TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYấN KHO ST CHT LNG LP 12, LN CUI - NM 2014 Mụn: TON; Khi: A; Thi gian lm bi: 180 phỳt I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho. b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im M, bit khong cỏch t im M n ng thng bng Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh Cõu 3 (1,0 im). Gii bt phng trỡnh Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hp cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn mt phng l trung im ca Bit rng cụsin ca gúc to bi hai mt phng v bng Tớnh theo a th tớch khi hp v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din Cõu 6 (1,0 im). Gi s a, b, c l cỏc s thc dng tha món Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn a hoc phn b) a. Theo chng trỡnh Chun Cõu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú phng trỡnh ng chộo im l trng tõm ca tam giỏc ABC, im thuc ng cao k t D ca tam giỏc ACD. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh ó cho bit rng din tớch ca t giỏc AGCD bng 32 v nh A cú tung dng. Cõu 8.a (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC vuụng ti C, ng thng AB cú phng trỡnh ng thng AC nm trờn mt phng Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC bit rng nh B cú honh dng. Cõu 9.a (1,0 im). Tỡm s phc z tha món b. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD cú AD // BC, nh phng trỡnh ng chộo AC l trung im E ca AD thuc ng thng Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh thang ó cho bit rng Cõu 8.b (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im v mt phng Tỡm im M thuc mt phng sao cho v Cõu 9.b (1,0 im). Gii h phng trỡnh Ht Ghi chỳ: BTC s tr bi vo cỏc ngy 21, 22/6/2014. nhn c bi thi, thớ sinh phi np li phiu d thi cho BTC. Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong Kỳ thi tuyển sinh Đại học năm 2014 ! TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYấN P N KHO ST CHT LNG LP 12, LN CUI - NM 2014 Mụn: TON Khi A; Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu ỏp ỏn im 1 . 1 x y x = : 2 1y x = 3 . 5 sin (cos2 2cos ) cos2 cos 1.x x x x x = 2 2 1 2 3 4 .x x x x+ 2 0 cos3 2cos d . 2 3sin cos2 x x I x x x + = + . ' ' ' 'ABCD A B C D 3,a 3 ,BD a= ( ' ' ' ')A B C D ' '.A C ( )ABCD ( ' ')CDD C 21 . 7 . ' ' ' 'ABCD A B C D ' ' '.A BC D 1.a b c+ + = 2 2 2 2 2 3 ( ) . 4 ( ) 5 ( ) 5 a b P a b b c bc c a ca = + + + + + + : 1 0,AC x y + = (1; 4)G (0; 3)E ã 0 30 ,BAC = 3 2,AB = 3 4 8 , 1 1 4 x y z + = = ( ) : 1 0.x z + = 1 7 1 . 5 5 z i z i z z + + + = + 2 ,AD BC= (4; 0),B 2 3 0,x y = : 2 10 0.x y + = ã cot 2.ADC = (2;1;1), (3; 2; 4)A B ( ) : 5 2 5 0.x y z + = ( ) MA AB ( ) 330 , . 31 d A MB = 2 2 2 2 4 ( 2)2 3 0 ( , ). log ( ) log .log 0 xy xy xy xy x y x y x y + + = + = R xO y I 1 1 1 1 Câu 1. (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) 1 0 . Tập xác định: 2 0 . Sự biến thiên: * Giới hạn tại vô cực: Ta có và Giới hạn vô cực: và Suy ra đồ thị (H) có tiệm cận ngang là đường thẳng tiệm cận đứng là đường thẳng * Chiều biến thiên: Ta có với mọi Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và 0,5 * Bảng biến thiên: 3 0 . Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại cắt Oy tại Nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,5 b) (1,0 điểm) Gọi tiếp điểm Khi đó ta có 0,5 *) Với ta có suy ra pt tiếp tuyến hay *) Với ta có suy ra pt tiếp tuyến hay 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 0,5 *) *) Vậy nghiệm của phương trình là 0,5 Câu 3. (1,0 điểm) Điều kiện: (*) Bất phương trình đã cho tương đương với 0,5 Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 0,5 Câu 4. (1,0 điểm) Ta có Đặt Khi thì khi thì Suy ra 0,5 0,5 \{1}.R lim 1 x y →−∞ = − lim 1. x y →+∞ = − 1 lim x y + → = −∞ 1 lim . x y − → = +∞ 1,y = − 1.x = 2 2 ' 0, ( 1) y x = > − 1.x ≠ ( ) ; 1−∞ ( ) 1; .+ ∞ x 'y y ∞− ∞+ 1 1− ∞− + + ∞+ 1− ( ) 1; 0 ,− (0;1). (1; 1)I − 0 0 0 1 ; ( ). 1 x M x C x − − ∈ ÷ − 0 0 0 2 2 1 2 1 1 3 3 ( , ) 5 5 1 2 x x x d M − − − − − ∆ = ⇔ = + 0 0 0 1 2 1 3 1 x x x + ⇔ − + = − 2 0 0 0 2 2 2 3 1x x x⇔ − + = − 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 3( 1) 2 5 5 0 1 . 2 2 2 3( 1) 2 1 0 2 x x x x x x x x x x x x = − − + = − − + = ⇔ ⇔ ⇔ = − + = − − + − = 0 1,x = − ( 1; 0),M − '( 1).( 1)y y x= − + 1 1 . 2 2 y x= + 0 1 , 2 x = 1 ; 3 , 2 M ÷ 1 1 ' . 3 2 2 y y x = − + ÷ ÷ 8 1.y x= − cos2 (sin cos ) sin 2 1 0x x x x− − + = ( ) 2 2 cos sin (sin cos ) (sin2 1) 0x x x x x⇔ − − − − = 2 (cos sin )(sin cos ) (sin 2 1) 0 (cos sin )(1 sin 2 ) (sin 2 1) 0 (sin2 1)(cos sin 1) 0. x x x x x x x x x x x x ⇔ − + − − − = ⇔ − + − − − = ⇔ − + − = sin 2 1 0 sin 2 1 2 2 , 2 4 x x x k x k π π π π − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + .k ∈Z 2 2 1 4 4 cos sin 1 0 sin 3 4 2 , . 2 2 2 4 4 x k x k x x x x k k x k π π π π π π π π π π = + = + + − = ⇔ + = ⇔ ⇔ ÷ = + ∈ + = + Z , 4 x k π π = + 2 , 2 , . 2 x k x k k π π π = = + ∈Z 2 2 0 0 1 3 41 1 0 0 . 3 41 3 41 8 2 3 4 0 8 8 x x x x x x x ≥ ≤ ≤ − + − ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − − − + ≤ ≤ − − ≥ 2 2 2 1 2 (1 ) 2 3 4x x x x x x+ − + − ≥ − − 2 2 3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0x x x x x x⇔ + − − + + − ≥ 2 2 2 2 5 34 1 9 3 2 1 0 9 10 1 0 1 1 1 3 5 34 . 9 x x x x x x x x x x x x x − + ≥ + + + ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − − − − − ≤ 5 34 3 41 . 9 8 x − + − + ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 0 0 (4cos 1)cos 3 4sin d d(sin ). 2 3sin (1 2sin ) 2sin 3sin 1 x x x I x x x x x x π π − − = = + − − + + ∫ ∫ sin .t x= 0x = 0,t = 2 x π = 1.t = 1 2 2 0 3 4 d 2 3 1 t I t t t − = + + ∫ 1 1 0 0 6 5 (4 4) (2 1) 2 d 2 d (2 1)( 1) (2 1)( 1) t t t t t t t t t + + + + = − + = − + ÷ ÷ + + + + ∫ ∫ Câu 5. (1,0 điểm) *) Áp dụng định lý côsin cho tam giác suy ra Do đó là các tam giác đều cạnh Gọi ta có Kẻ tại H, suy ra Do đó Từ 0,5 Vậy *) Vì nên tam giác vuông tại B. Vì nên là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi G là tâm của tam giác đều Khi đó và nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Mặt cầu này có bán kính 0,5 Câu 6. (1,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có Tương tự, ta có Suy ra Vì nên (1) 0,5 Xét hàm số với Ta có Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có với mọi (2) Từ (1) và (2) suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt khi 0,5 Câu 7.a (1,0 điểm) Vì nên Ta có Vì D và G nằm khác phía đối với AC nên 0,5 Ta có Vì Ta có 0,5 ( ) 1 1 0 0 4 1 2 d 2 2ln(2 1) ln( 1) 2 2ln3 ln 2 ln18 2. 