Họ và tên thí sinh: ……………………………………………… Số báo danh: …………. SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số = − + 3−2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng := −−2. Câu 2 (1 điểm). 1. Giải phương trình: sin2+ 2cos−sin−1 = 0 2. Giải phương trình: 3 −4.3 + 27 =0 Câu 3 (1 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 3 2 y x x và 2 y x Câu 4 (1 điểm). 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: | 2−1 | = √ 5. 2. Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3. Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mp() là điểm H thuộc cạnh AB sao cho = 3.; góc tạo bởi đường thẳng và mp() bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp . và khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Câu 6 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang cân có hai đáy là và BC; biết = , = 7. Đường chéo AC có phương trình −3−3 = 0; điểm (−2;−5) thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng biết rằng đỉnh (1;1). Câu 7 (1 điểm). Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) :−+ + 2 = 0 và điểm (1;−1;2). Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm qua mặt phẳng (). Viết phương trình mặt cầu đường kính ′. Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 2 1 ( 1) 2 1 4 ( 3 2)( 2 1) y x y x y y x x x Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương ,, thỏa mãn ≥1,≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 2 1 1 3( 1) x y z P y x xy . Đ Ề THI TH Ử THPT QU Ố C GIA LẦN 2 - NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút H Ế T - Cán b ộ coi thi không gi ả i thích gì thêm - Thí sinh không được dùng tài liệu ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1.1 (1đ) - Khảo sát và vẽ đồ thị 1/ TXĐ : = ℝ 2/ Sự biến thiên: Giới hạn: lim →± = lim →± ( − + 3−2 ) = ∓∞ Chiều biến thiên: = −3 + 3 ⟹ = 0⟺= ±1 Bảng biến thiên x -1 1 y’ − 0 + 0 − y 0 -4 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1;+∞) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1) Hàm số đạt cực tiểu tại = −1, = −4 Hàm số đạt cực đại tại = 1, Đ = 0 3/ Đồ thị: - Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;−2), cắt trục Ox tại các điểm (−2;0) và (1;0). - Đồ thị hàm số nhận điểm uốn (0;−2) làm tâm đối xứng. 0,25đ 0,5đ \ 0,25đ 1.1 (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng : = − − . - Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: − + 3 − 2 = − − 2 ⟺ − 4 = 0 ⟺ = 0 = ±2 Suy ra các tiếp điểm là: ( 0;−2 ) , ( 2;−4 ) ,(−2;0) Ta có: = −3 + 3 Suy ra các tiếp tuyến là: = 3−2 = − 9 + 14 = − 9 + 18 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2.1 (0,5đ) Giải phương trình: + − − = sin 2 + 2 cos − sin − 1 = 0 ⟺ 2 sin . cos + 2 cos − sin − 1 = 0 ⟺2cos. ( sin+ 1 ) − ( sin+ 1 ) = 0 ⟺ ( sin+ 1 )( 2cos−1 ) = 0 ⟺ sin = − 1 cos = ⟺ = − + 2 = ± + 2 ( ∈ ℤ ) 0,25đ 0,25đ 2.2 (0,5đ) Giải phương trình: − . + = 3 − 4 . 