PHÒNG GD- ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN – LỚP 6 Thời gian 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 07/4/2013 Câu 1: ( 4 điểm) a) 1 1 1 1 10 15 21 120 A = + + + + b) Tìm các số nguyên x và y biết rằng ( ) ( ) 2 1 5x xy− − = Câu 2: ( 5 điểm) a) Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức 17 2 1 A n = + là số nguyên b) Tìm số tự nhiên x biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 100 8080x x x x x+ + + + + + + + + = Câu 3: ( 5 điểm) a) Cho hai phân số có tổng bằng 2013 lần tích của hai phân số đó. Tính tổng số các nghịch đảo của hai phân số đó. b) Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8 Câu 4: ( 2 điểm) Chứng tỏ rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì 2 1a − chia hết cho 6 Câu 5: ( 4 điểm) a)Trên đường thẳng xy lấy các điểm M, N, P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a ( với a > 0) . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a b) Cho tia Ox là phân giác của · MON trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ là đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho · · MOy MON> . Chứng tỏ rằng: · · · 2 MOy NOy xOy + = Giải: Câu 1: a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 15 21 120 2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8 A = + + + + = + + + + + + 1 1 1 1 1 1 2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8 = + + + + + + ÷ ÷ ÷ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 3 7 3 4 15 7 8 = + + + + + + ÷ ÷ ÷ 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 12 56 2.3 3.4 7.8 2 8 8 = + + + = + + + = − = b) Ta có ( ) ( ) 5 1 5 1.5= − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 1.5x xy⇒ − − = − − = 2x − -1 -5 1 5 1xy − -5 -1 5 1 x 1 -3 3 7 y -4 0 2 2 7 ( loại) Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 1; 4 ; 3;0 ; 3;2x y = − − Câu 2: Để biểu thức 17 2 1 A n = + là số nguyên thì 17 2 1n +M . Ta có Ư(17) { } 1; 17= ± ± nên 2 1n + -17 -1 1 17 n -9 -1 0 8 Vậy { } 9; 1;0;8n∈ − − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 100 8080x x x x x+ + + + + + + + + = ( 1) Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có 101x và từ 1đến 100 có tổng 100.101 101.50 5050 2 = = nên vế trái của (1) là 101 5050x + ta có 3030 101 5050 8080 101 3030 30 101 x x x+ = ⇒ = ⇒ = = . Vậy 30x = là số tự nhiên cần tìm Câu 3: a) Gọi hai phân số cần tìm là x và y với ; 0x y ≠ 0xy⇒ ≠ . Theo đề ta có 2003x y xy+ = (1) Do 0xy ≠ nên chia hai vế của (1) cho xy ta được 2013 1 1 2013 x y xy xy xy x y + = ⇒ + = . Nên tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là 2013 b) Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có 355 . 13a m= + với *m N∈ và 13a > hay . 342 18.19a m = = (2) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 nên ta có 836 . 8 . 828 18.46a n a n= + ⇒ = = với *n N∈ (3). Từ (2) và (3) suy ra 18a = là số tự nhiên cần tìm. Câu 4: Khi a là một số lẻ không chia hết cho 3 nên a có dạng: 6 1a k= − và 6 1a k= + với k N∈ . Khi 6 1a k= − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 6 1 6 1 1a k k k k k k− = − − = − − − = − − − − = ( ) 2 2 36 6 6 1 1 36 12 6 6 2 6k k k k k k k− − + − = − = − M với mọi k. Vậy 2 1 6a − M . Khi 6 1a k= + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 6 1 6 1 1a k k k k k k− = + − = + + − = + + + − = ( ) 2 2 36 6 6 1 1 36 12 6 6 2 6k k k k k k k+ + + − = + = + M với mọi k. Vậy 2 1 6a − M . Câu 5:a) • Trường hợp N và P nằm khác phía với M ta có M nằm giữa N và P nên ta có 2MN MP NP MP NP MN a a a + = ⇒ = − = − = • Trường hợp N; P nằm cùng phía với M ta có N nằm giữa M và P nên 2 3MP MN NP a a a= + = + = b) Do Ox là tia phân giác của · MON nên · · 1 2 xON MON= . Do · · MOy MON> (gt) nên tia ON nằm giữa hai tia OM và Oy nên · · · · · · NOy NOM MOy NOy MOy MON+ = ⇒ = − · · · · · · · · 1 1 2 2 xOy yON NOx MOy MON MON MOy MON= + = − + = − · · 2 2 MOy MON− = · · · · · 2 2 MOy MOy MON MOy NOy+ − + = = . dạng: 6 1a k= − và 6 1a k= + với k N∈ . Khi 6 1a k= − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 6 1 6 1 1a k k k k k k− = − − = − − − = − − − − = ( ) 2 2 36 6 6 1 1 36 12 6 6 2 6k k k. với mọi k. Vậy 2 1 6a − M . Khi 6 1a k= + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 6 1 6 1 1a k k k k k k− = + − = + + − = + + + − = ( ) 2 2 36 6 6 1 1 36 12 6 6 2 6k k k k k k k+ +. PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 20 12- 2013 MÔN TOÁN – LỚP 6 Thời gian 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 07/4 /20 13 Câu 1: ( 4 điểm) a) 1 1 1 1 10 15 21