Ứng dụng maple giải một số bài toán trong tam giác

Ứng dụng maple giải một số bài toán trong tam giác

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

BẰNG PHẦN MỀM MAPLE

Sinh viên : Nguyễn Đức Mạnh, Lớp Toán Tin 2 – K51 - ĐHBKHN

ÛÛÛÛÛÛÛ

và sinh viên có thể truy cập được

Sự phát triển đầu tiên của Maple được tiến hành rất nhanh, với phiên bản hạn chế đầu tiên xuất hiện vào tháng 12 năm 1980 Những nhà nghiên cứu đã thử nghiệm và loại bỏ nhiều ý tưởng khác nhau để tạo ra một hệ thống liên tục cải tiến Maple được trình diễn đầu tiên tại những hội nghị bắt đầu vào năm 1982

Đến cuối năm 1983, trên 50 trường đại học đã cài Maple trên máy của họ

Do số lượng hỗ trợ và yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm nghiên cứu đã sắp xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép và phân phối Maple

Vào năm 1988, do số lượng hỗ trợ ngày càng tăng, Waterloo Maple Inc được thành lập Mục tiêu đầu tiên của công ty là quản lý những bản phân phối phần mềm Cuối cùng, công ty cũng phải mở ra phòng R&D ở đó khá nhiều sự phát triển cho Maple được thực hiện đến ngày nay Sự phát triển đáng kể của Maple tiếp tục diễn rại những phòng thí nghiệm trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới

Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng đầu tiên của Maple được phát triển và bao gồm trong bản 4.3 dành cho Macintosh Những phiên bản trước của Maple chỉ gồm giao diện dòng lệnh với ngõ ra hai chiều Bản X11 và Windows với giao diện mới tiếp bước vào năm 1980 với Maple V

Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đã đưa vào một

số Thư viện Số học NAG, được mở rộng độ chính xác ngẫu nhiên

Vào năm 2003, giao diện "chuẩn" hiện nay được giới thiệu trong Maple

9 Giao diện này được viết chủ yếu bằng Java (mặc dù có nhiều phần, nhưng luật cho việc gõ công thức toán học, được viết bằng ngôn ngữ Maple) Giao diện Java bị phê phán là chậm]; những sự phát triển được thực hiện trong các bản sau, mặc dù tài liệu Maple 11 documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước đây dành cho người với bộ nhớ vật lý ít hơn 500 MB Giao diện cổ điển này không còn được bảo trì

Giữa 1995 và 2005 Maple đã mất khá nhiều thị phần vào tay đối thủ do

có giao diện người dùng yếu hơn Nhưng vào năm 2005, Maple 10 giới thiệu một “chế độ văn bản” mới, như một phần của giao diện chuẩn Tính năng chính của chế độ này là phép toán được đưa vào bằng ngõ nhập hai chiều, do đó nó xuất hiện tương tự như công thức trong sách Vào năm

2008, Maple 12 đã thêm những tính năn giao diện người dùng giống như Mathematica, gồm có những kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản

lý phần đầu và cuối trang, so trùng mở đóng ngoặc, vùng thực hiện tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp và vùng tự động khởi tạo Những tính năng khác được thêm để làm cho Maple dễ dùng hơn như một hộp công cụ Maple

™ Chức năng cốt lõi

Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG; trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn Các ví dụ về tính toán hình thức sẽ được trình bày trong phần sau

Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ Cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic) Cũng có một giao diện dành cho Excel

™ Kiến trúc

Phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple,

và được thông dịch bởi nhân Maple Nhân Maple được viết bằng C Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính

Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ trong

bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG) Ngôn ngữ cho phép

các biến có phạm vinhất định (lexical scoping) Ngôn ngữ có hình

thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh

Một điều lạ đối với chương trình thương mại, đa số mã nguồn đều có thể xem tự do

™ Nguồn gốc tên gọi :

