http://math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN http://math.vn Đề thi số: 13 THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x 1 −x và điểm A(−1; 1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2 Tìm m để đường thẳng y = mx −m −1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II. (2 điểm) 1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 1 −2 √ 1 −x 2 + 1 −2 1 −y 2 = m x 2 + y 2 + x − 1 −y 2 = 1 2 Giải phương trình √ 3 sin2x(1 + 2 cosx) + cos 3x 1 + 2 cosx + cos 2x = 1. Câu III. (1 điểm) Tính tích phân: I = 0 −ln 3 x + 3 √ e x −e 3x e 3x dx. Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a .Gọi M là trung điểm của cạnh BB . Tính thể tích khối tứ diện B ACM và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C . Câu V. (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn √ a 2 + b 2 + √ b 2 + c 2 + √ c 2 + a 2 ≤ 3 √ 2 . Chứng minh rằng 1 √ 8 a + 1 + 1 √ 8 b + 1 + 1 √ 8 c + 1 ≥ 1 . PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B Phần A theo chương trình chuẩn Câu VIa. (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình x = 3 √ 3 , phương trình hai đường phân giác trong góc ABC và ACB lần lượt là x − √ 3y = 0 và x + √ 3y −6 √ 3 = 0 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ dương. 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(−1;−2; 0), C(−1; 1;−3) , mặt phẳng (P) : 2x +y −2 = 0 và đường thẳng : x −2 1 = y −3 −1 = z −4 −1 . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A có tâm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho IB vuông góc với đường thẳng và mặt cầu (S) cắt (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Câu VIIa. (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | z | = | z + 4 −3i | và biểu thức A = | z + 1 −i | + | z −2 + 3i | có giá trị nhỏ nhất. Phần B theo chương trình nâng cao Câu VIb. (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C 1 ) : (x−1) 2 +y 2 = 2 và (C 2 ) : x + 1 2 2 + y − √ 3 2 2 = 2. Gọi A là giao điểm có hoành độ dương của (C 1 ) và (C 2 ); là đường thẳng đi qua A cắt hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt tại M, N sao cho M nằm ngoài (C 2 ) và N nằm ngoài (C 1 ). Các tiếp tuyến của (C 1 ) và (C 2 ) tại M, N cắt nhau tại P . Viết phương trình đường thẳng khi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lớn nhất. 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x −1 1 = y −2 1 = z −4 1 , d 2 : x 1 = y −3 −1 = z −2 2 và điểm A(0; 1;3) . Chứng minh A, d 1 , d 2 cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC biết đường cao từ B nằm trên d 1 và đường phân giác trong góc C nằm trên d 2 . Câu VIIb. (1 điểm) Cho các số phức z 1 , z 2 thỏa mãn các điều kiện 2z 1 −i 2 + iz 1 = 1 và | z 2 −1 + i | = | z 2 −2 + 2i | . Chứng minh | z 1 −z 2 | ≥ 3 √ 2 −2 2 . . http:/ /math. vn DIỄN ĐÀN MATH. VN http:/ /math. vn Đề thi số: 13 THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y. thí sinh Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x 1 −x và điểm A(−1; 1) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2 Tìm m để đường thẳng y = mx −m −1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao. + 3 √ e x −e 3x e 3x dx. Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a .Gọi M là trung điểm của cạnh BB . Tính thể tích khối tứ diện B ACM và bán kính