ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO ĐẠI HỌC TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG

ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO ĐẠI HỌC TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG đây là bộ đề do mình kết hợp với các thầy cô trong trường thpt chuyên vinh biên soạn ,hy vọng sẽ giúp các bạn củng cố được kiến thức của mình và hoàn thành tốt trong kỳ thi sắp tới

TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 TT 17 QUANG TRUNG TPCT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2015-2016 Môn: TOÁN; Khối A, B, A1. ĐỀ THI LẦN 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1 x y x = − (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời ba điểm O,A,B tạo thành tam giác vuông tại O. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 (2sin 1)(3cos 4 2sin ) 4cos 1 8 1 sin x x x x x + + + + = + , ( ) Rx ∈ 2. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 2 2 1 4 0 2 2 0 x y x y y x x y x  + + + − =   + − + − =   ( ) Ryx ∈, Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: 3 2 0 sin ( ) 1 cos x x I dx x π − = + ∫ Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . ,E F lần lượt là trung điểm của AB và BC , H là giao điểm của AF và DE . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( )ABCD bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SH , DF . Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực ]2;1[,, ∈cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 4( ) a b ab P c ab bc ca + + = + + + II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD . Điểm (2;3)E thuộc đoạn thẳng BD , các điểm ( 2;3)H − và (2;4)K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ các đỉnh , , ,A B C D của hình vuông ABCD . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 4 20 0S x y z y z+ + − + − = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm (1; 2;3)M − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4 2014 0x y z β + + + = . Đồng thời ( ) α cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng 16 π . Câu VII.a (1,0 điểm). Trong khai triển nhị thức: ( ) 3 15 n − có bao nhiêu số hạng hữu tỉ ,biết n là số tự nhiên thỏa mãn : 2 3 1 121 0 2 n n C A n + − = B. Theo chương trình nâng cao Câu V.b.(2,0 điểm). 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Parabol 2 ( ) : 4 3P y x x= − + và đường thẳng d có phương trình 5 0x y− + = . Tính diện tích của hình vuông ABCD biết ,A B thuộc đường thẳng d và ,C D thuộc Parabol ( )P . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với (1;2;1)A , (2;4;2)B , (3;0;5)C . Viết phương trình tham số của đường phân giác trong AD của góc BAC∠ của tam giác ABC . ( D thuộc BC ) Câu VII.