Tên "Maple" không phải là tên viết tắt hoặc từ cấu tạo bằng chữ đầu, mà

chỉ đơn giản là để chỉ hình tượng Lá phong (tiếng Anh: maple) trên Quốc

kỳ Canada

2.Giới thiệu sơ qua về lập trình tính toán trong Maple:

Một chương trình tính toán thường có ba phần:

3.Các tính năng cơ bản của Maple :

9 Là một hệ thống các toán trên các biểu thức đại số;

9 Có thể thực hiệc được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại học và sau đại học;

9 Cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị

9 tĩnh và động của các đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý

9 trong nhiều hệ tọa độ khác nhau;

9 Một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương

9 Một trợ giáo hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học

4.Giới thiệu sơ qua về tam giác :

Tam giác (chữ Hán: 三角, nghĩa: ba đỉnh) hay hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học: hình hai chiều phẳng có ba đỉnh là

ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh là ba đoạn thẳng Tam giác là đa giác có số cạnh ít nhất

Tam giác luôn luôn là đa giác đơn, lồi

™ Các yếu tố trong tam giác :

Góc trong C, góc đối C'

Một tam giác có ba cạnh, ba cạnh ấy tạo thành ba góc, chúng còn được gọi là các góc trong để phân biệt với các góc ngoài là góc kề bù với

chúng tạo bởi một cạnh và một cạnh kéo dài

Trong hình bên A' là góc đối của A đã dịch chuyển, B' là góc đối của B đã dịch chuyển

Trực tâm H của tam giác ABC

Đoạn thẳng nối một đỉnh với hình chiếu vuông góc của nó trên cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác Một tam giác có ba đường cao Ba đường cao của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

Trọng tâm của tam giác

Đoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện được gọi

là trung tuyến của tam giác, một tam giác có ba đường trung tuyến

Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác

Trong mặt phẳng, mọi đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác đều chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ngoài ra ba đường trung trực của ba cạnh cắt nhau tại một điểm,

đó là tâmđường tròn ngoại tiếp của tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác

Ba đường phân giác của ba góc trong cắt nhau tại một điểm, điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì cách đều ba cạnh của tam giác

™ Quan hệ bằng nhau giữa các tam giác :

Hai tam giác là bằng nhau nếu chúng có thể đặt trùng khít lên nhau sau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng Nói cách khác hai tam giác là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc đối

diện với các cạnh tương ứng bằng nhau Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi thỏa một trong ba điều kiện sau:

1 Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh)

2 Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và cặp góc xen giữa các cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-góc-cạnh)

3 Hai tam giác có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc kề với cặp cạnh ấy bằng nhau thì bằng nhau (góc-cạnh-góc)

™ Phân loại tam giác :

Trong hình học Euclid thuật ngữ "tam giác" thường được hiểu là tam

giác nằm trong một mặt phẳng Ngoài ra còn có tam giác cầu trong hình học cầu, tam giác hyperbol trong hình học hyperbol Tam giác phẳng có một số dạng đặc biệt, xét theo tính chất các cạnh và các góc của nó:

ƒ Trong tam giác thường, mọi cạnh có độ dài khác nhau, mọi góc

trong cũng khác nhau

ƒ Tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh có độ dài bằng nhau, nói

cách khác: ba góc trong bằng nhau và

có giá trị bằng π / 3 rad

ƒ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh có độ dài bằng nhau, các

cạnh này được gọi là cạnh bên, nói cách khác: tam giác cân là tam giác có hai góc trong bằng nhau (chúng được gọi là các góc ở đáy)

Tam giác thường Tam giác đều Tam giác cân

ƒ Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng π / 2 rad, góc vuông

Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh

huyền, là cạnh lớn nhất Hai cạnh kia là cạnh góc vuông của tam giác

vuông Định lý Pytago là định lí nổi tiếng đối với hình tam giác

vuông, mang tên nhà toán học, triết gia Pytago

ƒ Tam giác tù là tam giác có một góc trong lớn hơn π / 2 rad

(một góc tù)

