SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT CHÍ LINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn Thi : TOÁN Lần thứ 1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao ñề. Đề gồm 01 trang Câu I ( 4,0 ñiểm). Cho hàm số 3 2 3 1 6 2 4 2 x y x mx = − − + . 1) Với 1 2 m = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1. 2) Tìm các số thực m ñể hàm số có 2 ñiểm cực ñại, cực tiểu trên [-1;1]. Câu II (2,0 ñiểm). Giải các phương trình sau 1) sinx-cos3 2cos 2 cos 2 sin 2 tan tan 4 4 x x x x x x π π + = − + . 2) (5 2 6) (5 2 6) 10 x x + + − = . Câu III (2,0 ñiểm). Giải các bất phương trình sau 1 2 3 1 3 1) log (2 8) log (24 2 ) 0. x x+ + − + − ≤ 2) 2 2( 3 3 2 ) 2 3 7 0x x x x+ − − + + − ≥ . Câu IV (2,0 ñiểm). Tính các tích phân 1) 2 0 ( 2)cosx xdx π − ∫ . 2) 0 4 2 1 1 x dx x x − + + ∫ . Câu V (1,0 ñiểm). Giải hệ phương trình 3 3 2 2 2 2 3( ) 4( ) 4 0 ( , ) 2( ) 18 x y x y x y x y x y x y − + + + − + = ∈ + − + = . Câu VI (4,0 ñiểm). Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0 60 ,ABC = cạnh bên SA vuông góc với ñáy, SC tạo với ñáy góc 0 60 . 1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB, SD. 3) Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD theo a. Câu VII (2,0 ñiểm). Trong hệ toạ ñộ Oxy, cho ñiểm A(4;2), B(-3;1), C là ñiểm có hoành ñộ dương nằm trên ñường thẳng (d):x+y=0. Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC bằng 25. Câu VIII (1,0 ñiểm). Một ñội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập ñược tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ viên. Câu IX (1,0 ñiểm). Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con ñường quốc lộ. Người ta xây dựng một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh ñường quốc lộ và con ñường nối hai nông trường tới nhà máy. Hỏi phải xây dựng con ñường và ñịa ñiểm xây dựng nhà máy như thế nào ñể cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất. Câu X (1,0 ñiểm). Cho các số thực ,a b thoả mãn 5 3 a b a + ≥ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 a b P a b= + − − . ………….…………………………………Hết……………………………………… Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:…………………. Chữ kí giám thị 1:…………………….………… Chữ kí giám thị 2:………………………………… GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 2 H-íng dÉn chÊm Câu Nội dung Điểm I:(4,0 ñ) 1.a)2,0ñ a)khi 3 2 1 3 1 3 2 2 4 2 x m y x x= ⇒ = − − + 1. Tập xác ñịnh: D = 2. Sự biến thiên của hàm số * Giới hạn tại vô cực của hàm số. 3 2 3 2 3 3 1 1 3 3 1 lim lim ( 3 ) lim ( ) ;lim 2 4 2 2 4 2 x x x x x y x x x y x x x →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ = − − + = − − + = + ∞ = −∞ 0,25 * Lập bảng biến thiên 2 9 1 ( 1) 3 3 4 ' 3; ' 0 9 2 2 2 (2) 2 x y y x x y x y = − ⇒ − = = − − = ⇔ = ⇒ = − 0,25 bảng biến thiên 9 4 y' -1 + + - 00 - ∞ - 9 2 + ∞ + ∞ 2 - ∞ y x 0,5 Hàm số ñồng biến trên các khoảng (- ; 1 ∞ − ) và (2;+ ∞ ); Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2); 0.25 Hàm số ñạt cực tiểu tại x=2 =>y ct = , Hàm số ñạt cực ñại tại x=0=>y cñ = 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 3 3. Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2) ĐTHS ñi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2) 0,5 1.b)1,0ñ Tập xác ñinh : D = 3 2 3 1 3 2 4 2 x y x x = − − + 2 3 3 11 ' 3; '(1) 3; (1) 2 2 4 x y x y y = − − = − = − 0,5 Phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1 là '(1)( 1) (1) y y x y = − + 0,25 =-3(x-1)- 11 4 =-3x 1 4 + 0,25 2.