ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đềĐề thi gồm: 01 trang I.. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x +m cắt C tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyế
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (7 điểm)
Câu I (2điểm) cho hàm số y =
2
3 2
−
+
x
x
(C).
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x +m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau
Câu II (2điểm)
1 Giải phương trình : sin3x + cos 3x + sin3x cot x +cos3x tan x = 2 sin 2 x
2 Giải phương trình :( x2– 6x +11) x2 −x+1 = 2(x2– 4x + 7) x−2
Câu III (1điểm) Tính giới hạn :lim0
→
x x
x
2 sin
2 cos sin
2
Câu IV (1điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB= AC=a,
góc BAC = 600;SA vuông góc với đáy và SA= a 2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Câu V (1điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2-a+2-b+2-c = 1.Chứng minh rằng
+ + b+ c a
a
2 2
4
+ + c+ a b
b
2 2
4
b a c
c
+
+ 2 2
4
≥ 2 2 4 2
c b
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VIa (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
1 Cho đường tròn (C) x2+ y2 - 2x - 6y +6 = 0 và điểm M(-3;1).Gọi T1 và T2 là các tiếp
điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).Viết phương trình đương thẳng T1T2
2 Cho A(1;2);B(0;0);C(-3;1).Xác định tâm phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Câu VIIa (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
14 4 3
2
1
+
x
x với x > 0;
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb: (2điểm)
1 Cho đường tròn x2 +y2– 2x – 6y + 6 = 0 (C)và điểm M(2;4) Viết Phương trình đường
thẳng đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB
2.Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1): 2x – y – 2 = 0, (d2): x + y + 3 = 0 Gọi (d) là đường thẳng qua P và cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B Viết phương trình đường thẳng (d) biết PA
= PB
Câu VIIb: (1điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( )
2 2
x y 3 log x y log x y 1
− =
Trang 2http://www.violet.vn/haimathlx
Trang 3Câu ĐÁP ÁN VẮN TẮT Điểm Câu I
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y =
2
3 2
−
+
x x
(1 điểm)
a T đk D=R | { 2};
b Sự biến thiên ;
* Chiều biến thiên :y’ = 2
) 2 (
7
−
−
x <0 mọi x ≠ 2
Hàm số là nghịch biến trong khoảng x∈ (-∞ ; 2) và (2;∞);
* Cực trị : Hàm số không có cực trị
0.25
*Các giới hạn:
±∞
→
xlim y =
2
3 2 lim
−
+
±∞
→ x
x
x = 2, suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị
±
→ 2
lim
x y =
2
3 2 lim
2 −
+
±
→ x
x
x = ± ∞,suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị
0.25
* Bảng biến thiên: x -∞ 2 +∞
-y 2 +∞
-∞ 2
0.25
C Đồ thị : Giao của đồ thị với trục tung tại điểm ( 0;
2 3
− );
Giao của đồ thị với trục hoành tại điểm (
2 3
−
; 0);
Tâm đối xứng I (2;2); y
0.25
2
2
Trang 42 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + m cắt
( C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó
song song với nhau.(1 điểm)
Đường thẳng y = x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến
của (C) tại hai điểm đó song song với nhau
−
+
2
3 2
x
x
x +m (1)có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn
điều kiện y’(x1)= y’(x2) với y là hàm số đã cho
0.25
(1)⇔ x2+ (m - 4 ) x - 2m -3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
(≠ 2) và thỏa mãn x1 +x2 = 4;
0.25
∆ > 0 ∀x
⇔ 2.22+ ( m-6) 2 – 2m-3 ≠ 0 ⇔m = -4
4
4 2
m
Kết luận: m = -4 thỏa mãn điều kiện đầu bài
0.5
Câu
II
1.
Giải pt
sin3
x + cos 3x + sin3
x cot x +cos3x tan x = 2 sin 2 x (1)
cos x ≠ 0
Đk sin x ≠ 0 ⇔ sin 2x > 0
Sin 2x ≥ 0
0.25
(1)⇔(sin x +cos x)(sin2x –sin xcos x +cos2x )+ sinx
cosx(sinx+cosx)= 2 sin 2 x
sin x +cos x ≥ 0 sin (x+
4
) ≥ 0
1 + sin 2x = 2sin 2x x = 2
4 + k or x= 2
4
5
k
+
0.25
Trang 54 Phương trình đã cho có nghiệm x = 2
2 Giải phương trình :
( x2– 6x +11) x2 −x+1 = 2(x2– 4x + 7) x−2
Đk x≥ 2
Đặt x−2 =a ≥ 0 và x2− x + 1= b >0;
Ta có x2– 6x +11 = x2–x +1 - 5 ( x-2 ) = b2-5a2;
x2-4 x +7 = x2- x + 1- 3(x-2) =b2– 3a2;
0.25
phương trình đã cho tương đương với
(b2-5a2) b = 2 (b2– 3a2) a
⇔6 a3- 5a2b -2ab2 + b3= 0
⇔6 (
b
a
)3– 5(
b
a
)2- 2 (
b
a
)2 +1 =0 (2)
0.25
Đặt
b
a
= t (t≥ 0);
⇔6 t3- 5t2 - 2t2+ 1 = 0
t =
-2
1
(loại)
t =
3 1
0.25
Với t = 1 pt vô nghiệm
Với t =
3
1
ta có b=3a ⇔x2– 10x + 19 = 0 ⇔ x = 5 ± 6
Kết luận: x = 5 ± 6 là nghiệm
0.25
Câu
III
Tính giới hạn :
0
lim
→
x x
x
2 sin
2 cos sin
2
0
lim
→
x lim0
→
x x
x
2 sin
2 cos sin
2
=
0
lim
→
x x
2 sin
sin 2
+
0
lim
→
x
2 2 sin sin
Trang 6Câu
IV
=
0
lim
→
x x
x
sin
2
+ 2
= 2 + 2
= 4
S
J
I
a
A C
O
B Gọi E là trung điểm của BC
Ta có AE ⊥BC và ∠ BAE = 300 ⇒BC = 2BE = 2a sin300
=a
0.5
0.25
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
⇒O∈AE ⇒OA =
3
3
a
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Khi đó IA = IB = IC ⇒I ∈đường thẳng ⊥ với mặt phẳng ABC tại
O
0.5
Mặt ≠ IA = IS ⇒I ∈mặt phẳng trung trực của cạnh SC
Khi đó gọi J là trung điểm của SA ⇒IJ ⊥ SA ⇒tứ giác AOIJ là
hình chữ nhật ⇒IA = 2 2
JA
OA + = a
6
Câu
VCh Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 2-a+2-b+2-c = 1 Chứng minh rằng
+ + b+ c a
a
2 2
+ c+ a b
b
2 2
4
b a c
c
+
+ 2 2
4
≥ 2 2 4 2
c b
Đặt 2a= x > 0
2b = y > 0
2c= z > 0
Trang 7z y x
Ta CM
4
2 2
2
z y x xy z
z zx y
y yz x
+
+ +
+ + Thật vậy
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
x y z x y z
x y x z y z y x z x z y
+ +
Ta có theo bất đẳng thức cô si
3
(1)
Tương tự
4
3 8 8
) )(
(
3
y y x z y x y z y
y
≥
+ +
+ + +
3
3 ( )( ) 8 8 4
z z x z y z
z x z y
0.5
Từ (1);(2)và(3) suy ra
4
) (
3 2
) )(
( ) )(
( ) )(
(
3 3
3
z y x z y x y z x z
z x
y z y
y z
y y x
+ +
+ + +
+ + +
⇒
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
x y z x y z
x y x z y z y x z x z y
+ +
Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = 3 hay a = b = c =
3 1
0.25
Câu
VI.a
1
Đường tròn (C) có tâm I (1;3) và bán kính R=2
MI =2 5 >R khi đó M nằm ngoài (C)
0.25
Nếu T(x0,y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)
T ∈ (C)
⇔
MT ⊥ IT
0.25
Trang 8T ∈ (C)
⇔
→
→
IT
MT = 0
Mà MT→ = (x0+3; y0-1) , IT→ = (x0-1; y0-3)
Do đó: x02+ y0
2 – 2x0– 6y0+ 6 = 0
(x0 + 3)(x0 -1) + ( y0-1)(y0 -3) = 0
0.25
⇔ 2x0 + y0 – 3 = 0 (1)
Vậy tọa độ các tiếp điểm T1, T2của các tiếp điểm kẻ từ M đến ( C )
đều thỏa mãn đẳng thức (1)
Do đó phương trình T1,T2 là: 2x + y – 3 = 0 0.25 2
→
AB = (-1; -2) , BC→ = (-3; 1)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC
⇒ I(
2
1
; 1)
J(-2
1
; 2
3
)
0.25
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC là:
-3(x +
2
1 ( 1 ) 2
3
− + y ) = 0
3x
-2
1 2
9
− + y = 0
⇒ 3x – y + 5 = 0
0.25
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
-1( ) 2 ( 1 ) 0
2
1
=
−
−
x
x + 2y - 0
2
5
= (2)
0.25
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tọa độ O là nghiệm của
hệ:
3x – y +5 = 0 x =
-14 15
⇔
x + 2y
-2
5
= 0 y =
14 25
0.25
Câu
VII.a
14 4 3
2
1
+
x
14
C (3 x)14+…+ k
C14(3 x)14-k(
4 2
1
x )k +…+
14
14
C (
4 2
1
x )14
Để hệ số không phụ thuộc vào x
0.5
Trang 9⇔( x) (
4 x ) = 1
14 k
x
−
k
⇔
4 3
14 k k
−
−
= 0
⇔56 – 4k – 3k = 0
⇔k = 8
0.25
Hệ số không phụ thuộc vào x là:
8
1 4 8
.
Câu
VI.b
1
Từ phương trình:
x2+ y2 – 2x – 6y +6 = 0
⇔ (x – 1)2 + (y – 3)2= 4
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = 2
0.25
Do (d): qua M
MA = MB
⇒ AB ⊥ MI
0.25
→
nd (1; 1) phương trình đường thẳng (d): x – 2 +y – 4 = 0
2
Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB)
A ∈(d1) ⇔ 2xA– yA– 2 = 0 (1)
B ∈(d2) ⇔ xB – yB+ 3 = 0 (2)
0.25
Mà PA = PB ⇒ P là trung điểm AB
⇔ xA+ xB = 2xP
yA+ yB = 2yP
0.25
⇔ xA+ xB = 6 (3)
yA+ yB = 4 (4)
0.25
Từ (1), (2), (3) và (4)
⇒ A( )
3
16
; 3
11
3
16
; 3
7
−
Phương trình (d): 8x – y – 24 = 0
0.25
Câu
VII.b
Điều kiện: x>y>0
x2– y2= 3 (1)
log3(x+y) = log55(x-y) (2)
0.25
Trang 10Từ (1) ⇔ x – y =
y
x+
3
Thay vào (2):
log3(x+y) = log 5
y
x + 15
5 log
15 log
) (
log
3
3
3
y x y
0.25
log35 =
y x
y x
+
+
3
3 log
15 log
=
y x
y x
+
+
15 log = logx+y15 - 1
⇔ log315 = logx+y15
⇔
y
x +
=
15
15 log
1 3
log
1
0.25
⇔log15(x+y) = log153
x – y = 1 y = 1
0.25
Lưu ý: Trên đây chỉ là một cách giải, nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng
thì cho điểm tương ứng với điểm của đáp án