ƒ Tam giác nhọn là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn π / 2 rad

(ba góc nhọn)

Tam giác vuông Tam giác tù Tam giác nhọn

ƒ Một số tam giác khác là trường hợp đặc biệt trong các phân lớp kể

trên Thí dụ: Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông vừa là tam

giác cân

™ Một số tính chất của tam giác :

1 Tổng các góc trong của một tam giác bằng hai góc vuông (π rad hay 180o)

2 Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng

độ dài của chúng

3 Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác

4 Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi

là trọng tâm của tam giác Mọi đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác đều chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

5 Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

6 Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

7 Trong hai cạnh của cùng một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn có chiều dài lớn hơn Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

8 Định lý hàm số cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai canh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó

9 Định lý hàm số sin: Trong một tam giác tỷ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh

Trong hình học phi Euclide thì một tam giác có thể có tổng ba góc phụ thuộc vào kích thước của tam giác, khi kích thước tam giác gia tăng thì tổng đó tiến tới giá trị là 0 và có diện tích là vô hạn

Trong hình học Hyperbolic, tổng

các góc trong một tam giác nhỏ

hơn 180°

Trên hình học mặt cầu,tổng các góc trong của mộttam giác cầu lớn hơn

180°

5.Giới thiệu những bài toán sẽ xử lý :

¾ Bài toán tìm tọa độ trọng tâm của tam giác :

Cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A(x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

¾ Bài toán tìm tọa độ trực tâm của tam giác :

Cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A(x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

¾ Bài toán tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác :

Cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A(x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp G của tam giác ABC

¾ Bài toán xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác :

Cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A(x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC

6.Một số gói lệnh sử dụng trong bài :

- a,b,c là các đồ thị riêng biệt

- L: dãy (list) các đồ thị(ví dụ L:=a,b,c

- A: mảng một chiều hoặc hai chiều của các đồ thị

- P: đồ thị dưới dạng vận động

- insequence=true(false): nó cho phép hiện từng đồ thị trong

dãy(list) theo trình tự của dãy

- options: các tính chất cơ bản của các lệnh vẽ như plot/options

9 Plottools[translate](p,a,b): Lệnh tịnh tiến đồ thị

Lệnh này tác động lệnh đồ thị p cho kết quả là tịnh tiến đồ thị này đến tọa độ mới (a,b)

Cú pháp:

plottools[translate](p,a,b); "dịch chuyển tịnh tiến trong 2D"

plottools[translate](q,a,b,c); "dịch chuyển tịnh tiến trong 3D"

Các tham số:

- p,q : cấu trúc đồ thị cần dịch chuyển tịnh tiến

- a,b,c : các số thực (chính là tọa mới)

PHẦN B : ỨNG DỤNG CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN

TRONG TAM GIÁC

1 Bài toán tìm tọa độ trọng tâm của tam giác:

Chú thích: Trọng tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến

trong tam giác đó

Bài toán: cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A( x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

y y

y +

=

- AM là tiếp tuyến của tam giác ABC từ đỉnh A

- BN là tiếp tuyến của tam giác ABC từ đỉnh B

- Giả sử trọng tâm của tam giác ABC là G(x y G, G) G là giao điểm của

AM và BN

- Khi đó tọa độ của G thỏa mãn:

3

A B C G

x x x

x = + + ,

3

A B C G

yM:=(yC+yB)/2;

xN:=(xA+xC)/2;

yN:=(yA+yC)/2;

xG:=(xA+xB+xC)/3;

yG:=(yA+yB+yC)/3;

g:=point([xM,yM],color=red),point([xN,yN],color=red),poin t([xG,yG],color=red):

l4:=line([xA,yA], [xM,yM], color=blue, linestyle=5): l5:=line([xB,yB], [xN,yN], color=blue, linestyle=5): A:=textplot([xA-0.1,yA+0.1,"A"],align=ABOVE):

