thgt

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -1- Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy không bằng nhau. CMR: đường thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì bằng nhau. + AB // CD:  AM NC = MB CN = MB DN  AM BM = NC ND . (1) +Mặt khác : AM DN = PM PN = MB NC .  AM BM = DN CN . (2) Từ (1)(2)  DN NC = NC ND  DN 2 = NC 2  DN = NC  MA = MB  đpcm. M O P D C A B N Bài 2: Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở O. Trên đo ạn OB và OC lấy B 1 , C 1 sao cho  AB 1 C =  AC 1 B = 90 o . CMR AB 1 = AC 1 .(bài 31)  vuông AB 1 C có: AB 1 2 = AC.AN (1)  vuông AC 1 B có: AC 1 2 = AM.AB Xét  ANB và  AMC có:  H chung  AMC =  ANB = 90 o  AMB ∽ AMC (g.g)  AN AM = AB AC .  AN. AC = AM.AB (2) Từ (1) và (2)  AB 1 2 = AC 1 2  AB 1 = AC 1  đpcm O M N A B C B1 C1 Bài 3: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của góc  xOy tại A và B. Từ A vẽ tia //OB cắt đường tròn tại C, đoạn OC cắt đường tròn tại E. Hai đường thẳng AE và OB cắt nhau tại K. CMR: OK = KB. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -2- Ta có AC// OB   C 1 =  O 1 (so le trong)  A =  C 1 = 1 2  AB (góc nt)   A 1 =  O 1 Xét  KAO và  KOE có K chung  A 1 =  O 1   KAO ∽  KOE (g.g) 1 1 2 1 E C O A K B  KA KO = KO KE  KO 2 = KA.KE (1) Mà P k / (ABC) = KB 2 = KA.KE (2) Từ (1), (2)  KO 2 = KB 2  KO = KB (đpcm) Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ 2 MC tới đường tròn, kẻ CH  AB. CMR: MB chia CH thành 2 phần bằng nhau. Ta có :  ACB = 90 O (góc nt chắn  AB )   ACN = 90 O  ACN =  C 1 +  C 2 = 90 O  N 1 +  A 1 = 90 O Mà MC = MA (tính chất tiếp tuyến)  CMN cân vì C 2 = N 1 (cùng c ộng với C 1 = 90 O ) MN = MC  MN = MA IC // MN : CI MA = IB BM IM //AM : IH MA = IB BM  CI MN = IH MA  CI = IH  đpcm 1 2 1 I N AB M C Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -3- Bài 5: Cho hình vuông ABCD, đường tròn đường kính AB và đường tròn tâm D bán kính AD cắt nhau tại điểm M ( ≠ D). CMR : đường thẳng MA đi qua trung điểm của cạnh BC. Ta có : OD MA (vì (O)  (D) = { } A,M ) Xét  AOD và  BNA có :  A =  B = 90 O (gt) AD = AB (gt)  D 1 =  A 1 (do +  O 1 = 90 O )   AOD =  BNA (g.c.g)  AO = BN = OB (AB = BC)  BN = NC  đpcm 1 1 M N O B D A C I Bài 6 : Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đó qua các trung điểm của AB và AC. Kể tiếp tuyến MK của đường tròn (O). CMR MK = MA. Gọi I, H là giao điểm của BC và đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC với đường thẳng OA. +  vuông OBA có : OB 2 = OI.OA = (OH - HA)(OH + HA) = CH 2 - HA 2  HA 2 = CH 2 - OB 2 = CH 2 - R 2 . +  vuông AHM có : MA 2 = HA 2 + MH 2 = OH 2 - R 2 + MH 2 (1) +  vuông OHM có : OH 2 + HM 2 = OM 2 (2) Từ (1)(2)  MA 2 = OM 2 - R 2 (*) +  vuông OKM có : MK 2 = OM 2 - OK 2 = OM 2 - R 2 (**) Từ (*)(**)  MA 2 = MK 2  MA = MK  đpcm. I H O K A M B C Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -4- Bài 7: Cho AB là đường kính của một đường tròn và dây CD không vuông góc với nó. Nếu từ hai đầu của đường kính ta hạ các đường vuông góc AE và BF xuống dây CD thì các đoạn thẳng CF và DE sẽ bằng nhau. Hãy CM điều đó. - Kẻ AE cắt (O)  H.Khi đó  AMB = 90 O (góc nt). -  MEFB là hcn vì:  M =  E =  F = 90 O . - Ta có:  CMB =  CAB(cùng nhìn cung  BC ). F D C M A B E  ABC =  CDA ( cùng nhìn cung  AC ). Mà  CAB +  CBA = 90 