3 + 27 = 0 ⟺3 ( ) −12.3 + 27 =0 Đặt = 3 ,(> 0),tađượcphươngtrình: −12+ 27= 0 ⟺ = 3 = 9 ⟺ 3 = 3 3 = 9 ⟺ 2+ 4 =1 2+ 4 =2 ⟺ = − 3 2 = −1 Vậyphươngtrình có 2 nghiệm là: = − 3 2 ; = − 1 0,25đ 0,25đ 3. (1đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 3 2 y x x và 2 y x - Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho: − + 3−2= −−2 ⟺ −4= 0⟺ = 0 = ±2 Suy ra diện tích của hình phẳng cần tính là: = |( − + 3−2 ) —(−−2 ) | . + |( − + 3−2 ) —(−−2 ) | . = | −4 | + | − + 4 | = ( −4 ) + ( − + 4 ) = 4 −2 + − 4 + 2 = 4 + 4 = 8 Vậy = 8 ( đ ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4.1 (0,5đ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: | − | = √ . Giả sử = + , ( , ∈ ℝ ) Suy ra: | 2−1 | = √5 ⟺ | 2 ( + ) −1 | = √5 ⟺ | −2−1−2 | = √5 ⟺ ( −2−1 ) + ( −2 ) = √5 ⟺4 + 4 + 4+ 1 =√5 ⟺ + + −1 = 0 ⟺ + + 1 2 = 5 4 Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức đã cho là một đường tròn có tâm 0 ; − và bán kính = √ . 0,25đ 0,25đ 4.2 (0,5đ) Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết cho 3. Giải: - Số cách lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp là: . - Trong 40 tấm thẻ đó có : + 1 = 13 tấm thẻ mang số chia hết cho 3 + 1 = 14 tấm thẻ mang số chia 3 dư 1 + 1 = 13 tấm thẻ mang số chia 3 dư 2 - Để tổng 3 số ghi trên 3 tấm thẻ là số chia hết cho 3 thì phải xảy ra các trường hợp sau: i. Cả 3 số đều chia hết cho 3: có cách lấy ii. Cả 3 số đều chia 3 dư 1: có cách lấy iii. Cả 3 số đều chia 3 dư 2: có cách lấy iv. Có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2: có . . cách lấy. - Suy ra xác suất cần tính là: = + + + = 127 380 ≈ 0 , 33 0,25đ 0,25đ 5. (1đ) Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Chân đường cao hạ từ đỉnh lên mp ( ) là điểm thuộc cạnh sao cho = . ; góc tạo bởi đường thẳng và mp() bằng . Tính theo thể tích của khối chóp . và khoảng cách giữa hai đường thẳng và . + Nhận thấy ⊥ ( ) ⇒ là hình chiếu của trên mặt phẳng (ABC) ⇒ = 60 là góc giữa SC và mp(ABC). Ta có: = + −2...cos60 = 9 + −2.3.. = 7 ⇒= √ 7 ⇒= .tan60 = . √ 21 Lại có: = √ Nên: . = . = . √ 21 . √ = √ 0,25đ 0,25đ + Dựng ⃗ = ⃗ ⇒ // ⇒ // ( ) ⟹ ( ; ) = ; ( ) = ; ( ) = 3 . ( ; ( ) ) + Dựng ⊥ tại E ⇒⊥ ( ) ⇒ ( ) ⊥() (theo giao tuyến ) + Dựng ⊥ tại ⇒⊥ ( ) ⇒= (; ( ) ) Ta có: = .sin60 = √ 1 = 1 + 1 = 4 3 + 1 21 = 29 21 ⟹= √ 21 √ 29 ⟹ ; ( ) = 3 √ 21 √ 29 Vậy ( ; ) = √ √ 0,25đ 0,25đ 6. (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang cân có hai đáy là và BC; biết = , = . Đường chéo AC có phương trình − − = ; điểm ( − ; − ) thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng biết rằng đỉnh ( ; ) . Giải + Do ABCD là hình thang cân nên ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn. Do = = nên AC là đường phân giác trong góc . + Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC ⟹∈. Ta có phương trình là: 3+ −4= 0. Gọi = ∩⟹ tọa độ F là nghiệm của hệ: −3−3 = 0 3+ −4= 0 ⟺ = 3 2 = − 1 2 ⟹= 3 2 ;− 1 2 Do F là trung điểm của BE nên = (2;−2) Lại do ∈ nên phương trình AD là: 3−4−14 =0 + Điểm = ∩⟹tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 3−4−14 =0 −3−3 = 0 ⟺ = 6 = 1 ⟹= (6;1) + Gọi = (2 + 4;−2 + 3) ∈ Do = 7⟹ = 49 ⟺ ( 4−4 ) + ( 3−3 ) = 49⟺25 ( −1 ) = 49 ⟺ ( −1 ) = 49 25 ⟺ −1 = 7 5 −1 = − 7 5 ⟺ = 12 5 = − 2 5 ⟹ = 58 5 ; 26 5 = 2 5 ;− 16 5 Tuy nhiên, điểm B và điểm D luôn nằm về 2 phía của đường thẳng AC do đó kiểm tra vị trí tương đối của điểm B và 2 điểm D đó ta thấy chỉ có điểm thỏa mãn. 0,25đ 0,25đ 0,25đ Do đó = ; − . + Do BC//AD nên phương trình đường thẳng BC là: 3−4+ 1= 0 Điểm = ∩⟹tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 3−4+1 =0 −3−3 = 0 ⟺ = −3 = −2 ⟹= (−3;−2) Tuy nhiên ta tính được = 5 , = √ 13 ⇒ không phải là hính thang cân, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm. 0,25đ 7. (1đ) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : − + + = và điểm ( ; − ; ) . Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm qua mặt phẳng ( ) . Viết phương trình mặt cầu đường kính ′ . + Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó Δ nhận vectơ pháp tuyến ⃗ = ( 1 ; − 1 ; 1 ) của mp(P) là vec tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham số của Δlà: = 1 + = −1 − = 2+ + Gọi = Δ∩() ⟹ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: = 1 + = −1 − = 2+ −++ 2 =0 ⟺ = −2 = −1 =1 = 0 ⟹= (−1;1;0) + Gọi là điểm đối xứng của A qua mp(P) khi đó I là trung điểm của ′ ⟹ = (−1;3;−2) + Mặt cầu đường kính ′ có tâm là = (−1;1;0) và bán kính = = √ 12 Suy ra phương trình mặt cầu đường kính ′ là: ( + 1 ) + ( − 1 ) + = 12 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 8. (1đ) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 2 1 ( 1) 2 1 (1) 4 ( 3 2)( 2 1) (2) y x y x y y x x x + ĐK: ≠ 0 , − √ 2 ≤ ≤ √ 2 PT(1) ⟺ ( + 1 ) + = 2 ( + 1 − ) ⟺ ( + 1 )( + −2 ) + ( + 2 ) = 0 ⟺ ( + 2 )( + 1 )( −1 ) + ( + 2 ) = 0 ⟺ ( + 2 )( + −1 ) = 0 ⟺ + 2 =0(ạ) + = 1 + Với + = 1⟹ = 1 − , thay vào PT(2) ta được PT: 4 = ( − + 3−2 ) + 1 + 1 ⟺4 ( + 1 −1 ) = ( − + 3−2 ) + 1 + 1 ⟺4 + 1 + 1 + 1 −1= ( − + 3−2 ) + 1 + 1 ⟺4 + 1 −1= − + 3−2 ⟺ −3−2= −4 + 1 (3) 0,25đ 0,25đ + Do + = 1 ⟹ 0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1 ⟹ − 1 ≤ ≤ 1 − 1 ≤ ≤ 1 + Xét hàm số: ( ) = −3−2 trên đoạn [ −1;1 ] Có ( ) = 3 −3 ⟹ ( ) = 0⟺=±1 Do hàm số () liên tục trên đoạn [ −1;1 ] và ( −1 ) = 0, ( 1 ) = −4 Suy ra min ∈[;] () = −4, max ∈[;] ( ) = 0 Hay ( ) ≥−4,∀∈[−1;1] (a) + Xét hàm số: ( ) = −4 + 1 trên đoạn [−1;1] Có ( ) = 2− ⟹ ( ) = 0⟺ = 0∈(−1;1) = ± √ 3 ∉[−1;1] Do hàm số () liên tục trên đoạn [ −1;1 ] và ( −1 ) = ( 1 ) = 1−4 √ 2, ( 0 ) = −4 Suy ra max ∈[;] () = −4, min ∈[;] () = 1−4 √ 2 Hay ( ) ≤−4,∀∈[−1;1] (b) + Từ (a) và (b) suy ra PT(3) ⟺ ( ) = ( ) = −4⟺ = 1 = 0 (thỏa mãn PT(1)) Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất ( ; ) = ( 1 ; 0 ) 0,25đ 0,25đ 9. (1đ) Cho các số thực dương , , thỏa mãn ≥ , ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 2 1 1 3( 1) x y z P y x xy . + Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Với , > 0 thỏa mãn: ≥ 1 ta có: + ≥ √ (1) Thật vậy: ( 1 ) ⟺ ( + +2 ) 1 + ≥2 ( ++ ) ⟺ ( + ) + + + 2 + 2 ≥2+ 2 ( + ) + 2 ⟺ ( + ) −1 ≥2 −1 ⟺ −1 +−2 ≥0 ⟺ −1 √ − ≥0 luôn đúng do ≥1 (đpcm) + Mặt khác, theo BĐT AM-GM ta có: + 2 = + 1 + 1 ≥3≥3 ⟹≥ + 1 + 1 + + 1 + 1 + 1 + 1 −2 = ( + + 1 ) + + −2≥ 2 + 1 √ + −2 (do (1)) + Đặt = ,(≥1) ta được: ≥ ( ) = ( 2+ 1 ) . 2 + 1 + 1 + 1 −2= 2 + 1 + 1 + 1 Ta có: ( ) = ( ) − ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ≥0,∀≥1 ⟹ ( ) đồng biến trên [ 1 ; + ∞ ] ⟹ ( ) ≥ ( 1 ) = , ∀ ≥ 1 ⟹ ≥ Vậy = ⟺ = = = 1 . 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Câu 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm. . 3 2 1 1 3( 1) x y z P y x xy . Đ Ề THI TH Ử THPT QU Ố C GIA LẦN 2 - NĂM HỌC 20 14 -20 15 MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút H Ế T - Cán b ộ coi thi. 0 ,25 đ 0 ,25 đ 8. (1đ) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 2 1 ( 1) 2 1 (1) 4 ( 3 2) ( 2 1) (2) y x y x y y x x x + ĐK: ≠ 0 , − √ 2 ≤ ≤ √ 2 . GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số = − + 3 2. 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao