PHÒNG GD&ĐT …………… ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Trường THCS ………. Môn: Toán 9 - Thời gian: 150 phút Năm học: 2014 – 2015 ĐỀ BÀI: Bài 1: ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức a) A = 240572234 +−+ b) B = 2062935 −−− Bài 2: ( 1,5 điểm) Với mọi a , b ∈ R . Chứng minh : a) 2 ba 2 ba 22 2 + ≤ + b) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b Câu 3: (3 điểm) a/ Giải phương trình: 2 4 4x x− + = 49 b/ Giải bất phương trình: 2 + 3( 1) 8 x + < 1 3 4 x − − c/ Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng 1hem 14 km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/ giờ thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định. d/ Tìm giá trị của x để biểu thức 2 1 2 2 5x x− + có giá trị lớn nhất. Bài 4: (1.5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM. Bài 5 : (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, K sao cho AM = CK. Lấy điểm P nằm trên cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ). Nối PB, PC cắt MK tại E, F. Chứng minh: CKF S BME S PEF S += Bài 6: (1 điểm) Cho hình thoi ABCD có 0 120DA ˆ B = . Tia Ax tạo với tia AB một góc 0 15xA ˆ B = và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh 222 AN 3 AM 3 AB 4 += H ết PHÒNG GD&ĐT ………. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Trường THCS ………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 9 – NH: 2014- 2015 Bài 1: (1,5điểm) Rút gọn biểu thức A = 240572234 +−+ = 22 )245()21(4 +−+ ( 0,25đ) = ( ) ( ) 245214 +−+ ( 0,25đ) = 1245244 −=−−+ ( 0,25đ) B= 2062935 −−− = 2 )352(35 −−− (0,25đ) = )352(35 −−− = 5265 −− (0,25đ ) = 155 +− = 1 (0,25đ) Bài 2: (1,5điểm). Câu a (0.75đ) : 2 ba 2 ba 22 2 + ≤ + ( ) 22 2 b2a2ba +≤+⇔ (0,25đ) ( ) 0ba 2 ≥−⇔ ( đúng hiển nhiên – đpcm) (0,5đ) Câu b : (0,75điểm) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b 0baab1ba 22 ≥−−−++⇔ 0b2a2ab22b2a2 22 ≥−−−++⇔ (0,25đ) ( ) ( ) ( ) 01b1aba 222 ≥−+−+−⇔ (0,5đ) Câu 3: (3 điểm) a/ Giải phương trình: 2 4 4x x− + = 49 2 4 4x x− + = 49 ⇔ ( ) 2 2x − = 49 2 49x⇔ − = ⇔ 51 47 x x = = − Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 51; x= –47 . b/ Giải bất phương trình: 2 + 3( 1) 8 x + < 1 3 4 x − − ⇔ 16 + 3( x + 1) < 24 – 2(x – 1) ⇔ 16 + 3x + 3 < 24 – 2x +2 ⇔ 5x < 7 ⇔ x < 7 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x < 7 5 . c/ Gọi thời gian dự định là x (h) và vận tốc dự định y (km/h). ĐK: x > 0 , y > 0. • Quãng đường AB dài là: x.y (km) • Theo đề ta có hệ phương trình: P F E K M D C B A H K M N D C B A ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 14 x y xy x y xy + − = − + = ⇔ 4 4 14 2 28 x y x y − + = − = ⇔ 6 28 x y = = Vậy thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28 km/h. d/ Tìm giá trị của x để biểu thức 2 1 2 2 5x x− + có giá trị lớn nhất. Ta có: 2 2 2 5x x− + = ( ) 2 2 3 3x − + ≥ => 2 1 2 2 5x x− + 1 3 ≤ Do đó khi x = 2 thì biểu thức 2 1 2 2 5x x− + có giá trị lớn nhất là 1 3 . Bài 4 (1.5 điểm) Ta có: 2 2 ( ). . 2 2 2 2 ABDC AC BD AB CD AB AB S R + = = ≥ = (1) Kẻ MH vuông góc với AB thì: 2 1 1 . . 2 2 AMB S AB MH MO AB R= ≤ = (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 2 ACM BDM ABDC AMB S S S S R R R+ = − ≥ − = Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là 2 R , đạt được khi M là điểm chính giữa của cung AB. Bài 5 : (1,5điểm) Lập luận diện tích tam giác PBC bằng nửa diện tích hbh ABCD (0,25đ) Lập luận diện tích tứ giác AMKD bằng diện tích tứ giác CKMB và bằng nửa diện tích hbh ABCD (0,5đ) Suy ra diện tích tam giác PBC bằng diện tích CKMB (0,25đ) Loại trừ đi diện tích phần chung, suy ra kết quả. (0,5đ) Bài 6 ( 1điểm) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ax , cắt cạnh DC tại K => 0 15KA ˆ D = (0,25đ). Chứng minh hai tam giác DAK , BAM bằng nhau => AK = AM (0,25đ) . Thấy được AH là đường cao của AKN ∆ vuông tại A , suy ra 222 AN 1 AK 1 AH 1 += (0,25đ) mà AH= AD.Sin60 0 = AB. 2 3 , thế vào, suy ra được kquả (0,25đ) - Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm. . PHÒNG GD&ĐT …………… ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Trường THCS ………. Môn: Toán 9 - Thời gian: 150 phút Năm học: 2014 – 2015 ĐỀ BÀI: Bài 1: ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức. 222 AN 3 AM 3 AB 4 += H ết PHÒNG GD&ĐT ………. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Trường THCS ………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 9 – NH: 2014- 2015 Bài 1: (1,5điểm) Rút gọn biểu thức A = 240572234 +−+ . thay đổi trên nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM