Đề thi thử Đại học cao đẳng năm 2013 môn Toán đề 15

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 15) Câu 1. (2,5 điểm). 1. Cho hàm số (C) : a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất 2. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : Câu 2. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Giải hệ phương trình: Câu 3. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: . 2. Giải bất phương trình: 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó. Câu 4. (2 điểm) 1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0 Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều. 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Câu 5. (2,5 điểm). 1. Tính : 2. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 3. Cho z =, Hãy tính : (Hết) HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 15 ) Câu Ý Nội dung Điểm I 2.5 2 2 5 1 x x y x − + − = − 196 23 −+−= xxxy ( ) 3510325.3 22 −=−+ −− xx xx      =+ =+ 2coscos 2sinsin yx yx ( ) ( ) 02coscoslogsincoslog 1 =++− xxxx x x ( ) ( ) 01311 23 >+++++ xxxx / 4 1 2 3 0 0 sin ; 2 2 cos x x I dx J x x x dx x π = = − + ∫ ∫ 2 2 2 1 1 1 . 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + 1 3 i 2 2 − + 1 2 3 2 ; z;z ;(z) ;1 z z z + + b Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75  Với 0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) = Dấu "=" xảy ra ⇔ 0.5 • Gọi M(2; m) ∈ d 1 : x = 2. Khi đó đt d ∋ M ⇒ d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với (C’) ⇔ hệ: có nghiệm 0,25 ⇔ 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm. • Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1) • Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m ⇒ y’ = 6(x-2) 2 ≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có nghiệm duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C’). 0,5 II 1,5 1 Giải phương trình: 0,75 0.25 0.25 Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất. Vậy Pt có nghiệm là: x = và x = 2 0.25 2 Giải hệ phương trình: 0,75 4 4 1 . 1 y x Y X x X = − + − ⇔ = + −    = +−= yY xX 1 4 7 | | 4 4 | | | | 2 2 | | 2 2 X Y X X X − + = + ≥ = 4 | | | | 2 X X = ⇔ 4 42 3 3 4 2 1 2 2 X X x= ⇔ = ± ⇔ = ± ( )    =+− +−=−+− kxx mxkxxx 9123 2196 2 23 ( ) ( ) ( ) ( ) 015.3315.315.35 3510325.3 2222 22 =−−−+−⇔ −=−+ −−−− −− xxxx xx x xx ( )( ) ( ) ( )     =−+ =− ⇔ =−+−⇔ − − −− 2035 1015.3 03515.3 2 2 22 x x x x xx ( ) 3log2 3 1 log2 3 1 51 55 2 −=+=⇔=⇔ − x x ( ) 352 2 +−=⇔ − x x 3log2 5 − 0.25 0.25 Thử lại thấy đúng nên: là nghiệm của hệ phương trình. 0.25 III 1,5 1 Giải phương trình: . 0,5 Điều kiện: . Khi đó Pt 0.25 . Kết hợp với điều kiện ta được: (Với k ∊ N*). 0.25 2 Giải bất phương trình: 0,5 Đặt 0.25 ( ) ( ) ⇔=+++⇒      =+ =+ 22cossincossin 2coscos 2sinsin yyxx yx yx        += += ⇔        =       − =       − ⇔=       −+       − π π π π π π ππ 2 4 2 4 1 4 cos 1 4 cos 2 4 cos 4 cos ly kx y x yx        += += π π π π 2 4 2 4 ly kx ( ) ( ) 02coscoslogsincoslog 1 =++− xxxx x x      >+ >− ≠< 02coscos 0sincos 10 xx xx x       +=⇔−=⇔ 2 cos2cossin2cos π xxxx        +−= += ⇔        +−−= ++= ⇔ 3 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 ππ π π π π π π k x kx kxx kxx 3 2 6 ππ k x +−= ( ) ( ) ( ) 02301311 232323 >++++⇔>+++++ xxxxxxxx 023 2 >++⇔ tt 3 2 1 −≥+= xxt 0.25 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả tập con gồm 5 chữ số khác nhau. 0,25 Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả = 252 số. 0,25 IV 2.0 1 Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều 1.0 Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2). Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB ⇒ (Q): x + z + 1 = 0 0,25 Gọi d = (P) n (Q) ⇒ ⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; 1 + 2t) 0,25 0,25 2 3 2 2 1 1 1 3 3 2 t t x x x t t  ≥ −   ⇔ ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ −  > −     < −   5 10 C 5 10 C 62/3 =      += = −−= ⇔    =++ =−+− tz ty tx zx zyx d 21 22 01 01783 : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6 9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2 / 3 2 2 1 2; 2; 3 , ; ; 3 3 3 MC t t t MC t t t t t t t t t C C ⇒ = − − + ⇒ = ⇔ + + + + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ = − = −   ⇒ − − − − −  ÷   uuur 0.25 2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện. 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có: GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB ⇒ 0.25 FE là trung tuyến của ∆FAB nên: 0.25 Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có : . Vậy 0.25 Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và  DB, AC ta có: , 0.25 4 22 4 22 222222 22 acbCDADAC FBFA −+ = −+ == = −+ = 4 22 222 2 ABFBFA FE 2 222 acb −+ ( ) 2 | 22 | .2 || |,cos|cos 2 2222 222 c acbc GFGE FEGFGE GFGE −+ − = −+ == α 2 22 || c ba − = 2 22 || cos c ba − = α 2 22 || cos a cb − = β 2 22 || cos b ac − = γ P Q A B M C 1 C 2 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả tập con gồm 5 chữ số khác nhau. 0,25 Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả = 126 số. 0,25 V 2,5 1 0,5 Đặt: 0,25 0,25 2 1,0 . Đặt: x - 1 = tgt 0,25 5 9 C 5 9 C 3 2 cos 1 cos 2.cos u x du dx d x dv v x x = =     ⇒   = − =     / 4 / 4 4 0 0 2 2 0 1 1 1 2cos 2 cos 4 2 4 2 x dx I tgx x x π π π π π ⇒ = − = − = − ∫ 1 2 0 2 2J x x x dx= − + ∫ 2 2 1 ; 2 2 cos cos dt dx x x t t = − + = 0 0 0 3 4 3 4 4 4 1 sin cos cos cos tgt t dt J dt dt t t t π π π − − − + ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ F E G B D A C 0,25 0,25 0,25 3 1,0 Ta có: 0.5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 3 4 2 0 0 sin 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3cos 3 1 1 1 4 1 1 1 1 t u J J t u u du J du u u u u π − = − − = + = − + − + + = = = − + − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 1 1 1 2 2 2 1 . 2 4 1 1 1 1 du du du u u u u − − −    ÷ + +  ÷ − + − +  ÷   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2ln 2ln 4 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 2 2ln 2 4ln 2 1 . 4 4 2 1 u u u u u u u u − −  +   +  = − + = +  ÷  ÷ − + − − −       − = − = + −  ÷ +   . 2 111 222 abc cba abcacbbca ++ ≤ + + + + + abc abc abcabc cab cab cabcab bca bca bcabca 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 . 2 2 2 a bc b ca c ab a bc b ca b ca b c c a a b bc ca ab a b c abc abc abc ⇒ + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + = ≤ = . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 15) Câu 1. (2,5 điểm). 1. Cho hàm số (C) : a) Khảo sát và vẽ. )    =+− +−=−+− kxx mxkxxx 9123 2196 2 23 ( ) ( ) ( ) ( ) 015. 3 315. 315. 35 3510325.3 2222 22 =−−−+−⇔ −=−+ −−−− −− xxxx xx x xx ( )( ) ( ) ( )     =−+ =− ⇔ =−+−⇔ − − −− 2035 1 015. 3 03 515. 3 2 2 22 x x x x xx ( ) 3log2 3 1 log2 3 1 51 55 2 −=+=⇔=⇔ − x x (. có tất cả = 252 số. 0,25 IV 2.0 1 Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều 1.0 Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2). Gọi (Q) là mf đi qua