ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN ĐỀ SỐ 3

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1 ( ). 1 x y H x    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng 2 0x y   và cắt ( )C tại 2 điểm ,A B phân biệt sao cho tam giác IAB có diện tích 2 3 với I là giao điểm 2 tiệm cận. Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình cos 2 1 tan tan tan 2sin 1. 2 x x x x x           Câu 3 (1 điểm). Tính giới hạn 3 3 2 0 1 3 1 1 lim . x x x x x x         Câu 4 (1 điểm). a) Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người không bắt tay vợ/ chồng mình) trong một buổi gặp mặt biết rằng có tất cả 40 cái bắt tay. b) Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển nhị thức Niutơn (theo thứ tự số mũ giảm dần của x ) của biểu thức 5 3 2 ( ) n x x x          với 0x  biết trong khai triển này, tổng các hệ số của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3 bằng hệ số của số hạng cuối cùng. Câu 5 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz cho hình chóp tam giác đều .S ABC với (3;0;0); (0;3;0)A B và C thuộc tia .Oz Tìm tọa độ điểm S biết thể tích của khối chóp .S ABC bằng 9. Câu 6 (1 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm ;O hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng .AO Biết rằng SO a và SAB là tam giác vuông. Tính theo a thể tích của khối chóp .S ABC và khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC đến mặt phẳng .SCO Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 .C x y x  Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của ( )C trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A là (2;0).H Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ dương và 2 . 3 ABC S  Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình 3 32 2 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 1( ) 1 ( 1) 1. x y x x y y y x x x x x x y                   Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 14.a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 22 4( ) 4 3 3 28 (7 ) 5 . ( )a c a b c a c a a bc a b            T  T H H Ử  Ử  S S Ứ  Ứ C  C  T  T R  R Ư  Ư Ớ Ớ C  C  K K Ỳ  Ỳ  T  T H H I I  ( Đã đư ợc đăng báo ToánH ọc và Tuổi  tr ẻ s ố 448,  đề Số 1,  năm 2014)  T RẦN  QUỐC L UẬT  ( GV T H P T  c huy ê n  H à T ỉnh)  Cảm ơ n thầy Trần Quốc L uật ( q u ocl u atc hu y e nh ati nh @gmai l .com ) đãc h i asẽđế n www.l ai sac.page.t l Câu 2. Điều kiện cos .cos 0. 2 x x  Khi đó phương trình đã cho tương đương với cos2 sin 2sin 1 cos 2 sin 2 cos sin cos cos 2 cos 2 cos 2 4 4 , . 6 3 x x x x x x x x x x k x x x k k                                        Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm 5 2 ; 2 ; 2 , . 6 6 x k x k x k k              Câu 3. Ta có 3 3 2 0 2 0 2 3 3 1 3 (1 ) (1 1 ) lim 3 1 1 lim . 2 ( 1)(1 1 ) ( 1)( 1 3 (1 ) 1 3 (1 ) ) x x x x x x x x x x x x x x x x                                    Câu 4. a) Gọi số cặp vợ chồng là ( 2).n n  Ta có số lượng cái bắt tay là 2 2 2 ( 1) n C n n n   (do mỗi cách chọn 2 người trong 2n người thì ta có 1 cặp bắt tay và mỗi người không bắt tay vợ/ chồng mình). Ta có 2 ( 1) 40 5.n n n    b) Ta có 5 11 2 0 ( ) ( 1) 2 . n k n k n k k n k x C x        Theo bài ra 1 1 2 2 2 ( 1) 4 ( 1) 2 . n n n n n C C       Do 2 0 n  và 2 1 4 2 n n C C nên n chẵn. Khi đó * 2 ( ).n k k  Thay vào được 2 4 ( 1) 2 . 