Đề ôn thi Đại học số 13 của Math.VN 2011

http://math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN http://math.vn Đề thi số: 13 THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x 1 −x và điểm A(−1; 1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2 Tìm m để đường thẳng y = mx −m −1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II. (2 điểm) 1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   1 −2 √ 1 −x 2 +  1 −2  1 −y 2 = m x 2 + y 2 + x −  1 −y 2 = 1 2 Giải phương trình √ 3 sin2x(1 + 2 cosx) + cos 3x 1 + 2 cosx + cos 2x = 1. Câu III. (1 điểm) Tính tích phân: I =  0 −ln 3 x + 3 √ e x −e 3x e 3x dx. Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ đều ABC.A  B  C  có tất cả các cạnh đều bằng a .Gọi M là trung điểm của cạnh BB  . Tính thể tích khối tứ diện B  ACM và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A  B  C  . Câu V. (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn √ a 2 + b 2 + √ b 2 + c 2 + √ c 2 + a 2 ≤ 3 √ 2 . Chứng minh rằng 1 √ 8 a + 1 + 1 √ 8 b + 1 + 1 √ 8 c + 1 ≥ 1 . PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B Phần A theo chương trình chuẩn Câu VIa. (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình x = 3 √ 3 , phương trình hai đường phân giác trong góc  ABC và  ACB lần lượt là x − √ 3y = 0 và x + √ 3y −6 √ 3 = 0 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ dương. 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(−1;−2; 0), C(−1; 1;−3) , mặt phẳng (P) : 2x +y −2 = 0 và đường thẳng  : x −2 1 = y −3 −1 = z −4 −1 . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A có tâm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho IB vuông góc với đường thẳng  và mặt cầu (S) cắt (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Câu VIIa. (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: | z | = | z + 4 −3i | và biểu thức A = | z + 1 −i | + | z −2 + 3i | có giá trị nhỏ nhất. Phần B theo chương trình nâng cao Câu VIb. (2 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C 1 ) : (x−1) 2 +y 2 = 2 và (C 2 ) :  x + 1 2  2 +  y − √ 3 2  2 = 2. Gọi A là giao điểm có hoành độ dương của (C 1 ) và (C 2 );  là đường thẳng đi qua A cắt hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt tại M, N sao cho M nằm ngoài (C 2 ) và N nằm ngoài (C 1 ). Các tiếp tuyến của (C 1 ) và (C 2 ) tại M, N cắt nhau tại P . Viết phương trình đường thẳng  khi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lớn nhất. 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x −1 1 = y −2 1 = z −4 1 , d 2 : x 1 = y −3 −1 = z −2 2 và điểm A(0; 1;3) . Chứng minh A, d 1 , d 2 cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC biết đường cao từ B nằm trên d 1 và đường phân giác trong góc C nằm trên d 2 . Câu VIIb. (1 điểm) Cho các số phức z 1 , z 2 thỏa mãn các điều kiện     2z 1 −i 2 + iz 1     = 1 và | z 2 −1 + i | = | z 2 −2 + 2i | . Chứng minh | z 1 −z 2 | ≥ 3 √ 2 −2 2 . . http:/ /math. vn DIỄN ĐÀN MATH. VN http:/ /math. vn Đề thi số: 13 THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y. thí sinh Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x 1 −x và điểm A(−1; 1) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2 Tìm m để đường thẳng y = mx −m −1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao. + 3 √ e x −e 3x e 3x dx. Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ đều ABC.A  B  C  có tất cả các cạnh đều bằng a .Gọi M là trung điểm của cạnh BB  . Tính thể tích khối tứ diện B  ACM và bán kính