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 2 1 3 3 2.3 3 log (1 ) 1 x y x y xy − +  = +  + =  ( ) Rx ∈ TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 ………………….HẾT……………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Câu Đáp án Thang điểm Câu I.1 a) Tập xác định : { } 1\RD = b) Sự biến thiên: * Tiệm cận : +) Vì 1 1 2 2 lim , lim 1 1 x x x x x x − + → → = −∞ = +∞ − − nên đường thẳng 1x = là tiệm cận đứng. +) Vì 2 2 lim 2 , lim 2 1 1 x x x x x x →−∞ →+∞ = = − − nên đường thẳng 2y = là tiệm cận ngang. 0.25 *Chiều biến thiên: +) Ta có : ( ) 2 2 0, 1 1 y x x − ′ = < ∀ ≠ − 0.25 +) Bảng biến thiên + Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 −∞ và ( ) 1; +∞ . 0.25 c) Đồ thị *Vẽ đồ thị: * Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 1;2I làm tâm đối xứng. 0.25 Gọi 2 ; 1 a A a a    ÷ −   và 2 ; 1 b B b b    ÷ −   (Với , 0; , 1;a b a b a b≠ ≠ ≠ ) thuộc đồ thị (C). Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là: ( ) 1 2 2 1 k a = − − và ( ) 2 2 2 1 k b = − − Do các đường tiếp tuyến song song nên: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1a b − = − − − 2a b ⇔ + = 0.25 Mặt khác, ta có: 2 ; 1 a OA a a   =  ÷ −   uuur ; 2 ; 1 b OB b b   =  ÷ −   uuur . Do OAB là tam giác vuông tại O nên ( ) ( ) 4 . 0 0 1 1 ab OAOB ab a b = ⇔ + = − − uuur uuur 0.25 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 Ta có hệ ( ) ( ) 2 4 0 1 1 a b ab ab a b + =    + =  − −  . Giải hệ ta được 1 3 a b = −   =  hoặc 3 1 a b =   = −  0.25 Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là ( ) 1;1− và ( ) 3;3 0.25 câuII.1 ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4cos 1 8 1 sin x x x x x + + + + = + ( ) 1 Đk: 1 sin 0 2 , 2 x x l l π π − + ≠ ⇔ ≠ + ∈ ¢ ( ) * PT ( ) 1 ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4cos 1 8 8sinx x x x x ⇔ + + + + = + ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4sin 8sin 3x x x x x ⇔ + + = + + 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2sin 1 3cos 4 2sin 2sin 1 2sin 3x x x x x ⇔ + + = + + 2sin 1 0 cos4 1 x x + =  ⇔  =  0.25 • Với 2sin 1 0x + = 2 6 7 2 6 x k x k π π π π  = − +  ⇔   = +   • Với cos4 1 2 k x x π = ⇔ = 0.25 Kết hợp với điều kiện ( ) * PT ( ) 1 có các nghiệm 2 6 3 x k π π = − + x k π = , ZK ∈ 0.25 II.2 Ta biến đổi hệ về dạng : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 x y x y y x x y y  + + + − =   + + − =   .Nếu 0y = thì hệ vô nghiệm. Nếu 0y ≠ thì ta biến đổi hệ về dạng ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 x y x y x y x y  + + + − =    +  + − =   0.25 Đặt 2 1 ; 2 x u v y x y + = = + − . Hệ pt trở thành 2 1 1 1 u v u uv v + = =   ⇔   = =   0.25 Với 1 1 u v =   =  thì 2 2 1 1 2 2 0 5 3 2 1 x x x x y y y x y x  + = = −  + − =   ⇔ ⇒    = = −    + − =  hoặc 1 2 x y =   =  0.25 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ( ) 2;5− và ( ) 1;2 0.25 III 3 2 0 sin 1 cos x x I dx x π   − =  ÷ +   ∫ 3 2 2 0 0 sin 1 cos 1 cos x x dx dx x x π π = − + + ∫ ∫ • Tính 2 2 1 2 0 0 1 cos 2cos 2 x x I dx dx x x π π = = + ∫ ∫ 0.5 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 Đặt 2 