Chẳng hạn: Hãy chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất 2 số có chữ số tận cùng giống nhau.. GIẢI: Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào
Trang 1Giải các bài toán ứng dụng Nguyên lý Dirichlet
I.-Giới thiệu:
Nguyên lý Đirichlê (Dirichlet) còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng "
hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc nguyên tắc lổ chuồng câu"
Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản và dễ hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán Nhiều khi có những bài toán, người ta đã dùng rất nhiều
phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lý
Đirichlê mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết Thí dụ một bài trong đề thi vào
trường ĐHSP Vinh có năm ra bài như sau:
…Có tồn tại hay không số có dạng:
20022002 20022002 chia hết cho 2003 ?
Tuy nhiên, có những bài toán có vẻ hiển nhiên là thế Song trong toán học phải chứng minh Chẳng hạn: Hãy chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất 2 số có chữ số tận cùng giống nhau
Nguyên lý Dỉichlet ứng dụng rất đa dạng, từ số học, topo, logic học… đều có những bài toán hay Xin giới thiệu một loạt bài toán sau
II Các bài toán mẫu, ứng dụng nguyên lí Dirichlet :
A.-Các bài toán số học:
1 Toán suy luận logic :
* Bài 1:
Đề 1 : Có 10 đội bóng thi đấu với nhau trong một giải, mỗi đội phải đấu một
trận với các đội khác CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như
nhau
GIẢI: Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận Như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9 Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau (Đội chưa đấu trận nào, số trận = 0)
* Bài 2:
Đề 2 : Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác) CMR vào bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào
GIẢI: Giả sử 6 đội bóng đó là A,B,C,D,E,F Xét đội A
Trang 2Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác Không mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với B,C,D
Nếu B,C,D từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh
Nếu B,C,D có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội A,B,C từng cặp đã đấu với nhau
Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào
* Bài 3:
Đề 3 : CMR trong n người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau
(kể cả trường hợp quen 0 người)
GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm
* Bài 4:
Đề 4 : Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10 CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10)
GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9) Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá 5.8=40 học sinh, ít hơn 43 học sinh Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau
2 Ứng dung trong bài toán chia hết:
Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt Phép chia có hàng loạt các tính chất mà các phép còn lại không có
Chẳng hạn, các phép toán cộng , trừ , nhân đều thực hiện với số 0 còn phép chia thì không thể Vì những lí do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn 1 lý thuyết về phép chia
Những ví dụ sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý Dirchlet
* Bài 5:
Đề : CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007
GIẢI: Xét 2008 số có dạng 1,11, ,11 11 Theo nguyên tắc Đirichlê thì tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2007 Giả sử hai số đó là:
A={11 1}_{n} và B={11 1}_{k} với k<n
Khi đó A – B ={11 1}_{n-k}.10^k chia hết cho 2007
Do (2007, 10^k)=1 nên C={11 1}_{n-k} chia hết cho 2007
* Bài 6:
ĐỀ : CMR trong n+1 số bất kì thuộc tập hợp \{1,2,3, ,2n\} luôn chọn được hai
số mà số này là bội của số kia
GIẢI: Viết n+1 số đã cho dưới dạng:
a_1=2^{k_1}b_1, a_2=2^{k_2}b_2, , a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}
Trong đó b_1,b_2, ,b_{n+1} là các số lẻ Ta có: 1<= b_1, b_2, ,b_{n+1}<=
Trang 32n-1 Mặt khác trong khoảng từ 1 đến 2n-1 có đúng n số lẻ nên tồn tại hai số m<= n sao cho b_n=b_m Khi đó, trong hai số a_n và a_m có một số là bội của số kia
* Bài 7:
Cho 5 số nguyên phân biệt a_i (i=1,2,3,4,5) Xét tích:
P=(a_1-a_2)(a_1-a_3)(a_1-a_4)(a_1-a_5)(a_2-a_3)(a_2-a_4)(a_2-a_5)(a_3-a_4) (a_3-a_5)(a_4-a_5) CMR P chia hết cho 288
GIẢI: Biết 288=3^2.2^5 → Cần chứng minh P chia hết cho 3² 2^5
Bước 1 : -Chứng minh P chia hết cho 9
Xét 4 số a_1,a_2,a_3,a_4 tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 Giả sử a_1 đồng dư a_2 (mod 3) thì a_1 – a_2 chia hết cho 3
Xét a_2,a_3,a_4,a_5 trong 4 số này lại tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 Suy ra P chia hết cho 9.
Bước 2 : -Chứng minh P chia hết cho 2^5
Trong 5 số đã cho có 3 số cùng tính chẵn lẻ
-Nếu có 4 số chẵn, chẳng hạn a_1=2k_1, a_2=2k_2, a_3=2k_3, a_4=2k_4 thì : P=32(k_1-k_2)(k_1-k_3)(k_1-k_4)(a_1-a_5)(k_2-k_4)(k_2-k_3)(a_2-a_5)(a_3-a_4)(a_3-a_5)(a_4-a_5) chia hết cho 32
-Nếu có 3 số chẵn, 2 số lẻ thì đặt:
a_1=2k_1, a_2=2k_2, a_3=2k_3, a_4=2k_4+1, a_5=2k_5+1
Ta có P=16(k_1-k_2)(k_1-k_3)(k_2-k_3).M
Trong 3 số k_1,k_2,k_3 có 2 số cùng tính chẵn lẻ Giả sử k_1 đồng dư k_1 (mod 2) thì k_1-k_2 chia hết cho 2 nên P chia hết cho 32
-Nếu có 3 số lẻ là a_1,a_2,a_3 còn a_4,a_5 chẵn thì đặt a_1=2k_1+1, a_2=2k_2+1, a_3=2k_3+1, a_4=2k_4, a_5=2k_5
Tiếp theo : Xét tương tự cũng có P chia hết cho 32
Vậy ta có P chia hết cho 288.
3 Ứng dung trong Toán về tổng, hiệu, chữ số tận cùng các loại:
* Bài 8:
Đề : Cho 51 số nguyên dương khác nhau có 1 chữ số và có 2 chữ số CMR ta có thể chọn ra 6 số nào đó mà bất cứ 2 số nào trong số đã lấy ra ấy không có chữ số hàng đơn vị giống nhau cũng không có chữ số hàng chục giống nhau
GIẢI:
Vì có 51 số nên tìm được 6 chục sao cho một nhóm có không ít hơn 6 số rơi vào một trong các số chục đó, một nhóm có không ít hơn 5 số rơi vào chục khác Cuối cùng có ít nhất một trong các số đã cho rơi vào một chục nào đó (như vậy số các chục khác nhau không ít hơn 6) về các số đã cho là khác nhau (chú ý các số dạng xét nhiều nhất có 2 chữ số ) do đó ở nhóm cuối cùng ta lấy một số , sau đó nhóm
Trang 4trước đó (vì có ít nhất 2 chữ số hàng đơn vị của hai số trong nhóm ấy khác nhau) ta lấy một số khác với chữ số hàng đơn vị khác số chọn trước, rồi nhóm trước đó lại lấy 1 số có chữ số hàng đơn vị khác 2 số chọn trước Cuối cùng sẽ được 6 số phải tìm với các chữ số khác nhau
* Bài 9:
ĐỀ: Chọn bất kì n+1 số trong 2n số tự nhiên từ 1 đến 2n (n≥2) CMR trong các số được chọn có ít nhất 1 số bằng tổng của 2 số được chọn (kể cả các trường hợp 2 số hạng của tổng bằng nhau )
GIẢI:
Giả sử a_1<a_2< <a_n<a_{n+1} là n+1 số được chọn
Xét n số: a_{n+1}-a_1=b_1
a_{n+1}-a_2=b_2
(mỗi hiệu đều nhỏ hơn 2n)
a_{n+1}-a_n=b_n
Trong tập 2n+1 số đó là a_1,a_2, ,a_{n+1}, b_1,b_2, ,b_n tồn tại 2 số bằng nhau, hai số ấy không thể cùng thuộc dãy a_1,a_2, ,a_{n+1} cũng không thể cùng thuộc dãy b_1,b_2, ,b_n Ta có:
a_{n+1}-a_1=a_i suy ra a_{n+1}=a_1+a_i (đpcm)
B Các bài toán hình học: (Các điểm & đường thẳng)
* Bài 10:
Đề: Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 CMR trong số 13 đường thẳng đó, có
ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm
GIẢI: Gọi d là đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 Đường thẳng d không thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vuông vì khi
đó không tạo thành hai tứ giác Giả sử d cắt hai cạnh AB và CD tại M và N, khi đó
nó cắt đường trung bình EF tại Ị
Giả sử S_{AMND}=\frac{2}{3}S_{BMNC} thì EI=\frac{2}{3}IF
Như vậy mỗi đường thẳng đã cho chia các đường trung bình của hình vuông theo tỉ
số 2:3 Có 4 điểm chia các đường trung bình của hình vuông ABCD theo tỉ số 2:3
Có 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong 4 điểm Vậy theo nguyên lý Đirichlê có ít nhất 4 đường thẳng đi qua một điểm
* Bài 11:
Đề : Bên trong tam giác đều ABC có cạnh = 1 đ/v đặt 5 điểm CMR tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 0,5 đ/v
GIẢI: Các đường trung bình của tam giác đều ABC cạnh 1 đ/v sẽ chia nó ra làm
Trang 54 tam giác đều với cạnh = 0,5 đ/v Do đó trong một tam giác nhỏ đó có ít nhất 2 điểm đã cho, và các điểm đó không thể rơi vào các đỉnh của tam giác Vậy khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 0,5 đ/v
C.-Các bài toán về tô màu
* Bài 12:
Đề: Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng kẻ lưới ô vuông (Như vở học sinh lớp 1,
giấy ô vẽ bản đồ…) được tô bằng một trong 2 màu đỏ hoặc xanh
Chứng minh tồn tại 1 hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu
Giải : Giả sử ta có một lưới ô vuông tạo bởi 3 đường nằm ngang và 9 đường
thẳng đứng , mỗi nút lưới được tô bởi một màu xanh hoặc đỏ
Xét 3 nút lưới của một đường dọc , mỗi nút có hai cách tô màu nên mỗi bộ ba nút trên đường dọc ấy có 2.2.2=8 cách tô màu
Có 9 đường dọc, mỗi đường có 8 cách tô màu nên tồn tại hai đường có cách tô màu như nhau
Chẳng hạn hai bộ ba điểm đó là A_1, A_2, A_3 và B_1, B_2, B_3
Vì 3 điểm A_1, A_2, A_3 chỉ được tô bởi hai màu nên tồn tại hai điểm cùng màu , chẳng hạn A_1 và A_2, khi đó hình chữ nhật A_1A_2B_2B_1 có 4 đỉnh cùng một màu
* Bài 13:
Đề : Giả sử 1 bàn cờ hình chữ nhật có 3 x 7 ô vuông được sơn đen hoặc trắng
Chứng minh rằng với cách sơn màu bất kì ,trong bàn cờ luôn tồn tại hình chữ nhật gồm các ô ở 4 góc là các ô cùng màu
Giải:
Mẫu sơn màu có thể xảy ra với bàn cờ này có dạng từ 1 đến 8 Giả sử một trong số các cột thuộc dạng 1.Bài toán sẽ được chứng minh nếu tất cả các cột còn lại thuộc dạng 1,2,3 hoặc 4 Giả sử tất cả các cột còn lại thuộc dạng 5,6,7,8 Khi đó theo nguyên lí Dirichlet 2 trong số 6 cột có 2 cột cùng 1 dạng và như vậy bài toán cũng được chứng minh
Chứng minh hoàn toàn tương tự nếu 1 cột có dang 8 Giả sử không có cột nào trong các cột 1,8 thì theo nguyên lí Dirichlet cũng có 2 cột cùng dạng và bài toán cũng đựoc chứng minh
Trang 6III.- Bài tập thực hành ứng dụng nguyên lí Dirichlet
1/ Toán suy luận:
Bài 14: Trong lớp học có 30 học sinh Khi viết chính tả em A phạm 14 lỗi, các em
khác phạm ít lỗi hơn CMR có ít nhất là 3 học sinh đã mắc số lỗi bằng nhau(kể cả những người mắc 0 lỗi )
Bài 15: Cho 5 người tùy ý CMR trong số đó có ít nhất 2 người có số người quen
như nhau trong số 5 người đã chọn (hiểu rằng A quen B thì B quen A)
Bài 16: Trong 1 giải bóng đá có 10 đội tham gia, bất cứ hai đội nào trong số đó
cũng phải đấu với nhau 1 trận CMR tại bất cứ thời điểm nào cũng có 2 đội đã đấu được cùng số trận
2./.Sự chia hết:
Bài 17: CMR trong 100 số tùy ý thì có ít nhất 10 số đôi một có hiệu chia hết cho
11
Bài 18: CMR nếu (n,19)=1 thì luôn luôn tồn tại một số tự nhiên k khác 0 sao cho
(n^k-1) \vdots 19
Bài 6: CMR luôn tồn tại một số gồm toàn chữ số 7 chia hết cho 2121992
Bài 19: Cho 20 số tự nhiên khác nhau a_1, a_2, ,a_{20} không vượt quá 70
CMR giữa các hiệu a_i-a_k (i>k) luôn tìm được ít nhất 4 hiệu bằng nhau
3./ Các vấn đề khác:
Bài 20: CMR tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho trong dạng thập phân của S^n có
ít nhất 2000 chữ số 0 đứng kề nhau
Bài 21: Trong 2n số từ 1 đến 2n (n\geq 2) có thể lấy bao nhiêu số để tổng của hai
số đã chọn (có thể bằng nhau ) không bằng số nào trong các số được chọn
Bài 22: Số các học viên của một lớp học ít nhất là bao nhiêu để có ít nhất 2 học
viên có số điểm như nhau trong kỳ thi môn Toán , nếu dự định thang điểm là 0-10
và chênh lệch 0,5 điểm/ bài?
Bài 23Chứng mình rằng nếu chọn 151 giáo trình máy tính phân bịêt được đánh số
thứ tự từ 1 đến 300 thì có ít nhất 2 giáo trình có số thứ tự liên tiếp?
4./ Đánh giá các điểm, đường thẳng:
Bài 24: Trong hình chữ nhật 3.4 đặt 6 điểm.CMR trong các điểm này tìm được 2
điểm mà khoảng cách trong chúng không lớn hơn \sqrt{5}
Bài 25: Tô màu đỏ các cung của một đường tròn một cách tùy ý, biết rằng tổng độ
Trang 7dài các cung bị tô nhỏ hơn nửa chu vi đường tròn.
a, CMR luôn vẽ được 1 đường kính mà cả 2 đầu không bị tô màu
b, CMR luôn tồn tại 1 dây cung của đường tròn có độ dài cho trước bé hơn đường kính mà 2 đầu của nó không bị tô
5./ Góc và độ dài:
Bài 26: Bên trong đường tròn bán kính n đặt 4n đoạn thẳng có độ dài 1.CMR có
thể kẻ một đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng 1 cho trước và cắt ít nhất 2 đoạn thẳng đã cho
Bài 27: Bên trong hình vuông cạnh 10 đ/v đặt một số đường tròn có chu vi bằng
1,6 đ/v CMR luôn tìm được 1 đường thẳng cắt ít nhất 4 trong số các đường tròn đã cho
Bài 28 : Cho hình vuông ABCD có AB=14cm Trong hình vuông có đánh dấu 76
điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2cm chứa trong nó ít nhất 4 điểm trong số các điểm trên