ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2013 - 2014 Câu 1: 1a) Rút gọn b i ểu thức: 2 x 1 x x 1 P x : x 1 x1 = 2 = x -2x +1 : x-1 = x - 1. Vậy P = x- 1. 1b) Theo phần a) ta có 22 P x 7 x 1 x 7 1 2 x2 1 x x 6 0 x3 . K ết luận các giá trị c ủa x cần tìm là: x = -2 x = 3 Câu 2: 2a) Điều kiện xác định: x 0, y 1 . Đặt 11 a , b x y 1 Thay vào hệ đã cho ta được 2a 3b 1 2a 3b 1 11a 11 a 1 3a b 4 9a 3b 12 2a 3b 1 b 1 x 1 x 1 y 1 1 y 2 . Vậy h ệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) = (1; 2). 2b) Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 x 4 99 98 97 96 Để ý rằn g 99 1 98 2 97 3 96 4 nên phương trình được viết lại v ề dạn g x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 99 98 97 96 (1) Phương trình (1) tương đươn g v ới x 100 x 100 x 100 x 100 1 1 1 1 x 100 0 x 100 99 98 97 96 99 98 97 96 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -100. Câu 3: 3a) Khi m = 1 phương trình có dạn g 2 x x 1 0 . Phương trình này có biệt thức 2 ( 1) 4.1.( 1) 5 0, 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 15 x 2 v à 2 15 x 2 3b) Phương trình đã cho có biệt thức: 2 22 (2m 1) 4.1.(m 2) 4m 8m 9 4(m 1) 5 m, 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 12 x , x v ới m ọi giá trị c ủa tham số m. Khi đó, theo định lý Viét: 1 2 1 2 x x 2m 1, x x m 2 Ta có 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x (x x ) 3x x (x x ) 8m 18m 21m 7 3 3 3 2 2 12 x x 27 8m 18m 21m 34 0 (m 2)(8m 2m 17) 0 (1) Do phương trình 2 8m 2m 17 0 c ó b i ệt thức 4 4.8.17 0 nên (1) m 2 Vậy m = 2. Câu 4: 4a) Tứ giác OAMC nội t i ếp. Do MA, MC là tiếp tuyến c ủa (O) nên 0 OA MA, OC MC OAM OCM 90 0 OAM OCM 180 Tứ giác OAMC nội t i ếp đường tròn đường kính OM. 4b) K là trung điểm c ủa BD. Do CE//BD nên AKM AEC , AEC ACM (cùng chắn cung AC ) AKM ACM . Suy ra tứ giác AKCM nội t i ếp. Suy ra 5 điểm M, A, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM 0 OKM 90 hay OK vuông góc với B D. Suy ra K là trung điểm c ủa BD. 4c) AH là phân giác của góc BHD . Ta có: 2 MH.MO MA , 2 MA MB.MD (Do MBA, MAD đồn g d ạn g ) MH.MO MB.MD MBH, MOD đ ồ n g d ạn g BHM ODM tứ giác BHOD nội t i ếp MHB BDO (1) Tam giác OBD cân tại O nên BDO OBD (2) Tứ giác BHOD nội t i ếp nên OBD OHD (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra MHB OHD BHA DHA AC là phân giác của góc BHD . Câu 5: Do 2 2 2 a b c 1 nên ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab 2c ab 2c ab 2c ab 2c 1 ab c a b c ab c a b ab ab 2c a b ab Á p d ụn g b ất đẳn g t h ức xy xy , x,y 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2c a b 2ab ab 2c a b ab a b c 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab 2c ab 2c ab 2c ab 2c 1 1 ab c a b c ab 2c a b ab B K E H C A O M D Tương tự 2 2 2 bc 2a bc 2a 1 bc a (2) v à 2 2 2 ca 2b ca 2b 1 ca b (3) Cộn g v ế theo vế các bất đẳn g t h ức (1), (2), (3) kế t hợp 2 2 2 a b c 1 ta có bất đẳn g t h ức cần c h ứng minh. Dấu “=’’ khi 1 a b c 3 . HẾT . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2013 - 2014 Câu 1: 1a) Rút gọn b i ểu thức: . đươn g v ới x 100 x 100 x 100 x 100 1 1 1 1 x 100 0 x 100 99 98 97 96 99 98 97 96 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -100 . Câu 3: 3a). x = -2 x = 3 Câu 2: 2a) Điều kiện xác định: x 0, y 1 . Đặt 11 a , b x y 1 Thay vào hệ đã cho ta được 2a 3b 1 2a 3b 1 11a 11 a 1 3a b 4 9a 3b 12 2a 3b 1 b 1