TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ TỔ TOÁN - TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN - Khối: A, A 1 , B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 4 6 y x x mx (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0 m . b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 2 4 5 0 x y Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 2sin 3 1 8sin 2 . os 2 4 x x c x Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 1 4 3 1 1 9 2 1 4 2 2 x x y x y x y x y Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 2 5 2 5 1 1 1 x dx x x Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có góc 0 60 BAC , nội tiếp đường tròn đường kính AI. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường thẳng SI và tính góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC). Câu 6 (1,0 điểm). Chứng minh rằng 4 , , , 0 x y z y z x y z x x y z x y z y z z x x y Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: 2 2 0 x y . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 2AC. Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 2 3 x y z và mặt phẳng (P): 6 0 x y z . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 2 2 . Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 2 6 9 100 0 x x x Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:…………………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A 1 , B – NĂM 2013 Câu Nội dung Điểm 1 (2.0 điểm) a. (1.0 đi ểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. * m = 0 thì 3 2 4 6 y x x * TXĐ: D R . * lim , lim x x y y 0.25 * 2 0 ' 12 12 , ' 0 1 x y x x y x 0.25 * Bảng biến thiên… Hàm số đồng biến trên ;0 ; 1; . Hàm số nghịch biến trên 0;1 Hàm số đạt cực đại tại 0, 0 x y . Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 2 x y 0.25 Điểm uốn: 1 '' 24 12, '' 0 , 1 2 y x y x y Giao Ox: 3 0 0 2 y x v x . Giao Oy: 0 0 x y . 0.25 b. (1.0 đi ể m) Tìm m để đồ thị có … 2 ' ' 12 12 y f x x x m . Hàm số có hai cực trị ' 36 12 0 3 m m Gọi hai điểm cực trị của đths là 1 1 2 2 , ; , A x y B x y ( 1 2 , x x là hai nghiệm của pt ' 0 y ) 0.25 Có: 1 1 2 ' 2 3 6 3 6 m m y f x f x x x Do 1 2 ' ' 0 f x f x nên 1 1 2 2 3 6 m m y x và 2 2 2 2 3 6 m m y x Vậy pt đt AB là 2 2 3 6 m m y x 0.25 A, B đối xứng nhau qua d: 2x – 4y – 5 = 0 1 2 AB d I d (I là trung điểm AB) 2 1 1 2 . 1 0 3 2 m m (thoả mãn m < 3) 0.25 I có toạ độ: 1 2 1 2 2 2 2 1 3 6 I I I x x x m m y x . 1 2 2. 4. 1 5 0 2 (đúng) Vậy A, B đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi m = 0 0.25 2. (1.0 điểm) Giải phương trình lượng giác… Pt 2 2 sin 3 0 1 4 4sin 3 1 8sin 2 . os 2 2 4 x x x c x 0.25 2 2 1 os 6 1 4sin 2 .(1 os4 ) 2 c x x c x 2 2sin 6 1 4sin 2 2sin 6 2sin 2 x x x x 0.25 1 12 sin 2 5 2 12 x k x x k . 0.25 - Với 12 x k : 1 sin 3 0 2 2 2 12 k k n x n - Với 5 12 x k : 3 17 1 sin 3 0 2 1 2 2 12 k k n x n , n Z 0.25 3. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình… 2 1 4 3 1 1 9 2 1 1 4 2 2 2 x x y x y x y x y 2 2 3 1 1 2 1 9 1 9 1 2 1 x y x y x y x y x y x y x y 1 3 1 . 3 1 0 2 1 x y x y x y x y 1 3 x y 0.5 Khi đó: 1 1 3 1 1 2 4 2 2 1 0 , 2 0 2 x x x t t t 1 1 5 2 t t 0.25 Với t = 1 1 4 3 x y , Với t = 2 2 log 5 1 2 1 5 7 2 log 5 1 3 x y 0.25 4. (1.0 điểm) Tính tích phân… 2 2 2 2 5 5 5 4 1 2 2 2 2 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x dx dx dx dx I I x x x x x x x 0.25 1 x t 1 2 1 2 1 1 4 2 5 5 1 5 5 1 1 1 2 2 5 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 6ln2 ln 33 1 1 1 5 1 5 5 1 t t I dt dt d t t t t t t 0.25 2 1 2 5 2 2 5 5 1 2 1 2 1 31 1 . 5 5 1 165 1 I d x x x 0.25 1 31 6ln 2 ln 33 5 165 I 0.25 5. (1.0 điểm) Tính thể tích và khoảng cách N C A B I S M IB AB (do AI là đường kính đtròn (ABC)), IB SA (do SA (ABC)) nên IB (SAB) IB AM mà AM SB nên AM (SBI) AM SI Chứng minh tt: AN SI. Vậy SI (AMN) 0.5 Có SA (ABC); SI (AMN) , , ABC AMN SA SI SAI có: tan AS AI I SA (1) 0.25 AI là đường kính của đtròn (ABC) nên: 2 2 . 3 sin ABC BC R AI AI BC BAC (2) Từ (1),(2) 0 2 2 . . 1 3 3 tan AS , 30 2 3 BC BC I ABC AMN SA BC 0.25 6. (1.0 Chứng minh bất đẳng thức … Bđt 0.25 điểm) 2 2 2 4 z x x y x y y z y z z x P y z z x x y x y z x y z Có: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z x x y x x yz yz x yz x x y z yz x x x x 2 1 2 z x x y yz yz yz y z y z y z y z y z x x x x (1) 0.25 Chứng minh tt có: 2 2 2 2 2 3 x y y z zx z x z x y y y z z x xy x y x y z z Từ (1), (2), (3) có: 2 2 yz zx xy P x y z x y z (4) 0.25 Áp dụng bđt: 2 2 2 a b c ab bc ca , có: . . . yz zx xy yz zx zx xy xy yz x y z x y z x y y z z x (5) Từ (4), (5) 4 P x y z . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z 0.25 7. (1.0 điểm) Tìm hai điểm B,C… Gọi H là hình chiếu của A lên d ta có AH = d(A, d) = 2 0 2.2 2 2 5 1 2 Tam giác ABC vuông tại A nên 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 1 2 4 4 AC AB AB AC AH AC AC 0.25 Khi đó C thuộc đường tròn (A,1): 2 2 2 1 x y Toạ độ C là nghiệm hệ 2 2 2 1 2 2 0 x y x y 1, 0 7 4 , 5 5 y x y x 0.25 + Với C(0;1): đt AB qua A(0;2) có vtpt (0; 1) AC có pt: 2 0 y Toạ độ B là nghiệm hệ 2 2 0 2 (2;2) 2 0 2 x y x B y y 0.5 + Với C( 4 7 ; 5 5 ): đt AB qua A(0;2) có vtpt 4 3 ( ; ) 5 5 AC có pt: 4 3 6 0 x y Toạ độ B là nghiệm hệ 6 2 2 0 6 2 5 ( ; ) 4 3 6 0 2 5 5 5 x x y B x y y 8. (1.0 điểm) Viết phương trình đường thẳng … Toạ độ M là nghiệm hệ 1;2;3 1 2 3 6 0 x y z M x y z Gọi d’ là hình chiếu của d lên mp(P) ' ( ) ( ) d P Q , với (Q) là mp chứa d và vuông góc (P). Mp(Q) qua M và có vtpt , Q d P n u n = (-1; 2; -1) (Q) có pt: 2 0 x y z d’ có pt: 6 0 2 0 x y z x y z 2 4 x t y z t 0.5 Vì nằm trong (P), d nên d’ Gọi H(t; 2; 4 – t) là giao điểm của và d’ ta có M d’ nên MH 2 2 2 ( , ) 2 2 1 2 2 4 3 8 MH d M t t 2 3 1 4 1 t t t 0.25 + Với t = 3 thì H(3; 2; 1): qua H, có vtcp Q u n nên có pt: 3 2 1 1 2 1 x y z + Với t =-1 thì H(-1; 2; 5): qua H, có vtcp Q u n nên có pt: 1 2 5 1 2 1 x y z 0.25 9. (1,0 điểm) Giải phương trình… Pt 2 2 2 2 6 9 100 3 10 x x x x x i 0,25 2 2 3 10 0 (1) 3 10 0 (2) x x i x x i 0,25 (1) có = 9 40 i có một căn bậc hai là 5 4 i (1) có nghiệm 1 2 4 2 x i x i 0,25 (2) có = 9 40 i có một căn bậc hai là 5 4 i (2) có nghiệm 1 2 4 2 x i x i 0,25 . TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ TỔ TOÁN - TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012-20 13 Môn thi: TOÁN - Khối: A, A 1 , B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu. danh:…………………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A 1 , B – NĂM 20 13 Câu Nội dung Điểm 1 (2.0 điểm) a. (1.0 đi ểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. * m = 0 thì 3 2 4 6 y x x *. AI là đường kính của đtròn (ABC) nên: 2 2 . 3 sin ABC BC R AI AI BC BAC (2) Từ (1),(2) 0 2 2 . . 1 3 3 tan AS , 30 2 3 BC BC I ABC AMN SA BC 0.25 6.