(1,0 ñ) Tập xác ñinh : D = ; 2 3 3 ' 6 2 2 x y x m = − − Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số có cực ñại, cực tiểu trên [-1;1] 0,25 2 3 3 6 0 2 2 x x m ⇔ − − = có hai nghiệm phân biệt , 2 4 4 x x m ⇔ − = có hai nghiệm phân biệt , ⇔ ñường thẳng y=m cắt ñồ thị hàm số 2 ( ) 4 4 x x f x = − tại 2 ñiểm phân biệt có hoành ñộ , 0,25 Lập bảng biến thiên ta ñược - 0,5 4 2 - 2 - 4 5 I - 9 8 1 2 - 5 2 - 9 2 9 4 y x 7 2 2 O -1 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 4 II.(2,0ñ) 1.(1,0ñ) Giải phương trình sinx-cos3 2cos 2 cos 2 sin 2 tan tan 4 4 x x x x x x π π + = − + . (1) Điều kiện: 4 4 tan tan 0 4 4 ( ) 4 4 4 2 os os 0 1 4 4 (cos 2 os ) 0 2 2 4 2 x k x k x x x k x k x k k c x c x x c x k π π π π π π π π π π π π π π π π π − ≠ ≠ − − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ⇔ ≠ + ∈ − + ≠ + ≠ ≠ + 1 sin sin ( os2 os ) 4 4 2 2 tan tan 1 1 4 4 ( os2 os ) os os 2 2 4 4 x x c x c x x c x c c x c x π π π π π π π π − + − − + = = = + − + 0,25 (1) 2 sin 2 sinx-cos3 2cos2 cos 2 sin 2 sinx-cos3 cos os3 x x x x x x x c x ⇔ = + ⇔ = + + 0,25 2 sin 2 2 sin 4 x x π ⇔ = + 2 2 2 4 4 sin 2 sin 2 4 2 ( ) 2 4 3 4 x k x x k x x x k x x k π π π π π π π π π π = + = + + ⇔ = + ⇔ ⇔ = + = − + + 0,25 Kết hợp với ñiều kiện phương trình ñã cho có nghiệm là 11 5 2 , 2 ( ) 12 12 x k x k k π π π π = + = − + ∈ 0,25 2.(1,0ñ) (2) Đặt . Thay vào (2) ta có 0,25 (thỏa mãn) 0,25 Với 0,25 Với 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 5 II.(2,0ñ) 1.(1,0ñ) Giải các bất phương trình sau 1 2 3 1 3 1)log (2 8) log (24 2 ) 0 (1) x x+ + − + − ≤ Điều kiện : (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 2.(1,0ñ) Điều kiên : 0,25 (3) 0,25 Do 0,25 Kết hợp với ñiều kiện tập nghiệm của bất phương trình là T=[1; 0,25 IV.(2,0ñ) 1.(1,0ñ) Đặt 2 os dx sinx U x dU dx dV c x V = − = ⇒ = = 0,25 2 2 2 0 0 0 ( 2)cos ( 2)sin sin x x xdx x x xd π π π ⇒ − = − − ∫ ∫ 0,25 2 0 ( 2) os 2 c x π π = − + 0,25 3 2 π = − 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 6 2.(1,0ñ) 0,25 Đặt ; = Nếu x=-1 thì t= Nếu x=0 thì t= 0,25 0,25 0,25 V.(1,0ñ) Giải hệ phương trình . . 3 2 3 2 3 3 (1) 3 4 4 3 4 ( 1) 1 ( 1) 1 (3) x x x y y y x x y y ⇔ + + + = − + ⇔ + + + = − + − 0,25 Xét mà (3) có 0,25 Thay y=x+2 vào (2) ta có Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (-3;-1), (3;5). 0,5 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 7 VI.(4,0ñ) O M H 60 0 60 0 a D C B A S 1.(1,0ñ) SA ⊥ (ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên 0 ( ,( )) ( , ) 60 SC ABCD SC AC SCA= = = 0,25 tam giác ABC có AB=BC=a, 0 60 , ABC = nên tam giác ABC ñều => AC=a trong tam giác SAC vuông tại A nên 0 .tan 60 3 SA AC a = = 0,25 Diện tích ABCD là 2 0 1 3 2 2. . sin 60 2 2 ABCD ABC a S S AB BC ∆ = = = 0,25 Thể tích S.ABCD là 3 . 1 . 3 2 S ABCD ABCD a V SA S= = 0,25 2.(1,5ñ) Kẻ AH ⊥ CD(H , ñường cao AH= Trong tam giác vuông SAH có 2 2 15 2 a SH SA HA= + = 0,25 Do SA ⊥ (ABCD) , SA CD CD AH CD SH ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Diện tích tam giác SAD là 2 1 15 . 2 4 SCD a S SH CD ∆ = = 0,25 2 3 . ( ,( )). 1 1 3 3 15 . 3. ( ,( )) 3 3 3 4 4S 5 SCD S ACD ACD SAD d A SCD S a a a V SA S a d A SCD ∆ ∆ ∆ = = = ⇒ = = 0,5 Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))= 15 5 a 0,5 3.(1,5ñ) Do CA=CB=CD=a nên C là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 8 Kẻ Cx//SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD. 0,25 Thật vậy Cx//SA Cx ⇒ ⊥ (ABD) OC ⇒ ⊥ (ABD) mà CA=CB=CD nên OA=OB=OD mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA=OS ⇒ OA=OB=OD=OS ⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA 0,5 dẽ thấy MACO là hình chữ nhật nên 2 2 2 2 3 7 ( ) 2 2 a a r AC AM a= + = + = 0,5 VII .(2,0ñ) AB uuur =(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là (1; 7) n = − ⇒ r phương trình AB: ( ) ( ) 1 x 4 7 y 2 0 7 10 0 x y− − − = ⇔ − + = B A C I 2 2 ( ) ( ; ) ( 0) | 7 10 | | 8 10 | ( , ) ; 50 50 1 7 C d C c c c c c c d C AB AB ∈ ⇒ − > + + + ⇒ = = = + 0,5 diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có 5 1 |8 10 | ( , ). . 50 25 (5; 5) 15 2 0 2 50 2 ABC c c S d C AB AB C c ∆ = + = = = ⇔ ⇒ − = − < 0,5 Gọi (C) là ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: 2 2 2 2 ( ) : 2ax 2 0 ( 0) C x y by c a b c + − − + = + − > Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ 2 2 2 2 2 2 4 2 8 4 0 8 4 20 ( 3) 1 6 2 0 6 2 10 10 10 50 5 ( 5) 10 10 0 a b c a b c a b c a b c a b c a b c + − − + = − − + = − − + + − + = ⇔ − + = − − + + = − + − − + + = 0,5 1 2 20 a b c = ⇔ = − ⇒ = − Phương trình ñường tròn (C): 2 2 2 4 20 0 x y x y + − + − = 0,5 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 9 VIII .(1,0ñ) Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư ⇒ số cách chọn là 3. Được 1 tổ trưởng 0,25 Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân ⇒ số cách chọn là 7. Được 1 tổ trưởng, 1 tổ phó 0,25 Chọn 3 công nhân làm tổ viên trong 6 công nhân ⇒ số cách chọn là số tổ hợp chập 3 của 6 là 3 6 C 0,25 ⇒ số cách lập tổ công tác thỏa mãn ñề bài là 3 6 3.7. 420C = 0,25 IX.(1,0ñ) Giả sử A, B là hai ñịa ñiểm tập trung nguyên liệu của hai nông trường chăn nuôi bò sữa, ñường quốc lộ là ñường thẳng d, M là vị trí xây dựng nhà máy trên ñường quốc lộ . Xây dựng con ñường và ñịa ñiểm xây dựng nhà máy ñể cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất là ta phải tìm ñiểm M và ñường MA, MB sao cho MA+MB ngắn nhất 0,5 Do A, B nằm về hai phía với d nên dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng 0,25 Vậy phải xây dựng con ñường nối hai ñịa ñiểm tập trung nguyên liệu A, B của hai nông trường và ñịa ñiểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên ñường quốc lộ sao cho A, M, B thẳng hàng. 0,25 X.(1,0ñ) Xét ( ) 2 (2 ln 2 1)( ) , 0 x m f x x x m m = − − − − > '( ) 2 ln 2 1 (2 ln 2 1); '( ) 0 x m f x f x x m= − − − = ⇔ = Lập bảng biến thiên ta ñược ( ) 2 2 (2 ln 2 1)( ) 2 , 0(*) m x m m f x m x x x m m x m≥ − ∀ ⇔ − − − − ≥ − ∀ > Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=m 0,5 Áp dụng bất ñẳng thức (*) ta có 3 2 2 2 2 (2 ln 2 1)( 3) 2 3 (1) 2 (2 ln 2 1)( 2) 2 2 (2) a b a a a b b b − − − − ≥ − ∀ − − − − ≥ − ∀ Cộng các vế của (1)(2) ta ñược 3 2 3 2 3 2 2 (2 ln 2 1)( 3) (4ln 2 1)( 2) ,P a b a b≥ − + − + − − + − − ∀ 0,25 7 (4ln 2 1)( 5) 4( 3)ln 2 7P a b a⇔ ≥ + − + − + − ≥ Khi a=3,b=2 thì P=7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk . GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT CHÍ LINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn Thi : TOÁN Lần thứ 1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao ñề. Đề gồm 01 trang Câu I ( 4,0. ñiểm). Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con ñường quốc lộ. Người ta xây dựng một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh ñường quốc lộ và con ñường nối hai nông trường tới nhà máy. Hỏi phải. bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:…………………. Chữ kí giám thị 1:…………………….………… Chữ kí giám thị 2:………………………………… GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế