Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D.. Trên AC lấy một điểm D, vẽ đường trịn đường kính CD cắt BC tại M.. b Chứng minh BHCK là hình bình
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ƠN THI HỌC KỲ II
1 Hệ phương trình bậc hai một ẩn:
Hệ pt bậc nhất một ẩn cĩ dạng: (I) ' ' '(1)
(2)
ax by c
a x b y c
• Nếu ' ' '
c
c b
b a
a = = ⇒ Hệ (I) có vơ sớ nghiệm
• Nếu ' ' '
c
c b
b a
a
≠
= ⇒ Hệ (I) vơ nghiệm
• Nếu ' '
b
b a
a ≠ ⇒ Hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất
Ví dụ: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh sau:
a)
=
+
=
+
5 3
8
2
4
y
x
y
x
Gi¶i:
1
y 1
y 2 4
1
4
VËy nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ: (x ; y) = (
4
1
; 1)
b/
= +
−
=
−
31 11
10
7 11
2
y
x
y
x
⇔
= +
=
31 11 10
24 12
y x
x
⇔
= +
=
31 11 2 10
2
y
x
⇔
=
=
1
2
y x
Bµi 1: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh sau:
x y
x y
− =
x y
x y
+ = −
− =
−
= +
=
−
8 13 12
5 7 8
y x
y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
2x y 1
− =
3x 4y 2 2x 3y 7
+ =
2x y 11
+ =
2x 3y 10 3x 2y 2
− =
Bµi 3: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÝch hỵp:
−
=
−
−
=
−
2 3 3 1
) 2 ( 2 3 1 ,
y x
x y
−
= +
− +
= +
− +
6 ) 3 ( 2 ) 2 ( 3
6 ) 3 ( 5 ) 2 ( 7 ,
y x y x
y x y
x
=
−
= +
1 3 2
5 2 3
y x
−
=
−
+
=
− +
3
1 2
2 2
4 3
y y
x
+
−
= +
−
− +
=
− +
) 4 )(
3 ( ) 7 )(
4 (
) 1 )(
2 ( ) 2 )(
5 ( ,
y x y
x
y x y
x e
Bµi 4: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh:
a,
=
−
− +
=
−
− +
3 4 5
2 2 1
y x y x
y x y x
b,
−
=
−
= +
7 2
13 4
2 2
2 2
y x
y x
c,
=
−
= +
4
2 5
3 2 2
x y
x xy
d,
=
−
−
−
=
− +
−
2 2 1
3
5 2 3 1 2
y x
y x
a) Đồ thị hàm số y = ax2 là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng ,đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O
Trang 2b)Tính biến thiên của y = ax
Nghịch biến khi x < 0
Đồng biến khi x > 0
Giá trị nhỏ nhất y = 0 tại x = 0
Đồ thị nằm phía trên trục hoành
O là điểm thấp nhất của đồ thị
Đồng biến khi x < 0
Nghịch biến khi x < 0
Giá trị lớn nhất y = 0 tại x = 0
Đồ thị nằm phía dưới trục hoành
O là điểm cao nhất của đồ thị
c) Cách vẽ đồ thị :
+ Lập bảng gía trị của hàm số y = ax2
Cho x nhận các giá trị -2,-1, 0 ,1 , 2 … ta lần lượt tính được các giá trị tương ứng của y = ax2
+ Vẽ các cặp điểm trong bảng giá trị trên cùng hệ trục toạ độ và nối các điểm lại với nhau bởi đường cong liền nét ta được đồ thị của hàm số y = ax2
Chú ý : + a > 0 đồ thị quay lên trên
+ a < 0 đồ thị quay xuống dưới
a) Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng a x2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong đó x là ẩn số ,a , b , c là các hệ số đã cho
b) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai:
Cho pt : ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) víi ∆= b 2 – 4ac
• ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
a
b
2
∆ +
a
b
2
∆
−
−
• ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 =
a
b
2
−
c) Viết công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Cho pt: ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) ; b’ = 2b; ∆’
= b ’2 – ac
• ∆’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ' '
b
a
− + ∆ ; x2 = − − ∆b' a '
• ∆’ = 0 phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 = −b a'
d) Các trường hợp nhẩm nghiệm đặc biệt
- Nếu phương trình ax2 +bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì p.trình có hai nghiệm x1 = 1 ; x2 =
a c
- Nếu phương trình ax2 +bx + c = 0 a - b + c = 0 thì p.trình có hai nghiệm x1 = -1 ; x2 = −a c
- Nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt
e) Phát biểu định lý VIET :
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Trang 3thỡ S = x1 + x2 = −a b ; P = x1 x2 = a c
f) Caựch tỡm hai soỏ bieỏt toồng vaứ tớch cuỷa chuựng:
Neỏu hai soỏ u vaứ v coự toồng u + v = S vaứ tớch u.v = P thỡ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh baọc hai: x2 – Sx +P =0
ẹK ủeồ coự 2 soỏ: S 2 – 4P ≥ 0
Bài 1: Giải phơng trình:
a x2 – x – 20 = 0 b 2x2 – 3x – 2 = 0 c x2 + 3x – 10 = 0 d 2x2 – 7x + 12 = 0
e 2x2 + 7x + 3 = 0 g x2 – 4x + 3 = 0 h x2 – 2x – 8 = 0 k 2x2 – 3x + 5 = 0
Bài 2: Giải phơng trình:
a 3x2 + 8x + 4= 0 e x2 -3x – 10 = 0
b 5x2 – 6x – 8 = 0 g x2 +( 2+1)x+ 2 =0
c 3x2 – 14x + 8= 0 h 4x2 −4 3x+3=0
d x2 – 14x + 59 = 0 k 6x2 −5 2x+2=0
a 2x2 – 3x + 1 = 0 b -2x2 + 3 x + 5 = 0
c 5x2 + 9x + 4 = 0 d. 2x2 −3(1+ 2)x+3+2 2 =0
a x2 – 11x + 28 = 0 b 4x2 – 8x - 140 = 0 c x2 + 10x + 21 = 0
Bài 5 : Tỡm 2 số u và v biết.
a) u v+ = −5 uv=24
b) u v+ = 4 uv= 19
Bài 6: Tìm giá trị của m để phơng trình:
a. 2x2 – 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
b. 3x2 – 2mx + 1 = 0 có nghiệm kép
c. x2 – (2m + 3)x + m2 = 0 vô nghiệm.
Bài 8: Xác định giá trị của m và tìm nghiệm cũn lại của phơng trình biết rằng:
a Phơng trình: 2x2 – (m + 3)x – 5m = 0 có một nghiệm bằng 2
b Phơng trình: 4x2 + (2m + 1)x – m2 = 0 có một nghiệm bằng – 1
a Giải phơng trình với m = - 30
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
a Với giá trị nào của m thì (2) là phơng trình bậc hai
b Giải phơng trình khi m =
2 3
c Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 11 : Cho PT (m – 1)x2 – 2m2x – 3(1 + m) = 0
a) Với giỏ trị nào của m thỡ PT cú nghiệm x = - 1 ? b) Khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại của PT
Bài 12: Cho p.trình : 2x2 - 7x - 1 = 0 Biết x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình, không giải phơng trình
a) Hãy tính x1+ x2 ; x1 x2
b) Tính giá trị biểu thức: 1 2
1 2
2 1
2
x x
x x
Trang 4Bµi 13: Cho Pt : 2x
kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh
a) H·y tÝnh x1+ x2 ; x1 x2
b) TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: 3 3
1 2
A x= +x
3 Gĩc với đường trịn.
CÁC BÀI CƠ BẢN CHƯƠNG 3
Bài 1: Cho đường tròn (O ;R) và một dây AB , trên tia BA lấy điểm C sao cho C nằm ngoài
đường tròn Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D Tia CP cắt đường tròn tại I Các dây AB và QI cắt nhau tại K
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
b) Chứng minh IQ là tia phân giác của góc AIB
c) Cho biết R = 5cm , ·AOQ=450 Tính độ dài của cung AQB
d) Chứng minh CK.CD = CA.CB
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H Vẽ tiếp tuyến x Ax′ của (O)
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
b) Chứng minh : OA⊥EF
c) Chứng minh hệ thức AB.AF = AC.AE
d) Cho biết sđ»AB = 900 , bán kính R = 10cm Tính chu vi hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB
Bài 3 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
(D ∈AC; E ∈AB).
