Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 2.. Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính đường cao AH của nó.. Hình chiếu vuông góc củ
Trang 1Câu 1(2 điểm) Cho hàm số y = x3
– 3x2 + 2 (1)
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x + 9y -1 = 0
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình x - √ (9x2) – 1 = 0
Câu 3 (1 điểm) Tìm nguyên hàm sau : F(x) = ∫ dx
Câu 4 (1 điểm)
a Tìm n
b Cho 100 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên 3 thẻ Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ được chọn là một số chia hết cho 2
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(0;1;2),
B(0;2;1), C(-2;2;3) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính đường cao AH của nó
Câu 6 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của
AD, góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là 450
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a
Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) tâm I (x1
> 0), (C ) đi qua điểm A(-2;3) và tiếp xúc với đường thẳng (d1): x + y + 4 = 0 tại điểm B (C ) cắt (d2) : 3x + 4y – 16 = 0 tại C và D sao cho ABCD là hình thang có hai đáy là AD và BC, hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau Tìm toạ độ các điểm B, C, D
Câu 8 (1 điểm)
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I
TỔ TOÁN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
LẦN 2 NĂM 2015 MÔN : TOÁN 12 THỜI GIAN: 180 phút (không kể thời
gian phát đề)
Trang 2Giải hệ phương trình
{ √ √
√ ( √ ) √
Câu 9 (1 điểm) Cho x, y là các số thực không âm thoả mãn
√ √
Tìm GTNN của P: 2(x3
+ y3) + 2(x2 + y2) – xy +√ +√
HẾT ĐÁP ÁN Câu 1
a (1 điểm) HS tự làm
b Gọi M (a; a3 – 3a2 + 2) là tiếp điểm, do tiếp tuyến vuông góc với (d) Nên
có y’ (a) = 9 0,25
Hay 3a2 - 6a – 9 = 0 a = -1 hoặc a = 3 0,25
Với a = -1 PTTT là y = 9x + 7 0,25
Với a = 3 PTTT là y = 9x – 25 0,25
Câu 2
Điều kiện x > 0 0,25
PT đã cho tương đương với x – 4log3 x – 5 = 0 0,25
Hay [ 0,25
Vậy pt có nghiệm x = hoặc x = 35 0,25
Câu 3
Ta có F(x) = ∫ dx = -∫ = - ln(1 + cos x) + C (1,0 )
Trang 3Câu 4
a (0,5 điểm)
ĐK: n 0,25
Từ đề ra ta có n + 1 + 3
=
n2
– 10n – 24 = 0 0,25 Giải ra ta được n = 12 hoặc n = -2 0,25
Đối chiếu điều kiện ta được n = 12 0,25
b (0,5 điểm)
Số phần tử của không gian mẫu là Do tổng 3 số được chọn chia hết cho 2 nên ta có các trường hợp sau: 0,25
+ Cả 3 số đều chẵn, số cách chọn là 0,25
+ Trong 3 số có một số chẵn, 2 số lẻ số cách chọn là 0,25
Vậy xác suất tính được là
= 0,25
Câu 5 (1 điểm)
Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗ (0;1;-1), ⃗⃗⃗⃗⃗ (-2;1;1) Do ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ nên ABC là một tam giác 0,5 Nhận thấy ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 nên tam giác ABC vuông tại A
Vậy = hay AH = √ 0,5
Câu 6:
Do SH (ABCD) nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là góc SBH
= 450 Ta có tam giác SBH vuông cân tại H vậy SH = BH = a√ 0,25
Ta có VS.ABCD = SH.dt(ABCD) = √ (dvdt) 0,25
a Gọi K là trung điểm của BC, ta có BH // DK BH // (SDK) suy ra d(BH; SD) = d(BH;(SDK)) = d(H;(SDK) 0,25
Tứ diện SHDK vuông tại H nên
=
+
0,25
Vậy d(BH;SD) = d(H;(SDK) = a√
Trang 4Câu 7:
Do ABCD là hình thang nội tiếp nên ABCD là hình thang cân Do hai đường chéo vuông góc với nhau tại K nên tam giác BKC vuông cân tại K, suy ra góc ACB = 450 AIB = 900 (góc ở tâm cùng chắn cung AB) hay IB AI (1) Lại
do (d1) tiếp x (C) tại B nên IB (d1) (2) Từ (1) (2) suy ra IB = d(A/d1)=
√ , (AI //
d1) 0,25
Ta có PT AI: x + y – 1 = 0, do I AI I (a;1-a) , IA =
√
[
0,25
Vậy I ( do (x1 > 0)
PT đường tròn (C ) : (x-
)2 + (y - )2 =
Xét hệ {
(x; y) = (0; 4) hoặc (x;y) = (4;1) 0,25
B là hình chiếu của I nên (d1)tính được B(-2;-2)
Do AD // BC nên B (-2;-2); C(4;1), D(0;4) 0,25
Câu 8:
PT (1) √ + √ = 2 ( 0,25
Đặt ta được PT √ +√ = 2 (t + 1) (3) với t >0 Bình phương hai vế của (3) giải ra ta được x = y 0,25
Thay x = y vào (2) ta được (8x – 6)√ = (2 + √ ) (x+4√ +3)
√ [(√ +1]= (2 + √ )[( √ + 1] (4)
Trang 5(4) √ = 2 + √ (5)
Giải (5) ta được x = 2 hoặc x =
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) = (2;2) hoặc ( ) 0,25
Câu 9:
Ta có √ + √
= √ √ √ + √ √ √ 3 | |
= 3(x+y)
Dấu bằng xảy ra khi x = y Đặt x + y = t ta có {
[ (*)
Ta có P = 2t3
+ 2t2 – xy (6t +5) + √ +√
P 2t3
+ 2t2 - (6t + 5) + √ 4P 2t3
+ 3t2 + 4√ = f (t) 0,25 Xét hàm số f(t)= 2t3
+ 3t2 + 4√ trên (*), f’(t) = 6t2
+ 6t +
√ Với mọi t thoả mãn (*) Suy ra f(t) {f(0);f(1)} = f(0) = 8 0,25
Vậy 4P f(t) f(0) = 8 Hay min P = 2 đạt được khi {
x = y = 0 0,25