tan 2cos 2 2 u x dx du dx x dv v x =  =     ⇒   = =      2 1 0 .tan tan 2ln cos ln 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 x x x I x dx π π π π π     ⇒ = − = + = −  ÷  ÷     ∫ • Tính 3 2 2 0 sin 1 cos x I dx x π = + ∫ ,Đặt : cos sint x dt xdx = ⇒ = − Đổi cận : x 0 2 π t 1 0 ( ) 1 2 2 0 1 1 1 0 2 2 t I t dt t   ⇒ = − = − =  ÷   ∫ Vậy 1 ln 2 2 2 I π = − − 0.5 IV Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên 2 4 ABCD S a = . ( )SH ABCD ⊥ HA ⇒ là hình chiếu vuông góc của SA trên mp ( ) ABCD · 0 60 3SAH SH AH ⇒ = ⇒ = 0.25 ( ) · · . .ABF DAE c g c BAF ADE ∆ = ∆ ⇒ = Mà: · · 0 90AED ADE+ = Nên · · 0 90BAF AED + = · 0 90AHE DE AF⇒ = ⇒ ⊥ Trong ADE ∆ có: 2 . . 5 a AH DE AD AE AH= ⇒ = Thể tích của khối chóp .S ABCD là: 3 2 1 2 3 8 15 . .4 3 15 5 a a V a= = (đvtt) 0.25 Trong mp ( ) ABCD kẻ HK DF ⊥ tại K . 0.25 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 ( ) ,d SH DF HK ⇒ = . Trong ADE ∆ có: 2 4 . 5 a DH DE DA DH= ⇒ = Có : 5DF a= Trong DHF ∆ có: 2 2 2 2 2 2 16 9 3 5 5 5 5 a a a HF DF DH a HF = − = − = ⇒ = . 12 5 25 HF HD a HK DF ⇒ = = Vậy ( ) 12 5 , 25 a d SH DF = 0.25 V. P được viết lại dưới dạng tương đương là M babacc ba abbacc ba P = ++++ + ≥ +++ + = 22 2 2 2 )()(4 )( 4)(4 )( 0.25 Do ]2;1[,, ∈cba nên 0≠+ ba , nên chia tử và mẫu của M cho 2 )( ba + ta được: 14 1 14 1 22 ++ = +       + +       + = tt ba c ba c M với ba c t + = Với ]2;1[,, ∈cba       ∈⇔ 1; 4 1 t 0.25 Xét hàm số 14 1 )( 2 ++ = tt tf trên       1; 4 1 Ta có 22 / )14( )2(2 )( ++ +− = tt t tf < 0, ∀       ∈ 1; 4 1 t )( / tf⇒ nghịch biến trên       1; 4 1 Do đó ∀ 6 1 )1()(1 =≥⇒≤ ftft Đẳng thức xảy ra khi )2;1;1();;(1 =⇔= cbat Vậy Min P 6 1 = khi )2;1;1();;( =cba VIa.1 Có: : 3 0EH y − = : 2 0EK x − = : 2 0 : 4 0 AH x AK y + =  ⇒  − =  ( ) 2;4A ⇒ − 0.25 0.25 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 Giả sử ( ) ;n a b r , ( ) 2 2 0a b + > là VTPT của đường thẳng BD . Có: · 0 45ABD = nên: 2 2 2 2 a a b a b = ⇔ = ± + • Với a b = − , chọn 1 1 : 1 0b a BD x y = − ⇒ = ⇒ − + = ( ) ( ) 2; 1 ; 3;4B D ⇒ − − ( ) ( ) 4; 4 1;1 EB ED  = − −  ⇒  =   uuur uuur E ⇒ nằm trên đoạn BD (thỏa mãn) Khi đó: ( ) 3; 1C − 0.25 • Với a b = , chọn 1 1 : 5 0b a BD x y = ⇒ = ⇒ + − = . ( ) ( ) 2;7 ; 1;4B D ⇒ − ( ) ( ) 4;4 1;1 EB ED  = −  ⇒  = −   uuur uuur 4EB ED ⇒ = uuur uuur E⇒ nằm ngoài đoạn BD (loại) Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;4 ; 2; 1 ; 3; 1 ; 3;4A B C D − − − − 0.25 VIa.2 mp ( ) β có VTPT: ( ) 1 1;1;4n = ur Giả sử ( ) ; ;n a b c= uur , ( ) 2 2 2 0a b c + + > là VTPT của mp ( ) α Ta có : ( ) 1 . 0 4 0 4n n a b c b a c= ⇔ + + = ⇔ = − + r ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 4 2 3 0a x a c y c z α ⇒ − − + + + − = 0.25 Giả sử đường tròn giao tuyến của ( ) α và mặt cầu ( ) S có bán kính là r . Ta có: 2 . 