TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT MÔN: TOÁN LỚP: 12 Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 1( ) , m y x m x m C = + - - + m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 1. m = - b) Tìm m để đường thẳng 2 1y mx m = - + và ( ) m C cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Câu 2 (1 điểm). a) Giải phương trình ( ) 2 3 2 1 2cos sin cos cos . x x x x + - = + b) Giải phương trình ( ) 3 3 3 2 3 1 2log log log . x x - + + = + Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 0 2 1 1 ln d . x x e I x e - = + ò Câu 4 (1 điểm). a) Khai triển và rút gọn biểu thức 2 1 2 1 1( ) ( ) n x x n x - + - + + - thu được đa thức 0 1 ( ) n n P x a a x a x = + + + . Tìm 8 a , biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn 2 3 1 7 1 n n n C C + = . b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi Thọ đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu; 5 câu còn lại Thọ chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của Thọ không dưới 19 điểm. Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, 2 , AB a = . AC a = Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2. a Gọi , M H lần lượt là trung điểm của AB và BC , I là điểm thỏa mãn 1 3 . BI AC = uuur uuur Tính theo a thể tích khối chóp . S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và . SI Câu 6 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) 0 0 1 0 1 0; ; , ; ; . A B Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , A B đồng thời cắt trục Oz tại điểm C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 1. Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và đường cao AH lần lượt có phương trình 13 6 2 0, x y - - = 2 14 0. x y - - = Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là ( ) 6 0; . I - Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình 14 2 5 11 2 . x x x + > + - Câu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1. a b c + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 3 45 5 ( ) . ( ) ( ) a b P a b b c bc c a ca = + - + + + + + HẾT Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đi Hc - THPT Quc Gia - Tài Liu Ôn Thi.Cp nht hng ngày! T R Ư Ờ N G T H P T CHUYÊN HÙNGV Ư Ơ N G H Ư Ớ N G DẪNCHẤM MÔN T O Á N ĐỀ T H I KHẢOSÁT LỚP 12 Câu Nội dung Điểm 1 a) Khi 1m = - h à m số t r ở thành 3 2 3 2. y x x = - + 1)Tậpxác định:. R 0 , 2 5 2)Sự biếnthiên: * Giớih ạ n tại v ô cực:Tacó lim x y ®-¥ = -¥ v à lim . x y ®+¥ = +¥ * Chiềubiếnthiên:Tacó 2 3' 6 ; y x x = - 0 ' 0 2 . x y x = é = Û ê = ë Suy ra: hàms ố đồngbiếntrênmỗikhoảng ( ) ( ) 0 2; , ; ; -¥ + ¥ n g h ị c h b i ế n trên khoảng ( ) 0 2; . * Cực trị: H à m số đạtc ự c đạitại 0 2, , C x y = = Đ h à m số đạtcực tiểu tại 2 2, . CT x y = = - 0 , 2 5 * Bảng biếnthiên: 0 , 2 5 3)Đ ồ thị: 0 , 2 5 b)X é t phươngtrìnhhoành độg i a o điểm ( ) 3 2 2 1 1 2 1( ) * x m x m mx m + - - + = - + 3 2 2 1 2 0( ) x m x mx Û + - - = 0 , 2 5 0 1; x x Û = = h o ặ c 2x m = - . 0 , 2 5 x O 2 y 2 - 2 x 'y y 0 ¥ - ¥ +2 2 ¥ - ¥ + 2 - + – 0 0 + Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đi Hc - THPT Quc Gia - Tài Liu Ôn Thi.Cp nht hng ngày! Yờu cu bi toỏn tng ng vi phng trỡnh ( ) * cú ba nghim phõn bit 0,25 Do ú 0m ạ v 1 2 m ạ - tha món bi toỏn. 0,25 2 a) Phng trỡnh ó cho tng ng vi s 2 2 2 3 2 1 2in cos sin .cos cos sin x x x x x x + + - = + 0,25 2 3 2 2s in cos sin x x x - = 1 3 2 2 2 2 sin cos sin x x x - = 0,25 2 2 3 2 3 2 2 3 sin sin x x k x x x x k p p p p p p ộ - = + ờ ổ ử - = ờ ỗ ữ ố ứ ờ - = - + ờ ở 0,25 2 3 4 2 9 3 . x k k x p p p p ộ = + ờ ờ ờ = + ờ ở 0,25 b) iu kin: 2. x > Phng trỡnh ó cho tng ng vi ( ) ( ) 3 3 3 2 3 6log log log x x - + + = 0,25 ( )( ) ( )( ) 3 3 2 3 6 2 3 6 log log x x x x - + = - + = 0,25 2 12 0 3x x x + - = = hoc 4x = - . 0,25 So sỏnh vi iu kin, thu c nghim: 3. x = 0,25 3 t d d . x x e t e x t = ị = i cn: 0 1 2 2, ln . x t x t = ị = = ị = 0,25 Suy ra ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 3 1 1 1 dt d t I t t t t t - ổ ử = = - ỗ ữ + + ố ứ ũ ũ 0,25 ( ) ( ) 2 1 3 1ln ln | t t = + - 0,25 = 3 3 4 2ln ln . - 0,25 4 a) Ta cú 2 3 3 1 7 1 2 7 3 1 1 1 2 . ! ( ) ( )( ) n n n n C C n n n n n n ỡ ù + = ớ + = ù - - - ợ 2 3 9 5 36 0 . n n n n ỡ = ớ - - = ợ Suy ra 8 a l h s ca 8 x trong khai trin biu thc 8 9 8 1 9 1( ) ( ) . x x - + - 0,25 H s ca 8 x trong khai trin biu thc 8 8 1( ) x - l 8 8 8 , C h s ca 8 x trong khai trin biu thc 9 9 1( ) x - l 8 9 9 . C Suy ra 8 8 8 8 9 8 9 89. . . a C C = + = 0,25 b) Bn Th c khụng di 19 im khi v ch khi trong 10 cõu tr li ngu nhiờn c hai mụn Lớ v Húa bn Th tr li ỳng ớt nht 5 cõu. Xỏc sut tr li ỳng 1 cõu hi l 1 4 , tr li sai l 3 4 . Ta cú: 0,25 Xỏc sut Th tr li ỳng 5 trờn 10 cõu l 5 5 5 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Xỏc sut Th tr li ỳng 6 trờn 10 cõu l 6 4 6 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Tham gia ngay! Group ễn Thi H TON - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DeThiThu.Net Xác suất Thọ trả lời đúng 7 trên 10 câu là 7 3 7 10 1 3 4 4 . ; C æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø Xác suất Thọ trả lời đúng 8 trên 10 câu là 8 2 8 10 1 3 4 4 . ; C æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø Xác suất Thọ trả lời đúng 9 trên 10 câu là 9 9 10 1 3 4 4 . ; C æ ö ç ÷ è ø Xác suất Thọ trả lời cả 10 câu là 10 10 10 1 C 4 . æ ö ç ÷ è ø Cộng các xác suất trên ta suy ra xác suất Thọ được không dưới 19 điểm là 0,0781. 0,25 5 Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C. Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này chính là trung điểm H của BC. Do đó ( ) . SH ABC ^ 0,25 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC ta có 2 2 4 5. BC a a a = + = Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHB ta có 2 2 5 3 2 4 2 . a a SH a = - = Từ đó suy ra 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 2 6 . . . . . SABC ABC a a V SH S a a æ ö = = = ç ÷ è ø (đvtt). 0,25 Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . d MH SI d MH SBI d H SBI = = Kẻ HO vuông góc với BI tại O thì O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K. Khi đó ( ) . HK SBI ^ 0,25 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHO ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 21 73 3 . a HK HK HS HO a a a = + = + = Þ = Vậy ( ) 21 7 , . a d MH SI HK = = 0,25 A B S H M K I O E C Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net 6 Gi s ( ) 0 0; ; C c suy ra mt phng cn tỡm cú phng trỡnh 1 1 1 . x y z c + + = 0,25 Ta cú 1 1. . . .| || | OABC V OA OB OC c c = = = . 0,25 Theo gi thit, ta cú 1 1| | . c c = = 0,25 Vy cú 2 mt phng tha món bi toỏn l 1 0x y z + + - = hoc 1 0x y z + - - = . 