b Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức B có giá trị nguyên.. Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam giác đều, từ đó suy ra OH ⊥EF.. c Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi
Trang 1së GD & ®t qu¶ng b×nh kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt
n¨m häc 2012 - 2013 (ĐỀ CHÍNH THỨC) Khoá ngày 04 - 07 - 2012
Họ tên : Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 01 trang
Câu 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức 21 2 1
1
B
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức B có giá trị nguyên.
Câu 2:(1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau: 3 3
x y
x y
+ =
− =
Câu 3:(2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 −2x− =3 0
b) Cho phương trình bậc hai: x2 −2x n+ =0 (n là tham số).
Tìm n để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 và thoả mãn: 2 2
x + =x
Câu 4:(1,0 điểm) Cho các số thực x, y thoả mãn: x y+ =2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q x= +3 y3 +x2 + y2
Câu 5:(3,5 điểm) Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, N là điểm bất kì trên
cạnh BC (N khác B, C) Từ N vẽ NE vuông góc AB, NF vuông góc AC (E thuộc AB,
F thuộc AC)
a) Chứng minh: A, E, N, H, F cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi O là trung điểm của AN Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam
giác đều, từ đó suy ra OH ⊥EF
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi N chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a
HÕT
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013
Khúa ngày 04 - 07 - 2012
Mụn: TOÁN
MÃ ĐỀ: 012- 014
* Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một lời giải cho mỗi cõu Trong bài làm của học sinh yờu cầu phải lập luận lụgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rừ ràng.
* Trong mỗi cõu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thỡ cho điểm 0 đối với những bước giải sau cú liờn quan.
* Điểm thành phần của mỗi cõu núi chung phõn chia đến 0.25 điểm Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thỡ tựy tổ giỏm khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.
* Học sinh khụng vẽ hỡnh đối với Cõu 5 thỡ cho điểm 0 đối với Cõu 5 Trường hợp học sinh cú vẽ hỡnh, nếu vẽ sai ở ý nào thỡ cho điểm 0 ở ý đú
* Học sinh cú lời giải khỏc đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn cho điểm tối đa tựy theo mức điểm của từng cõu.
* Điểm của toàn bài là tổng (khụng làm trũn số) của điểm tất cả cỏc cõu.
1a Cho biểu thức
2
1
B
( )
1 2 1
1
x x B
x x
=
( 3 1)
x
x x
=
3
1
x
=
1b 3
1
B
x
=
− với x≠0 và x≠1 0,25
B cú giỏ trị nguyờn khi x - 1 là ước nguyờn của 3 0,25
1 1 0 (loại)
1 1 2
1 3 4
− = − ⇔ = −
− = − ⇔ =
⇒
− = ⇔ =
0,25
Vậy biểu thức B cú giỏ trị nguyờn khi x = -2, x = 2 và x = 4 0,25
3 3 (I)
+ =
− =
x y
x y
Cộng từng vế hai phương trỡnh của (I) ta được:
5x=10
0,5
Mã đề 012 - 014 Trang 2
Trang 3⇔ =x 2 0,25
Do đú, ta cú ( ) 2 2
I
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất ( x y; ) (= 2; 3− ) 0,25
Lưu ý: Học sinh chỉ viết kết quả thỡ cho 0,75 điểm
3a
Phương trỡnh: x2 −2x− =3 0
Ta cú a b c− + = − − − =1 ( )2 3 0. 0,5 Phương trỡnh cú hai nghiệm x1 = −1;x2 =3 0,5
Lưu ý: Học sinh chỉ viết kết quả thỡ cho 0,5 điểm
3b
Phương trỡnh x2 −2x n+ =0 cú hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi
( )2 ' 0 1 n 0 n 1
Theo định li Viet x1+ =x2 2, x x1 2 =n 0,25
( )2
2
x x 8 x x 2x x 8
2 2n 8
n 2 (thoả mãn)
⇔ = −
0,25
0,25
Vậy với n= −2 phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 và thoả món:
x + =x
Ta cú ( )3 ( ) ( )2
Q= +x y − xy x y+ + +x y − xy
12 8 ( = − xy do x y+ =2)
( )
2
12 8 2
8 16 12
0,25
0,25
( )2
8 x 1 4 4, x
=4
Q khi v chà ỉ khi
2 ( 1) 0
1 2
x
x y
x y
⇔ = =
+ =
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của Q là 4 khi x y= =1
0,25
Mã đề 012 - 014 Trang 3
A
H N
E
F O
I
Trang 4Hỡnh vẽ
0,5
5a
Ta cú: NE⊥AB, NF⊥AC, AH⊥BC 0,25
Nờn: E, H, F cựng nhỡn đoạn AN dưới một gúc vuụng 0,5
Vậy A, E, N, H, F cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh AN 0,25
5b
Xột đường trũn đường kớnh AN, tõm O
Ta cú OE = OH = OF nờn ∆EOH, ∆HOF cõn tại O 0,25
Suy ra ∆EOH, HOF∆ đều ⇒OE EH HF FO = = = 0,25
Do đú tứ giỏc OEHF là hỡnh thoi ⇒OH ⊥EF 0,25
5c
Gọi I là giao điểm của OH và EF
M à ≥ = 3
2
a
Vậy giỏ trị nhỏ nhất EF là 3
4
a
khi N trựng H 0,25
Mã đề 012 - 014 Trang 4