BÀI tập TOÁN NÂNG CAO lớp 8

  Chuyªn ®Ò 1: phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc D¹ng tæng qu¸t: PhÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc,®a thøc víi da thøc: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D Các bài toán vận dụng: Bài toán 1: Cho biểu thức: M = + - a) Bằng cách đặt = , = , hãy rút gọn biểu thức M theo và b) Tính giá trị của biểu thức M. Giải: a) M = == b) M = == Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức: A= ++ với x= 4 Giải: Cách 1. Thay = , ta có A = 4 -5.4 +5.4 -5.4 +5.4-1 = 4 -(4+1).4 +(4+1).4 -(4+1)4 + (4+1).4-1 = 4-1 = 3 Cách 2: Thay 5 bởi + , ta có: A = ++++++ = ++ + + = = 3. Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thờng thay chữ bằng số.Nhng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ. Bài toán 3: Chứng minh hằng đẳng thức ++=++ biết rằng ++= Giải: Biến đổi vế trái ta đợc: +++++=+++++ Thay ++ bởi đợc vế trái bằng +++ , bằng vế phải. bài tập: Bài tập 1: Rút gọn bểu thức [ ] }{ + Với +=++= . Bài tập 2: a)Chứng minh rằng ++ chia hết cho 7 b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp Bài tập 3: Tính + Bài tập 4: Chứng minh hằng đẳng thức: ( ++=++++ Bài tập 5: Rút gọn biểu thức +++ biểu rằng ==++=++ Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: +++++=++ Mở rộng: +++++++=++ Tổng quát: +=+=+ Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x-y ; b) x +y ; c)x +y . Giải a)(x-y) =x -2xy+y =x +2xy+y -4xy=(x+y) -4xy=9 - 4.14=25=5 suy ra x-y = 5 b) (x+y) =x +y +2xy suy ra x +y =(x+y) -2xy = 9 -2.14 = 53 c) (x+y) = x +y +3x y+3xy = x +y +3xy(x+y) suy ra x +y =(x+y) -3xy(x+y) =9 -3.14.9 = 351 Nhận xét: 1. Hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngợc lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phơng bằng nhau. ( A B) = ( B A ) 2. Để tiện sử dụng ta còn viết: ( A + B) = A + B + 3AB(A+B) ( A B) = A - B - 3AB(A-B ) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x + 3y 5) - 6xy + 26 Giải : A = x + 9y + 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26 = ( x - 10x + 25) + ( 9y - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5) + ( 3y-5) + 1 Vì (x-5) 0 (dấu = xảy ra x=5 ); (3y-5) 0 (dấu = xảy ra y= ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y = ). Ta viết min A = 1. Nhận xét : 1. Các hằng đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc nhau. Chẳng hạn: (A B ) = A - 2AB + B hoặc ngợc lại 2. Bình phơng của mọi số đều không âm : ( A B ) 0 (dấu = xảy ra A = B). Ví dụ 4: Cho đa thức 2x - 5x +3.Viết đa thức trên dới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1. Giải: thay x bởi y-1, ta đợc : 1x - 5x +3 = 2( y 1) - 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y - 2y + 1) 5y + 3 + 5 = 2y - 9y + 10 Ví dụ 5: Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1) B = 2 . Giải: Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc : A = (2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a - b nhiều lần, ta đợc: A = 2 -1. Vậy A < B. Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức : A = (a + b + c) + (a - b c) -6a(b + c) . Giải : A = [a + (b + c)] + [a (b + c)] - 6a(b + c ) = a + 3a (b + c) + 3a(b + c) + (b + c) + a -3a (b + c) + + a - 3a (b + c) + 3a(b + c) - (b + c) - 6a(b + c) = 2a Bài tập vận dụng: A Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: a) 127 +146.127 + 73 ; b) 9 .2 - (18 - 1)(18 + 1) ; c) 100 - 99 + 98 - + 2 - 1 d) (20 +18 + +4 +2 ) (19 +17 + +3 +1 ) ; e) ++ Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí : a) A = ; b) B = 263 + 74.263 + 37 ; C = 136 -92.136 + 46 ; c) D = (50 + 48 + +2 ) (49 +47 + +3 + 1 ) Bài 8 : Cho a + b + c = ab + bc + ca . Chng minh rằng a = b = c . Bài 9 : Tìm x và tìm n N biết x + 2x + 4 - 2 + +2 = 0. B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) : Bài 10 : Rút gọn các biểu thức : a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x 2 -x+1) ; b) 3x 2 (x+1)(x-1) (x 2 -1)(x 4 +x 2 +1)+(x 2 -1) 3 ; c) (a+b+c) 3 +((a-b-c) 3 +(b-c-a) 3 +(c-a-b) 3 ; Bài 11 : Tìm x biết : 6(x+1) 2 -2(x+1) 3 +2(x-1)(x 2 +x+1) = 0 Bài 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3(a+b)(b+c)(c+a). Bài 13 : Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng : a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3(ab cd)(c +d) . Bài 14 : Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a 3 +b 3 ) 3(a 2 +b 2 ) . Tiết 9-10-11-12 Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân *) Khái niệm chung về tứ giác: +) Định nghĩa : D C B A M C A B a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng thẳng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh. Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau). Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác. b) ABCD là tứ giác lồi ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm. Trong hình, ABCD là tứ giác lồi 3. Định lí: Tổng các gọc trong tứ giác bằng 360 0 . *) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi: Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau. Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác lồi. ABCD lồi ABCD có hai đờng chéo cắt nhau. Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây: (I) Tia Oz nằm trong gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M Oz, N Oy (II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy. (III) Cho tam giác ABC a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao? b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM là tứ giác lồi? c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. Giải a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a) b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC. Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trờng hợp : - M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm). j M' M B C A M N C A B o C D A B - M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M nằm trong góc A. Do đó AM là tia trong của góc A, mà A và M nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên đoạn Am cắt đoạn thẳng BC và ABMC là tứ giác lồi. Tóm lại, trong h .2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC là tứ giác lõm. Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các đỉnh của tứ giác lồi. c) Đờng thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đờng thẳng MN không cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc MAC). H .2a các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo. *) Nhận xét : Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba. Giải Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) 1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta có : AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức trong BCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức trong BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). O C D A B Q F P D C B A Trong tam giác ABO và CDO, ta có : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Cộng (1) và (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tơng tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) và (4) ta đợc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (đpcm) *) Nhận xét: 1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề : Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đờng chéo. 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn đúng không ? vì sao? Ví dụ 2: Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chứng minh rằng : AB < AC. Giải Gọi giao điểm của AC và BD là O Trong tam giác AOB, ta có : AB < AO + OB (1) Trong tam giác COD, ta có : CD < CO + OD (2) Từ (1) và (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo giả thiết : AB + BD AC + CD (4) Từ (3) và (4) suy ra AB < AC. (đpcm) Ví dụ 3 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng : PQ + Gợi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí về đờng trung bình trong tam giác. Giải GT Tứ giác ABCD PA = PD, QB = QC KL PQ + Cm: Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm F của AC. Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, do đó : PF = Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình. do đó : QF = Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có: PQ < PF + QF = + Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có : PQ = PF + QF = + Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có : PQ + . ( đpcm) Nhận xét : Có thể thấy ngay rằng : P, Q, F thẳng hàng AB//CD. Do đó ta chứng minh đợc rằng : PQ + . Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD. Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lí: (1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ = + (2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ + và PQ < + Các bài tập : Bài tập 1: Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E. Bài tập 2: Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh của một tứ giác lồi. Bài tập 3: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc tù. Bài tập 4: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của D C B A D C B A D C B A D E O K L B C A hai góc CED và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD. *) hình thang hình thang cân: Hình thang: -) Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song. AB//CD ABCD là hình thang hoặc (AB//CD,AD//BC) AD//BC Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình 2. Định lí (về đờng trung bình) AB//CD PQ//AB và PQ = + hình thang cân 1. Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. 2. Tính chất: Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Hình thang ABCD (AB//CD) : BC= AD Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau. Hình thang ABCD(AB//CD) : AC = BD Định lí 3 :(đảo của định lí 2) Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang đó có một trong các tính chất sau : 1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa). 2) Hai đờng chéo bằng nhau. Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng : BC < EK. Giải : Lấy trên AB một điểm L sao cho AL = AK Lấy trên AC một điểm D sao cho AD = AE Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau. [...]... chia hết cho 8 với mọi số n lẻ Giải : Đặt n = 2k + 1, ta có : n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5 = (4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8( k + 1) +2 Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2 không chia hết cho 8 Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8 Bài tập : Chứng minh... Phõn tớch a thc f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thnh nhõn t Hng dn Cac c ca 18 l 1, 2, 3, 6, 9, 18 f(1) = 18, f(1) = 44, nờn 1 khụng phi l nghim ca f(x)  18 18 18 18 , , , khụng l s nguyờn nờn 3, 6, 3 1 6 1 9 1 18 1 9, 18 khụng l nghim ca f(x) Ch cũn 2 v 3 Kim tra ta thy 3 l nghim ca f(x) Do ú, ta tach cac hng t nh sau : f(x) = 4x 3 12x 2 x 2 + 3x + 6x 18 = 4x 2 (x 3) x(x 3) + 6(x 3) =... đối nhau Bài tập 4 : Phân tích thành nhân tử : a) x5+x + 1 b) x7+ x2+ 1 Bài tập 5 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = (a-b)3 + (b-c)3+ (c-a)3 b) B = (a+ b -2c)3 + (b + c -2a)3 + (c + a 2b)3 Bài tập 6 : Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa thức bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1: A = 3x4 + 11x3 7x2 2x + 1 Bài tập 7 :... x y nên x +10y = 0 hay x = 10y Bài tập 1: C- các bài tập vận dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 5x(x -2y) + 2(2y x)2 ; b) 7x(y -4)2 (4 y)3 ; c) (x2 +4y2 -5)2 16(x2 y2 +2xy +1) d) x4 -25x2+20x -4; e) (a+b+c)2+(a-b+c)2- 4b2 f) a5 + b5 (a+b)5 Bài tập 2: Chứng minh rằng: a) 432 + 43 17 60 b) 2110 - 1 200 c) 20052007 + 20072005 2006 d) 495 49 100 Bài tập 3: Cho x2y-y2x + x2z z2x+ y2z+z2y... cạnh bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân Các bài tập vận dụnG Bài tập 5: Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân giác của góc DAB Chứng minh rằng ABCD là hình thang Bài tập 6 : Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên kia Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB Gọi E, F... rằng nếu E F = Bài tập 8: CD AB 2 thì tứ giác ABCD là hình thang Cho tam giác ABC trong đó AB > AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân Bài tập 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB +AC Chứng minh rằng : BC < EK Tiết 13 => 18 Chuyên đề... cỏc phng phỏp c bn Vớ d 16 Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 1 28 Li gii x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 1 28 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 1 28 t x2 + 10x + 12 = y, a thc a cho cú dng : (y 12)(y + 12) + 1 28 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8) (x2 + 10x + 8) Nhõn xet: Nh phng phap i bin ta a a a thc bc 4 i vi x thnh a thc bc 2 i vi y Vớ d 17 Phõn... 4x4 + 1 ; 324 b) 4x4 + y4 ; 15 a) x5 + x4 + 1 ; x8 + x7 + 1 ; d) x5 x4 1 ; x8 + x4 + 1 b) x5 + x + 1 ; c) e) x7 + x5 + 1 ; g) 16 a) a6 + a4 + a2b2 + b4 b6 ; b) x3 + 3xy + y3 1 17 Dung phng phap h s bt nh : c) x4 + a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; 14x2 7x + 1 ; b) x4 7x3 + c) x4 8x + 63 ; + x + 1)2 d) (x + 1)4 + (x2 18 a) x8 + 14x4 + 1 ; b) x8 + 98x4 + 1 19 Dung phng phap xột gia tr riờng : M =... chia hết cho 2 Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3) M = 8 4.2 Theo a) thì n(n + 1)(n + 2)(n +3) M 3 mà (3, 8) = 1 nên A(n) M = 24 3 .8 2) Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số : A(n) = B(n) C(n) và tìm cách chứng minh B(n) M p và C(n) M q suy ra B(n).C(n) Mp q Bài tập : Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 Trong trờng hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia... a) x2 6x + 8 ; b) 9x2 + 6x -8 ; Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành bình phơng của một nhị thức Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử a) Cách 1 x2 -6x + 8 = x2 2x 4x + 8 = x(x 2) 4(x 2) = (x 2) (x- 4) Cách 2 x2 6x + 8 = x2 6x + 9 1 = (x -3)2- 1 = (x 2)(x 4) Cách 3 x2 6x +8 = x2 - 4 - . chữ. Bài toán 3: Chứng minh hằng đẳng thức ++=++ biết rằng ++= Giải: Biến đổi vế trái ta đợc: +++++=+++++ Thay ++ bởi đợc vế trái bằng +++ , bằng vế phải. bài tập: Bài tập 1:. +=++= . Bài tập 2: a)Chứng minh rằng ++ chia hết cho 7 b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp Bài tập 3: Tính + Bài tập 4: Chứng. c) = 2a Bài tập vận dụng: A Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: a) 127 +146.127 + 73 ; b) 9 .2 - ( 18 - 1)( 18 + 1) ; c) 100 - 99 + 98 - +