0,25 7 Ta im A l nghim ca h phng trỡnh ( ) 2 14 0 4 4 9 13 6 2 0 9 ; . x y x A x y y - - = = - ỡ ỡ ị - - ớ ớ - - = = - ợ ợ 0,25 Gi A' l im i xng vi A qua I. Khi ú im ( ) 8 9' ; A - nm trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Gi K l trc tõm ca tam giỏc ABC. Khi ú t giỏc BKCCA' cú hai cp cnh i din song song nờn l hỡnh bỡnh hnh. Khi ú KA' v BC ct nhau ti trung im ca mi ng (l M). Vỡ K v M ln lt nm trờn AH v AM nờn gi s ( ) 2 14; , K k k + 13 2 6 ; . m M m - ổ ử ỗ ữ ố ứ Vỡ M l trung im ca KA' nờn ( ) ( ) 2 14 8 2 12 1 1 13 2 2 9 2 2 4 6 . ; . ; k m K k m m k M + - = ỡ ỡ - = - ỡ ù ù ị ị ớ ớ ớ - = + = ợ ù ù ợ ợ 0,25 ng thng BC i qua M v nhn AK uuuur lm VTPT nờn 2 8 0: . BC x y + - = Gi s ( ) 8; 2 . B b b - Vỡ I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC nờn ( ) ( ) 2 2 2 3 4 81 6 2 8 5 20 15 0 1 b IA IB b b b b b = ộ = + = + + - - + = ờ = ở . 0,25 Vi 3b = ta cú ( ) 3 2; . B Vỡ C i xng vi B qua M nờn ( ) 1 6; . C Vi 1b = ta cú ( ) 1 6; . B Vỡ C i xng vi B qua M nờn ( ) 3 2; . C 0,25 8 iu kin: 0 2x Ê ạ . Bt phng trỡnh ó cho tr thnh 14 2 2 5 7 2 ( ) x x x - + > + - 7 2 2 5 2 ( ) . x x x x - + > - (1) 0,25 Rừ rng 0x = khụng tha món bt phng trỡnh (1). Vi 0 2x < ạ bt phng trỡnh (1) tng ng vi 2 2 7 5 2 ( ) . x x x x - + > - t 2x t x - = . Khi ú bt phng trỡnh tr thnh 7 2 5t t + > 2 2 5 7 0 t t t + - > 2 7 1 0( )( ) t t t + - > 1 7 0 2 . t t > ộ ờ ờ - < < ở 0,25 * Vi 1t > ta cú 2 1 x x - > , hay 1 2 0 ( )( ) x x x + - > 4x > . 0,25 Tham gia ngay! Group ễn Thi H TON - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht hng ngy! www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net * Với 7 0 2 t - < < ta có 7 2 0 2 x x - - < < , hay 0 2 1 2 4 4 2 1 0 . ( )( ) x x x x < < ì ï Û < < í + - > ï î Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 1 4 2 4 , . x x > < < 0,25 9 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 2 2 2 2 2 2 4 5 5 9 4 . ( ) ( ) ( ) ( ) a a a b c bc b c b c b c ³ = + + + + + + Tương tự, ta có 2 2 2 2 4 5 9 . ( ) ( ) b b c a ca c a ³ + + + Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 95 5( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b b c c a b c bc c a ca b c c a æ ö æ ö + ³ + ³ + ç ÷ ç ÷ + + + + + + + + è ø è ø 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 4 2 2 4 9 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) a b c a b a b c a b ab c a b c a b c a b c a b c a b a b c a b c æ ö + + + ç ÷ æ ö + + + = ³ ç ÷ ç ÷ + + + + ççç ÷÷÷ è ø + + + è ø æ ö + + + = ç ÷ + + + + è ø 0,25 Vì 1 1a b c a b c + + = Û + = - nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 3 8 2 3 1 1 1 9 4 9 1 41 4 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) c c c P c c c c c c c æ ö - + - æ ö ³ - - = - - - ç ÷ ç ÷ + - + - + è ø è ø (1) 0,25 Xét hàm số 2 2 8 2 3 1 1 9 1 4 ( ) ( ) f c c c æ ö = - - - ç ÷ + è ø với 0 1( ; ). c Î Ta có 2 16 2 2 3 1 1 9 1 21 '( ) . ( ); ( ) f c c c c æ ö = - - - ç ÷ + + è ø ( ) 3 1 0 1 64 3 3 0 3 '( ) ( ) ( ) . f c c c c = Û - - + = Û = Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có 1 9 ( ) f c ³ - với mọi 0 1( ; ). c Î (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 9 , P ³ - dấu đẳng thức xảy ra khi 1 3 . a b c = = = Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 9 . - 0,25 ( )f c '( )f c c 1 3 0 +– 0 1 1 9 - Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đi Hc - THPT Quc Gia - Tài Liu Ôn Thi.Cp nht hng ngày! www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net www.DeThiThu.Net . TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT MÔN: TOÁN LỚP: 12 Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2 điểm) Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net - Đ