a Chứng minh ADHE, BCDE là các tứ giác nội tiếp
b Chứng minh AE.AB = AD.AC
c Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE Biết góc ACB bằng 600; BC = 6cm Tính độ dài cung nhỏ DC của (I) và diện tích hình quạt tròn IDC
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC Đường tròn đường kính IC cắt BC
tại E và cắt BI tại D (D khác I) Chứng minh rằng:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
c) Các đường thẳng AB, CD, EI đồng quy
Bài 5:(Tương tự bài 3:)
Cho tam giác ABC vuơng tại A Trên AC lấy một điểm D, vẽ đường trịn đường kính CD cắt BC tại
M Đường thẳng BD cắt đường trịn này tại E hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại H
Chứng minh:
a) Tứ giác ABCE và HADE nội tiếp
b) EB là phân giác của gĩc AEM
c) Ba điểm H, D, M thẳng hàng
Bài 6:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trong đó µA=600, nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BM và CN cắt nhau tại H Vẽ đường kính AK
a) Chứng minh AMHN và BNMC nội tiếp
b) Chứng minh BHCK là hình bình hành và ba điểm H, D, K thẳng hàng (với D là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC)
c) Tính AH theo R
Trang 5Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao AI và CK cắt nhau tại
H Kéo dài AI cắt (O) tại D ( D ≠ A), kéo dài CK cắt (O) tại E (E ≠ C)
a) Chứng minh : Các tứ giác IBKH, AKIC nội tiếp
b) Chứng minh: ∆CHD cân và BH =BD
c) Kéo dài BH cắt AC tại F Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ∆IKF
Bài 8: Cho (O;R) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx của (O).Lấy C bất kỳ trên (O) Tia AC cắt Bx
tại điểm S Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC; Tia BD cắt AS tại H Tia AD cắt BC tại N, cắt
SB tại M
a) Chứng minh tứ giác CHDN là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ∆SAM đồng dạng với ∆SBH
c) Tứ giác HNBS là hình gì? Vì sao?
d) Xác định vị trí của C để góc CMB vuông
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By của (O) Lấy N
bất kỳ thuộc (O) Tiếp tuyến tại N cắt Ax, By lần lượt tại P và Q
a) Chứng minh các tứ giác APNO và BQNO là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AP + BQ = PQ
c) Xác định vị trí của điểm N trên nửa đường tròn sao cho AP + BQ nhỏ nhất?
Bài 10: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến AMN của
đường tròn đó(M nằm giữa A và N)
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn?
b) Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
c) Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi biết bán kính đường tròn (O) là R= 6 cm và AB =8 cm?
d) Chứng minh AM.AN=AC2 ?
Bài 11: Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng ( B thuộc đoạn AC ) Đường tròn (O) đi qua B và C, đường
kính DE vuông góc với BC tại K, AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I
a Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp
b Gọi H là điểm đối xứng với I qua K Chứng minh góc DHA = góc DEA
c Chứng minh AB AC = AF.AD = AI.AK
a)Độ dài đường tròn và diện tích hình tròn (O)
b)Độ dài cung BC nhỏ
c)Diện tích hình quạt OBC lớn ( chú ý : π để nguyên )
a) Tính độ dài đường tròn(O)
b) Tính độ dài cung nhỏ »AB
c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây và cung nhỏ »AB
Bài 14: Cho (O;6cm); AB = 6cm
a) Tính diện tích hình tròn(O)
b) Tính độ dài cung nhỏ »AB
c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây và cung nhỏ »AB
Bài 15:Cho đường tròn tâm O Vẽ tam giác ABC nội tiếp đường tròn Đường
Trang 6phân giác của góc A cắt đường tròn tại E.
a) Chứng minh BE = EC
b) Vẽ các đường cao BM, CN ( M thuộc AC, N thuộc AB) Chứng minh
bốn điểm M,N,C,B cùng thuộc một đường tròn
Bài 16:Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M
bất kỳ Trên tia MA lấy một điểm D sao cho MD = MB Gọi I là giao điểm của BD với AC K là giao điểm của AM với BC
a)Tính số đo của góc AMB Suy ra tam giác MBD là tam giác đều
b)Chứng minh : Hai tam giác ABD và tam giác MBC bằng nhau
c)Nếu M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC
Bài 17:Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B) và vẽ đường
tròn tâm O đường kính MB Kẻ CM cắt đường tròn tại D Đường thẳng DA cắt đường tròn tại E Chứng minh rằng:
a/ ACBD là một tứ giác nội tiếp từ đó suy ra ABD ACD· = ·
b/ BA là phân giác của góc EBC
c/ Cho biết BC = 4cm, ABC 30· = 0 Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AC và dây
AC
đường thẳng DE và BC cắt nhau tại F Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCDE nội tiếp
b) AFE· =·ACE
Bài 19: Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Vẽ đường thẳng d tiếp xúc với đường
tròn (O) tại A Trên d lấy điểm P, kẻ tiếp tuyến PC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác APCO nội tiếp
b) Chứng minh : CB // OP
c) Giả sử PO = 2R Tính diện tích hình quạt tròn OAC theo R
d) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi P chạy trên d thì I chạy trên đường nào ? ( Chỉ cần làm phần thuận )
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB > AC) đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt BA tại E , vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F
a/ Chứùng minh : Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b/ Chứng minh : AE AB = AF AC
c/ Chứng minh : Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp
d/ Biết µ 0
30
B= , BH = 4cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BE và cung BE
MN ⊥ AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E Chứng minh:
a)Tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn
b)Tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM và AM2 = AE.AC
c)AE.AC – AI.IB = AI2
Trang 7Baứi 22: Tửứ ủieồm A coỏ ủũnh ụỷ ngoaứi ủửụứng troứn (O), keỷ tieỏp tuyeỏn AB vaứ caựt tuyeỏn AEF (E, F∈
(O))
a/ Chửựng minh raống: ãABE= ãBFE
b/ Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa EF Chửựng minh boỏn ủieồm A;B;O;I cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn vaứ xaực ủũnh taõm vaứ baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn ủoự
c / Tỡm quyừ tớch caực ủieồm I khi caựt tuyeỏn AEF dũch chuyeồn
Baứi 23: Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, coự àB=600 Laỏy M thuoọc caùnh AC, keỷ tia Cx vuoõng goực vụựi BM taùi D caột AB taùi H Chửựng minh:
a) Tửự giaực ABCD; HAMD noọi tieỏp moọt ủửụứng troứn
b) Tớnh soỏ ủo goực ADH
c) Cho AB = 3cm Tớnh dieọn tớch cuỷa nửỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BC naốm ngoaứi tam giaực ABC cuứng phớa vụựi A
Baứi 24: Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A Laỏy treõn caùnh AC moọt ủieồm M ( M khoõng truứng vụựi A
vaứ C ), tửứ ủieồm C veừ moọt ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng BM taùi N Goùi S laứ giao ủieồm
2 ủửụứng thaỳng CN vaứ BA
a) Chửựng minh tửự giaực ABCN laứ một tửự giaực noọi tieỏp
b) Chửựng minh SM ⊥ BC
Baứi 25: Cho ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB Treõn ủửụứng troứn laỏy ủieồm D khaực A vaứ B Treõn
ủửụứng kớnh AB laỏy ủieồm C vaứ keỷ CH vuoõng goực vụựi AD taùi H ẹửụứng phaõn giaực trong cuỷaãDAB
caột ủửụứng troứn taùi E vaứ caột CH taùi F , ủửụứng DF caột ủửụứng troứn taùi N Chửựng minh :
a/ CH // DB
b/ãAND=ãACH
c/ Tửự giaực ANCF noọi tieỏp ủửụứng troứn
d/Ba ủieồm C , N , E thaỳng haứng
Baứi 26: Cho tam giaực ABC ( AB = AC ) noọi tieỏp ủửụứng troứn ( O ) Caực ủửụứng cao AA’ , BB’ , CC’
caột nhau taùi H
a ) Chửựng minh tửự giaực AB’HC’ laứ tửự giaực noọi tieỏp Xaực ủũnh taõm I cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực ủoự
b ) Chửựng minh : AC’ AC = AH AA’
c ) Chửựng minh A’B’ laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ( I )
d ) Cho baựn kớnh ủửụứng troứn ( I ) laứ 2 cm , ãBAC = 500 Tớnh ủoọ daứi cung ẳ/ /
C HB cuỷa ủửụứng troứn (I) vaứ dieọn tớch hỡnh quaùt troứn (IC’HB’) ( Laứm troứn ủeỏn chửừ soỏ thaọp phaõn thửự hai )
4 Hỡnh trụ , hỡnh nún
Bài 1: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3
cm Tính Sxq và V của hình trụ đó
Bài 2: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đờng cao của
hình trụ bằng 6 dm Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít )
Chỳc cỏc em ụn thi thật tốt