> trongtam(-1,-2,0,3,-4,5);

toa do trong tam la: G (-1.67, 2.00)

2 Bài toán tìm tọa độ trực tâm của tam giác:

Chú thích: Trực tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường cao trong tam

giác đó

Bài toán: Cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A( x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

Thuật toán:

-Lần lượt xác định các đường cao h1,h2 hạ từ A, B của tam giác ABC

H là giao điểm của h1,h2

-Đường thẳng h1 đi qua điểm A và nhận vecto BC làm vecto pháp tuyến, suy ra phương trình h1 có dạng :

CODE:

>restart: with(plots,textplot): with(plottools):

tructam:=proc(xA,yA,xB,yB,xC,yC)

local xM,xN,xH,yM,yN,yH,l1,l2,l3,l4,l5,H,A,B,C,g,M,N; l1:=line([xA,yA], [xB,yB], color=blue, linestyle=5): l2:=line([xA,yA], [xC,yC], color=blue, linestyle=5): l3:=line([xC,yC], [xB,yB], color=blue, linestyle=5): A:=textplot([xA-0.1,yA+0.1,"A"],align=ABOVE):

printf( "toa do trong tam la: H (%3.2f,

%3.2f)",xH,yH);

plots[display](l1,l2,l3,l4,l5,g,A,B,C,M,N,H,scaling=const rained);

end;

Ví dụ áp dụng:

> tructam(0,0,4,0,2,3);

toa do trong tam la: H (2.00, 1.33)

> tructam(-2,-3,3,1,-5,5);

toa do trong tam la: H (-0.69, -0.38)

3 Bài toán tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác:

Chú thích: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường

phân giác trong tam giác đó

Bài toán: Cho tam giác ABC, đã biết tọa độ 3 đỉnh là A( x y A, A),B (x y B, B), C(x y C, C) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp G của tam giác ABC

- Làm tương tự ta cũng có phương trình tiếp tuyến t2 của góc ABC

- G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi tọa độ của G thỏa mãn phương trình của t1 và t2

- Giải hệ 2 phương trình đường thẳng t1,t2 ta thu được tọa độ cần tìm của

G Giải hệ 2 phương trình đường thẳng t1 và BC ta thu được tọa độ điểm

M là chân đường phân giác hạ từ A xuống BC Giải hệ 2 phương trình t2

và AC ta thu được tọa độ điểm N là chân đường phân giác hạ từ B xuống

l1:=line([xA,yA], [xB,yB], color=blue, linestyle=5): l2:=line([xA,yA], [xC,yC], color=blue, linestyle=5):

l3:=line([xC,yC], [xB,yB], color=blue, linestyle=5): A:=textplot([xA-0.1,yA+0.1,"A"],align=ABOVE):

B:=textplot([xB-0.1,yB+0.1,"B"],align=ABOVE):

C:=textplot([xC-0.1,yC+0.1,"C"],align=ABOVE):

a1:=xA-xB: a2:=xB-xC: a3:=xC-xA:

b1:=yA-yB: b2:=yB-yC: b3:=yC-yA:

if((-a1*a3-b1*b3)<0) then

b3*(x-xA)+a3*(y-yA))/sqrt(a3^2+b3^2);

pgA:=(x,y)->(b1*(x-xA)-a1*(y-yA))/sqrt(a1^2+b1^2)=(-else (-b3*(x-xA)+a3*(y-yA))/sqrt(a3^2+b3^2);

pgA:=(x,y)->(b1*(x-xA)-a1*(y-yA))/sqrt(a1^2+b1^2)=-fi;

if((-a2*a1-b2*b1)<0) then

b1*(x-xB)+a1*(y-yB))/sqrt(a1^2+b1^2);

pgB:=(x,y)->(b2*(x-xB)-a2*(y-yB))/sqrt(a2^2+b2^2)=(-else (-b1*(x-xB)+a1*(y-yB))/sqrt(a1^2+b1^2);