2 1 1 t t t t t t = − + + = − + + + + = − + + = − ÷ + + ∫ ' ' 'A B D · 0 ' ' ' 120 .B A D = ' ' ',A B C ' ' 'A C D 3.a ' ' ' ',O A C B D= ∩ ( ) ' ' ' ' .BO A B C D⊥ ' 'OH A B⊥ ( ) ' ' .A B BHO⊥ ( ) ( ) · ( ) · , ' ' .ABCD CDD C BHO= · · 21 2 cos tan . 7 3 BHO BHO= ⇒ = · 0 2 3 .tan ' .sin60 . . 2 3 a BO HO BHO A O⇒ = = = 3 0 . ' ' ' ' 3 9 . 3. 3.sin60 . 2 4 ABCD A B C D a a V a a= = 3 1 ' ' 2 2 a BO A C= = ' 'A BC ( ) ' ' ' 'B D A BC⊥ ' 'B D ' '.A BC ' ' '.A C D ' ' 'GA GC GD= = ' 'GA GB GC= = ' ' '.A BC D 2 2 3 ' ' . . 3 3 2 a R GD OD a= = = = 2 2 2 2 2 2 2 4 . 5 ( ) 5 9( ) ( ) ( ) 4 a a a b c bc b c b c b c ≥ = + + + + + + 2 2 2 2 4 . ( ) 5 9( ) b b c a ca c a ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 9 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) a b a b a b b c c a b c bc c a ca b c c a + ≥ + ≥ + ÷ ÷ + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2( ) 4 ( ) 2 . 9 9 9 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 a b c a b a b c a b a b c a b ab c a b c a b a b c a b c c a b c + + + ÷ + + + + + + = ≥ = ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + ÷ + + + ÷ 1 1a b c a b c + + = ⇔ + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 4 (1 ) 3 8 2 3 (1 ) 1 (1 ) . 9 4 9 1 4 (1 ) 4 (1 ) 4 c c c P c c c c c c c − + − ≥ − − = − − − ÷ ÷ + − + − + 2 2 8 2 3 ( ) 1 (1 ) 9 1 4 f c c c = − − − ÷ + (0; 1).c∈ 2 16 2 2 3 '( ) 1 . ( 1); 9 1 2 ( 1) f c c c c = − − − ÷ + + ( ) 3 1 '( ) 0 ( 1) 64 (3 3) 0 . 3 f c c c c= ⇔ − − + = ⇔ = 1 ( ) 9 f c ≥ − (0; 1).c∈ 1 , 9 P ≥ − 1 . 3 a b c= = = 1 , 9 − 1 . 3 a b c= = = DE AC⊥ ( ) : 3 0 ; 3 .DE x y D t t+ + = ⇒ − − ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , 3 3 d G AC d B AC d D AC= = ( ) ( ) 1; 4 12 4 1 2 . . 5 3 5; 22 D tt t D − =+ ⇔ = ⇔ ⇒ = − − ( ) 1; 4 .D − ( ) ( ) ( ) 1 1 2. 1 2 1; 8 : 1. 4 4 2 4 B B x GD GB B BD x y − = − − = − ⇔ ⇒ ⇒ = − − = − − uuur uuur ( ) : 1 0 ; 1 .A AC x y A a a∈ − + = ⇒ + 1 4 4 1 . 3 3 3 AGCD AGC ACD ABC ABC ABD S S S S S S = + = + = = ÷ ( )f c '( )f c c 1 3 0 + – 0 1 1 9 − A B C D G E D A 3a C H 'D O 3a B G 'C 'B 'A Suy ra Từ Vậy Câu 8.a (1,0 điểm) Vì Thay tọa độ đỉnh A vào phương trình mặt phẳng suy ra Vì Ta có 0,5 Ta có Mặt khác Từ đó suy ra C là hình chiếu vuông góc của B lên Ta có Vậy 0,5 Câu 9.a (1,0 điểm) Đặt Khi đó ta có 0,5 Theo bài ra ta có *) suy ra *) suy ra Vậy 0,5 Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi Vì Ta thấy I là trung điểm của BE nên Theo giả thiết Vì nên BCDE là hình bình hành. Suy ra Từ 0,5 Vì Ta có Suy ra hoặc Với ta thấy I là trung điểm của AC nên vì E là trung điểm của AD nên Với tương tự ta có 0,5 Câu 8.b (1,0 điểm) Ta có Ta thấy nên đường thẳng MA có VTCP là 0,5 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAB ta có Suy ra 0,5 Câu 9.b (1,0 điểm) Điều kiện: Đặt phương trình thứ nhất của hệ trở thành vì Vì hàm đồng biến trên mà nên Khi đó ta có hay 0,5 Thế vào pt thứ hai của hệ ta được 0,5 ( ) 1 24 . , . 