16 4r r π π = ⇒ = Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 0;1; 2I − , bán kính 5R = . ( ) ( ) 2 2 , 3d I R r α ⇒ = − = ( ) ( ) 2 2 2 3 4 5 3 4 a a c c a a c c − − + − ⇔ = + + + 0.25 2 2 32 68 0a ac c ⇔ − − = 2 34 a c a c = −  ⇔  =  • Với 2a c = − , chọn ( ) 1 2 :2 2 5 0c a x y z α = − ⇒ = ⇒ + − + = 0.25 • Với 34a c = , chọn ( ) 1 34 :34 38 113 0c a x y z α = ⇒ = ⇒ − + − = Vậy có hai mp thỏa mãn có PT: 2 2 5 0x y z + − + = 34 38 113 0x y z − + − = 0.25 VIIa. ta có : 2 3 1 121 0 2 n n C A n + − =  2 12 2 120 0 10( ) n n n n loai =  − − = ⇔  = −  Khai triển ( ) ( ) ( ) 12 12 12 12 0 3 15 ( 1) 3 15 k k k k k C − = − = − ∑ = 12 6 2 12 0 ( 1) 3 5 k k k k C = − ∑ 0.5 => số hạng tq của khai triển là T= 6 2 12 ( 1) 3 5 k k k C− 0.5 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 Do đó T là số hữu tỉ <=> { } 12,10,8,6,4,2,0 2 120 =⇔      ∈ ≤≤ k N k k Vậy trong khai triển có 7 số hạng hữu tỉ VIb1 ( ) P 2 : 4 3y x x= − + : 5 0d x y − + = , / /CD AB nên ( ) : , 5CD y x m m = + ≠ Pt hoành độ giao điểm của CD và ( ) P là: ( ) ( ) 2 5 3 0 1x x m − + − = 13 4m ∆ = + Đk: 13 4 m > − 0.25 Giả sử ( ) ;C c c m + , ( ) ;D d d m + ( ) c d≠ ,c d là nghiệm của PT ( ) 1 . Theo định lí Viet có: 5 3 c d cd m + =   = −  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ; 2 2 4 2 13 4CD d c d c CD d c c d cd m   = − − ⇒ = − = + − = +   uuur 0.25 ( ) 5 , 2 m CB d C d − = = Mặt khác: ( ) ( ) 2 5 2 13 4 2 m CD CB m − = ⇒ + = 2 26 27 0m m ⇔ − − = 1 27 m m = −  ⇔  =  (thỏa mãn) 0.25 • Với 1 18 ABCD m S= − ⇒ = • Với 27 242 ABCD m S= ⇒ = Vậy 18; 242 ABCD ABCD S S= = 0.25 VIB.2 Ta có: ( ) 1;2;1 6AB AB= ⇒ = uuur , ( ) 2; 2;4 2 6AC AC= − ⇒ = uuur 0.25 Theo tính chất đường phân giác có: 1 2 2 BD AB CD BD CD AC = = ⇒ = − uuur uuur 0.25 7 8 ; ;3 3 3 D   ⇒  ÷   1 2 : 2 1 3 x t AD y t z t = +   ⇒ = +   = +  0.5 VIIb. ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 2.3 3 1 log 1 1 2 x y x y xy − +  = +   + =   , ( ) ( ) 2 2 3PT xy ⇔ = 0.25 ( ) 2 2 1 3 2.3 3 x y x y PT − − ⇔ = + Đặt 3 x y t − = , 0t > Ta được: 2 2 2 3 2 3 0t t t t = + ⇔ − − = 1( ) 3( / ) t loai t t m = −  ⇔  =  0.25 • Với 3 3 3 1 1 x y t x y x y − = ⇒ = ⇔ − = ⇔ = + Thay vào ( ) 3 ta được: ( ) 2 1 2 2 0y y y y + = ⇔ + − = 0.25 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 1 2 y y =  ⇔  = −  Vậy hệ pt có nghiệm: ( ) ( ) 2;1 ; 1; 2 − − 0.25 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối . K . 0.25 TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 ( ) ,d SH DF HK ⇒ = . Trong ADE ∆ có: 2 4 . 5 a DH DE DA DH= ⇒ = Có : 5DF a= Trong DHF ∆ có: 2 2 2 2 2 2 16 9 3 5 5 5 5 a a a HF DF DH. TT 17 QUANG TRUNG GVBM: PHẠM QUANG HƯNG 0915.684.278 TT 17 QUANG TRUNG TPCT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2015-2016 Môn: TOÁN; Khối A, B, A1. ĐỀ THI LẦN 1 Thời gian làm bài:. = 0.25 ( ) · · . .ABF DAE c g c BAF ADE ∆ = ∆ ⇒ = Mà: · · 0 90AED ADE+ = Nên · · 0 90BAF AED + = · 0 90AHE DE AF⇒ = ⇒ ⊥ Trong ADE ∆ có: 2 . . 5 a AH DE AD AE AH= ⇒ = Thể tích của khối chóp