2 k k k    Suy ra 2 4.k n   Hệ số của số hạng thứ 4 cần tìm là 32. Câu 5. Ta có (0;0; )C c với 0.c  Do BC CA AB  nên 2 9 18 3c c    (do 0c  ). Gọi G là tâm của tam giác đều ABC ta có (1;1;1).G Phương trình đường thẳng  đi qua G và vuông góc với mặt phẳng ABC là 1 1 1 . 1 1 1 x y z     Do .S ABC ta hình chóp đều nên điểm ,S   suy ra ( ; ; ).S s s s Ta có 1 . ( ) 9 2 3 3 1. 3 SG S ABC SG s s        Do vậy có 2 điểm S thỏa mãn là (3;3;3); ( 1; 1; 1).S S    Câu 6. Ta có 2 2 2 2 2 0 SB SA HB HA AB     nên tam giác SAB vuông tại .S Đặt HA HO x  ta có 2 .OB x Theo Định lý cos ta có 7; 2 3.BH x BC x  Áp dụng Định lý Pitago cho tam giác SAB ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 7 12 . 3 a SA SB AB a a x x x x         Khi đó 2 3 . 1 2 3 2 . . .4 . 3 4 3 3 S ABC V a a a  Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC thì I là trung điểm của AC (do tam giác SAC vuông tại S ). Do HI OC (tính chất đường trung bình) nên ( ;( )) ( ;( ))I SCO I SCO d d HL  trong đó ,K L lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng CO và .SK Ta có ( ;( )) 2 2 3 . 22 ; . 2 2 11 3 I SCO a a HK HS HK d HL a HK HS       Câu 1. a) Bạn đọc tự giải. b) Ta có :d y x m   với 2m  và ( 1;1).I  Phương trình hoành độ giao điểm của ( )H và d là 2 1 (2 ) ( 1) 0 (1) 1 x x m x m x m x            (do 1x   không thỏa mãn). Ta có 2 8 0;m m     nên ( )H và d luôn cắt nhau tại 2 điểm ,A B với 1 1 ( ; );A x x m  2 2 ( ; )B x x m  trong đó 1 2 , x x là 2 nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn 1 2 2;x x m   1 2 1.x x m  Điều kiện để tam giác IAB có diện tích bằng 2 3 là 2 2 2 1 2 | | ( ; ). 4 3 2( ) 4 3 ( 8) 48 2 2 m d I d AB x x m m m         (do 2.m   ) Câu 7. Do tam giác ABC vuông tại A có H thuộc ( )C và CA là tiếp tuyến của ( )C nên ( ).B C Ta có 2 2 3 ABC S AC AB   nên 2 2 2 3. BA BH AB AC    Giả sử ( ; )B a b với 0.b  Khi đó 2 2 2 2 1 ( 1) 1 1 3 ; . 2 2 3 ( 2) 3 BI a b a b BH a b                       Vậy 1 3 ; . 2 2 B         Câu 8. Điều kiện 3 2 1; 1 0.y x x    Ta có phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2 2 3 3 3 3 3 2 3 ( ) ( 1) 2( ) 1 1 1 1 0 ( 1) . x x y y x x y y x x y y x y x x y                       Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 4 3 2 3 4 3 2 3 2 2 4 3 2 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 0 1 ( 1) 1 0 1 ( 1)( 1) 0 1 (do 0). 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                  Đáp số: ( ; ) (0;1);( ; ) (1;2).x y x y  Câu 9. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 28 3 2 5 2( )( ). 1 1 1 1 1 1 2 3 6 2 3 6 a b c a b c a c a b c a b a c                 Mặt khác 2 2 2 2 2 4 8 8 4 2 . 7 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) a a a a bc a a b c a a b c a b c a b c               Do vậy 2 2 2 2 5 2 3 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 8 5 3 . 5 5 3 3 1 ( ) 5 ( ) a b a b a b c a a b c a b b c                                 Khi 3; 2; 1a b c   thì 8 . 15  Vậy giá trị lớn nhất của  là 8 . 15 Cảm ơ n thầy Trần Quốc L uật ( q u ocl u atc hu y e nh ati nh @gmai l .com ) đãc h i asẽđế n www.l ai sac.page.t l