24 2 ABD S d A BD BD= ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) 5; 6 tm 5 1.12 48 3 3; 2 ktm A a a a A = ⇔ − = ⇔ ⇒ = − − − ( ) 3; 2 .AD BC C= ⇒ − − uuur uuur ( ) ( ) ( ) ( ) 5; 6 , 1; 8 , 3; 2 , 1; 4 .A B C D− − − ( ) 3; 4; 4 8 .A AB A a a a∈ ⇒ + + − − ( ) α ( ) 1; 2; 0 .A ( ) 3; 4; 4 8 .B AB B b b b∈ ⇒ + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2; 3; 4 tm 0 1 3 2 2 2 16 2 18 3 0;1; 4 ktm B B x b AB b b b b B − > = − = ⇔ + + + + + = ⇔ ⇔ = − 0 3 2 .sin30 . 2 BC AB= = ( ) ( ) 3 , . 2 d B BC α = = ( ) . α ( ) ( ) 3 7 5 2 ; 3; 4 ; 3; . 2 2 2 C c c c C α + − + ∈ ⇒ = ⇒ − ÷ ( ) ( ) 7 5 1; 2; 0 , 2; 3; 4 , ; 3; . 2 2 A B C − − ÷ ( , ).z x yi x y= + ∈ R ( ) ( ) 2 2 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1) x y i x yi x yi x yi z i z x y i x yi z z x yi x yi x y + + + + + − − + + + + + − + = + = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 . x y x y x y i x y x y − + − − = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 3 0 0 5 5 4 2 1 1 5( ) 5( ). 5 5 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y − + − − + ≠ + ≠ = = + + ⇔ ⇔ = ⇔ = ± − − = = + = − + = − + + 2 ,x y= 2 2 0, 0 (ktm) 2 . 2, 1 5 5 x y x y z i x y y y = = = ⇔ ⇒ = + = = = 2 ,x y= − 2 2 0, 0 (ktm) 6 3 . 6, 3 5 15 x y x y z i x y y y = − = = ⇔ ⇒ = − = = − = − 2 , 6 3 .z i z i= + = − .I AC BE= ∩ ( ) ; 2 3 .I AC I t t∈ ⇒ − ( ) 2 4; 4 6 .E t t− − ( ) ( ) 3 3; 3 , 2; 6 .E t I E∈∆ ⇒ = ⇒ / / ,AD BC 2AD BC= · · .ADC IBC= · · · 2 cot cot 2 cos . 5 IBC ADC IBC= = ⇒ = ( ) ( ) ( ) ; 2 3 1; 3 , 4; 2 3 .C AC C c c BI BC c c∈ ⇒ − ⇒ − − − uur uuur · 2 2 5 1 2 5 5 2 cos . 7 3 22 35 0 5 5 10. 5 20 25 3 c c c IBC c c c c c = > − = ⇔ = ⇔ ⇔ = − + = − + ( ) 5; 7C 7 5 ; .` 3 3 C ÷ ( ) 5; 7 ,C ( ) 1; 1 ,A − ( ) 3;13 .D 7 5 ; , 3 7 C ÷ 11 13 1 23 ; , ; . 3 3 3 3 A D ÷ ÷ ( ) ( ) 1;1; 3 , 1; 5; 2 .AB n α − uuur uur ( ) A α ∈ ( ) , 17; 5; 4 MA u AB n α = = − uuur uuur uur ( ) 2 1 1 : 17 2; 5 1; 4 1 . 17 5 4 x y z MA M m m m − − − ⇒ = = ⇒ − + + + − ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 330. , AM AM AB d A MB = + ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 17 5 4 330 1 15; 6; 5 , 19; 4; 3m m m m M M+ + = ⇒ = ± ⇒ − − − 0.x y> > 0,t xy= > 4 ( 2)2 3 0 (2 1)(2 3) 0 t t t t t t t+ − + − = ⇔ + + − = 2 3 0, t t⇔ + − = 2 1 0. t + > ( ) 2 3 t f t t= + − ,R (1) 0f = 2 3 0 1. t t t+ − = ⇔ = 1,xy = 1 .y x = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 log log .log 0 log log x x x x x x x − − + = ⇔ = ÷ B C D A E ∆ I Suy ra nghiệm của hệ là 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 log log 1 2. 1 1 1 1 1 log log x x x x x x x x x x x x x x x x − − = = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − − − = = − = 1 2, . 2 x y= = . ' ' ' 'ABCD A B C D 3 ,a 3 ,BD a= ( ' ' ' ' )A B C D ' ' .A C ( )ABCD ( ' ')CDD C 21 . 7 . ' ' ' 'ABCD A B C D '. ' ' ' 3 9 . 3. 3.sin60 . 2 4 ABCD A B C D a a V a a= = 3 1 ' ' 2 2 a BO A C= = ' &apos ;A BC ( ) ' ' ' 'B D A BC⊥ ' 'B D ' ' .A BC '. D · 0 ' ' ' 120 .B A D = ' ' ' ,A B C ' ' &apos ;A C D 3 .a ' ' ' ',O A C B D= ∩ ( ) ' ' ' ' .BO A B C D⊥ ' 'OH