O Mặt khác  CDA +  BDF = 90 O   DBF = 90 O -  BDF (1) Ta lại có  CMB +  CMA = 90 O Từ (*)   CMA +  BDF = 90 O   CMA = 90 O -  BDF (2) Từ (1)(2)   BDF =  CME. Xét  CEM và  DFN có :  E =  F = 90 O ME = DF  CME =  DBF (cmt)   CEM =  DFB (g.c.g)  CE = DF  CF = DE (đpcm)  CAB =  BDF =  CMB (*) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -5- Bài 8: Cho 2 đường tròn (C) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A kẻ 2 đường thẳng CD và EF cắt (O) tại C và E, cắt (O’) tại D và F. Biết rằng  EAB =  DAB . CM CD = EF. A B D F C E ABDF nội tiếp   BFD =  BAD (cùng nhìn  BD ) ;  AFB =  ADB = 1 2  AB .  BDF =  ADF +  ADB =  ABF +  AFB =  BAE (góc ngoài tam giác ) =  BAD (gt). Mà  BAD =  BFD   BDF =  BFD   BFD cân tại B  BF = BD. Xét  BEF và  BCD có:  AFE =  ADB (cùng nhìn  AB ) BF = BD (cmt) EBF = CBD (vì  EBF=  EBC+  CBF =  EAC+  CBF =  FAD+  CBF =  FBD+  CBF =  CBD).   BEF =  BCD.  CD = EF  đpcm. Bài 9 : Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O 1 ) cắt nhau ở C. Vẽ đư ờng tròn (O 2 ) đi qua C tiếp xúc với đường thẳng AB ở B và cắt (O 1 ) ở M. CMR: đường thẳng AM chia đoạn BC thành 2 phần bằng nhau. 1 1 1 I B M O 1 O 1 A C Ta có : CA là tiếp tuyến của (O 1 ) tại A.   A 1 =  B 1 = 1 2  AM . (1) AB là tiếp tuyến của (O 2) tại B Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -6-   B 1 =  C 1 = 1 2  MB (2) Từ (1)(2)   CIM và  AIC có :  C 1 =  A 1  I chung   CIM ∽  AIC (g.g)  CI IA = IM IC .  IC 2 = IA.IM (*) Mà P I/ (O) = IB 2 = IM.IA (**) Từ (*)(**)  IC 2 = IB 2  IB = IC  đpcm. Bài 10: Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh và 2 đường trung tuyến của 1 tam giác. CMR tam giác đó cân. Giả sử (O,R) tiếp xúc với 2 cạnh AB, AC của ABC và trung tuyến CM và BN. Gọi I là giao của 2 trung tuyến. Xét 2 tam giác AMI và ANI có: A 1 = A 2 (t/c giao của 2 tiếp tuyến). I 1 = I 2 (t/c giao của 2 tiếp tuyến). cạnh AI chung.  AMI =  ANI (g.c.g)  AM = AN. Mà M, N là trung điểm của AB và AC  AB = AC. Vậy  ABC cân tại A  đpcm. 1 2 2 1 I N M A B C Bài 12: Cho  ABC, đường trung tuyến AM. Qua F nằm giữ B và M, vẽ đường thẳng song song với AB. Cắt AM, AC thứ tự ở D, E. Qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K. CMR: DE = BK. Ta có : BM = MC(gt) Từ M kẻ MN //AC  AN = NB (*) Mà KF//AC  MN //KF. Từ D kẻ ID//MN  ID//AE (**) Vì KF//MN  BF BM = BK BN (1) (ĐL ta - lét). Vì ID//MN  AI AN = AD AM (2) M K N I D E B C A F Vì DF//AB  BF BM = AD AM (3) ; Từ (1)(2)(3)  BK BN = AI AN  BK = AI (4) Ta lại có : ID//AE; mà IA//DE  AIDE là hbh  AI = DE. (5) Từ (4)(5)  BK = DE  đpcm Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -7- Bài 18 : Một đường thẳng cắt các cạnh song song của một hình vuông có độ dại a ; 1 đường thẳng thứ 2  với đường thẳng thứ nhất cắt cả 2 cạnh kia của hình vuông. CMR các đoạn của các đường thẳng đó, giới hạn bởi các giao điểm với các cạnh của hình vuông bằng nhau. Gọi : đường thẳng thứ 1 là d 1 d 1  AB  M ; d 1  DC  N. đường thẳng thứ 2 là d 2 . d 2  AD  P ; d 2 BC  Q. Từ M kẻ MM’  DC Từ P kẻ PP’  BC Xét  MNM’ và  PQP’ có: MM’ = PP’ = a.  MNM’ =  PQP’ (góc có cạnh tương ứng vuông góc MN  PQ(gt): NM’ QP’) d 1 d 2 Q B A D C M M' P P'   MNM’ =  PQP’ (cạnh huyền - góc nhọn)  MN = PQ (đpcm) Bài 13 : Cho tam giác ABC, trực tâm O. Trên OB lấy B’, trên OC lấy C’ sao cho  AB’C =  AC’B = 90 O . CMR AB’ = AC’, Theo hệ thức lượng trong  vuông  vuông AB’C có : AB’ 2 = AN.AC (1)  vuông AC’B có : AC’ 2 = AM.AB (2) Xét  ANB và  AMC có :  A chung  AMC =  ANB = 90 O   ANB ∽  AMC (g.g)  AN AM = AB AC  AN.AC = AM.AB (3) O N M C B A C' B' Từ (1)(2)(3)  AB’ 2 =AC’ 2  AB’ = AC’. Bài 15 : GT  ABC Q là giao của phân giác góc B và phân giác góc C. a // BC. a  AC  M a  AB  N Q  a KL MN = MC + NB N M Q A C B CM : Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -8- BQ là phân giác  B   NBQ =  QBC a//BC   NQB =  QBC (sole)  QN = NB (1) CQ là phân giác  C   MCQ =  QCB a//BC   MQC =  QCB (sole)  MC = MQ (2) Từ (1)(2)  MC + NB = MQ + NQ = MN  đpcm. Bài 16: GT  vuông ABC H.v ABDE, ACHK ở phía ngoài  ABC.  A = 90 O . HM  BC, DN  BC KL BC = HM +DN A C E B H K M D N Cm: - Kẻ đường cao AP. - Xét  HMC và  CPA ta có:  ACP +  HCM = 90 O  MHC +  HCM = 90 O HC = AC (gt) (2) Từ (1)(2)   HMC =  CPA (cạnh huyền góc nhọn)  MH = CP (*) Tương tự ta có  APB =  BND (cạnh huyền góc nhọn)  PB = DN (**) Từ (*)(**)  BC = CP + PB = MH + DN  đpcm.   QNB cân ở N   QMC cân ở M  ACP =  MHC (1) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -9- Bài 19 : Trên các cạnh AB và CB của  ABC và vẽ bên ngoài  hai hình vuông ABDE và BCKF. CMR DF = 2BP. Kéo dài BP sao cho BP = PQ AP = PC  ABQC là h.b.h  AQ = BC. Ta có  BAQ +  ABC = 180 O (t/c h.b.h)  DBF +  ABC = 360 O - (  DBA +  FBC ) = 360 O - ( 90 O + 90 O ) = 180 O   BAQ =  DBF Xét  ABQ và  BDF có : D A B C Q E F K AB = DB (gt) AQ = BF = BC  BAQ =  DBF (cmt) Vậy  ABQ =  BDF (c.g.c)  DF = BQ hay DF = 2BP (đpcm) Bài 33 : Cho 1 tứ giác nội tiếp 1 đường tròn có hai đường chéo vuông góc. CMR đường thẳng vuông góc với một cạnh và đi qua giao điểm của hai đường chéo thì đi qua trung điểm cạnh đối diện.  BIM +  MIA = 90 O  IAM +  AIM = 90 O   BIM =  IAM (1)  ABCD nội tiếp :  CAB =  CDB Từ (1)(2) suy ra :  IDN =  BIM  DIN =  BIM (đđ) N I A C D B Vậy  DIN =  NDI .Hay  DIN cân tại N : ND = NC (1) CMtt :  INC cân tại N : NI = NC (2) Từ (1)(2)  NC = ND  đpcm Bài 23 : Cho  ABC có góc  B = 20 O (  B ,  C đều nhọn) kẻ đường cao AH. Kéo dài AB về hai phía B và trên đó lấy điểm E ; BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. CMR : a. DA = DC = DH b. AE = HC Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -10- a. Vì BH = BE (gt)   BHE cân   A 1 =  E 1 Vì  E 1 +  H 1 =  B 1 (t/c góc ngoài  )   B 1 =2  E 1 =2  H 1 mà  B 1 = 2  C (gt) Mặt khác :  H 1 =  H 2 (đđ)   H 2 =  C   HDC cân tại D.  HD = DC (1) 3 2 2 1 1 1 1 1 A B C E H D F Trong  vuông AHC có :  HAC = 90 O -  C . Vì AH  AC   H 3 = 90 O -  H 2 mà  H 2 =  C .   HAC =  H 3   AHD cân ở D  AD = HD (2) Từ (1)(2)  HD = DC = AD (đpcm) c. Lấy F  HC sao cho : BH = HF Trong  ABF có : AH  BF (gt) BH = HF (cách dựng)   BAF vuông cân ở A  AB = AF và  B 1 =  F 1 . Ta có :  A 1 +  C =  F 1 =  B 1  2C =  B 1 (gt)   A 1 =  C  AF = FC  AB = FC Lại có AE = AB + BE = AB + BH = FC + HF = HC  đpcm. Bài 24 : Ở nửa ngoài của  ABC vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi H, K, L là các trung điểm của BE, BC, CF. CMR : a.  HKL vuông cân. b. Có nhận xét gì về điểm thứ tư của hình vuông có 3 điểm là H, K, L. a. Thực hiện phép quay tâm A với góc quay 90 O ta có : Q 90 A : C  G E  B  Q 90 A : CE  GB  CE = GB CE  GB L K H F G E D A B C P