IQ IG = dn n QG song song vi AB. 1,0 5 (1đ) + HS tìm đợc ĐK 1 7x và biến đổi PT về dạng tích ( 1 2x ).( 1 7x x ) = 0 + HS giải PT tích tìm đợc x = 5 hoặc x = 4 đều thỏa mãn và trả lời. 0,5 0,5 Chú ý: Mọi lời giải đúng khác đều đợc cho điểm tơng đơng . Bình kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 tHCS năm học 2010 - 2011 Đề chính thức Đề thi môn : Toán Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) . thí sinh: SBD: Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký): Sở GD&ĐT Hoà Bình Hớng dẫn chấm môn toán Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh cấp THCS Năm học 201 0- 2011 Bài. Biết ã 0 60BAC = , đờng cao AH = 3. Tính diện tích tam giác ABC. 2. i c vua ca trng A thi u vi i c vua ca trng B, mi u th ca trng ny thi u vi mi u th ca trng kia mt trn. Bit rng tng s trn u bng bn ln tng s