KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tan(a + b) = tan(a - b) = 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos2a = cos 2 a – sin 2 a sin2a = 2.sina.cosa = 2cos 2 a –1 tan2a = = 1 – 2sin 2 a 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos 2 a = sin 2 a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]; sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] cosa.sinb = [sin(a – b) + sin(a + b)] 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - - - - 0 π độ -180 o -150 o -135 o -120 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0 cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1 tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || PHẦN A : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1/ Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0 ≠ (A có nghĩa); A có nghĩa khi A 0 ≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 − ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x= 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x k π ≠ 2/ Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng: − = → − = − → − ≠ ± → 0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f 3/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; 0 ≤ cos 2 x ≤ 1; A 2 + B ≥ B II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . Dạng 1: sinx = a (1) + a > 1, phương trình (1) vơ nghiệm + a ≤ 1, Cơng thức nghiệm phương trình (1) arcsin 2 ; arcsin 2 x a k k x a k π π π = + ∈ = − + ¢ §Ỉc biƯt: 2 sin sin ; 2 x k x k x k α π α π α π = + = ⇔ ∈ = − + ¢ Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì: 0 0 0 360 180 360 x k x k α α = + = − + ;k ∈¢ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin ; 2 f x g x k f x g x k f x g x k π π π = + = ⇔ ∈ = − + ¢ D¹ng 2: cosx = a (1) + a > 1, Phương trình (1) vơ nghiệm + 1a ≤ , NghiƯm tỉng qu¸t: arccos 2 ;x a k k π = ± + ∈¢ §Ỉc biƯt: cos cos 2 ;x x k k α α π = ⇔ = ± + ∈¢ Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì x = ± 0 360 ;k k α + ∈¢ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos 2 ;f x g x f x g x k k π = ⇔ = ± + ∈¢ D¹ng 3: tanx = a, ; 2 x k k π π ≠ + ∈ ÷ ¢ nghiƯm tỉng qu¸t: ;x k k α π = + ∈¢ §Ỉc biƯt: tan tan ;x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì x = 0 180 ;k k α + ∈¢ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan ;f x g x f x g x k k π = ⇔ = + ∈¢ D¹ng 4 : cotx = a, ( ) ;x k k π ≠ ∈¢ nghiƯm tỉng qu¸t: ;x k k α π = + ∈¢ §Ỉc biƯt: cot cot ;x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ Chú ý : Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì x = 0 180 ;k k α + ∈¢ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) ( ) ( ) cot cot ;f x g x f x g x k k π = ⇔ = + ∈¢ 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = k π , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2 π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2 π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2 π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2 π . 3/ Phương trình b ậc nhất, bậc hai chỉ chứa một hàm số lượng giác : * Phương trình bậc nhất: Dạng: at + b = 0 ( a ≠ 0, t là một trong 4 hàm sinx, cosx, tanx, cotx) + C¸ch gi¶i: t = - b a , sau đó giải giống phương trình lượng giác cơ bản. * Ph ¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l ỵng gi¸c . + §Þnh nghÜa: Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ( ) 2 0 0at bt c a+ + = ≠ trong ®ã t lµ mét trong bèn hµm sè lỵng gi¸c: sin ,cos ,tan ,cotx x x x + C¸ch gi¶i: Bíc 1: §Ỉt t b»ng hµm sè lỵng gi¸c cã trong ph¬ng tr×nh; Bíc 2: §Ỉt ®iỊu kiƯn víi Èn phơ t ( t = sinx, t = cosx thì t ≤ 1) Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m t (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn); Bíc 4: Víi mçi t tho¶ m·n ta cã ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c c¬ b¶n ⇒ nghiƯm x 4/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ Cách 2: asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . bài tập: * Bài tập cơ bản : Bµi 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cđa c¸c hµm sè sau: 1) 1 2cos 1 y x = − 2) tan 2 x y = 3) 2 sin 2 x y x = − 4) cot 2y x= 5) 2 1 cos 1 y x = − 6) cos 1y x= + 7) y = cosx + sinx 8) y = cos 1 2 x x + + 9) y = sin 4x + 10) y = cos 2 3 2x x− + 11) y = 2 os2xc 12) y = 2 sinx− 13) y = 1 osx 1-sinx c+ 14) y = tan(x + 4 π ) 15) y = cot(2x - ) 3 π Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = tanx + 2sinx 5) y = 1 2 tan 2 x 6) y = sin x + x 2 7) y = tan5x.cot7x 8) y = cosx + sin 2 x 9) y = sin2x.cos3x 10) y = sinx + cosx 11) y = xcos3x 12) y = 1 cos 1 cos x x + − Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 3sin 1 6 x π − + ÷ 9) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Bài 4: Giaûi caùc phöông trình sau: 1) sin2x = 1/2 2) six(x- / 4 π ) = 3 / 2 3) cos3x = -1/2 4) cos( / 6 π -x) = 2 / 2 5) 2cosx - 2 = 0 6) 3 tanx – 3 = 0 7) 3cot2x + 3 = 0 8) 2 sin3x – 1 = 0 9) 2sincos3 =− xx 10) 1sin3cos −=− xx 11) cos 2x + 3cosx +2 = 0 12) 2+ cos 2x = - 5sinx 13) 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0 14) 2cos 2x + cosx = 1 15) 2tg 2 x + 3 = xcos 3 16) 4sin 4 +12cos 2 x = 7 17) 3sin 4cos 1x x− = 18) 2sin 2cos 2x x− = 19) 3sin 4cos 5x x+ = 20) 3 sin 3 cos3 2x x+ = Bài 5: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2 tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9) 2cos 2 x – 3cosx + 1 = 0 10) cos 2 x + sinx + 1 = 0 11) 2cos 2 x + 2 cosx – 2 = 0 12) cos2x – 5sinx + 6 = 0 13) cos2x + 3cosx + 4 = 0 14) 4cos 2 x - 4 3 cosx + 3 = 0 15) cot 2 x - 4cotx + 3 = 0 16) 2 tan 3cot 2 0x x − − = 17) 2 2 2sin 5sin cos cos 2x x x x− − = − 18) 2 2 2sin 5sin cos 3cos 0x x x x− + = Bài 6: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = * Bài tập tham khảo : Giải các phương trình sau: 1) cos7x – cos4x + cosx = 0 2) sin2x + 2sinx = sinx/2 3) cosx + cos2x – cos3x = 1 4) 9sinx 6cos 3sin 2 os2 8x x c x+ − + = 5) ( ) 2 os2 os4 6 sin 3c x c x x− = + 6) 1) sin 2 x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 7) ( ) ( ) 1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = + 8) 2 3 cos os 4 x x c= 9) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 10) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos 2 x + 1 11) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 12) sin(4x + π 4 )sin6x = sin(10x - π 4 ) 13) tan( 2π 3 - x) + tan( π 3 - x) + tan2x = 0 14) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin 2 x 15) tan 2 x = 1 - cosx 1 - sinx CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT I. LÝ THUYẾT 1. Quy tắc đếm: * Quy tắc cộng, Quy tắc nhân, phân biệt sự khác nhau của hai quy tắc. 2. Hốn vị: Pn = n(n – 1)(n – 2). . . 2.1 = n! - Chỉnh hợp: ! ( )! k n n A n k = − Lưu ý: n n A = n! 0! = 1 - Tổ hợp: ( 1)( 2) ( 1) ! ! k k n n A n n n n k C k k − − − + = = Ghi chú : Với 1 ≤ k ≤ n ta có thể viết công thức (4) dưới dạng : ! ( )! ! k n n C n k k = − , với qui ước 0 1 n C = H ai công th ức cơ bản về tổ hợp: * k n k n n C C − = , với mọi số nguyên n và k thỏa 0 ≤ k ≤ n. * 1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + , 1 1 k k k n n n C C C − + = + , với mọi số nguyên n và k thỏa 1 ≤ k ≤ n. 3. Nhị thức Newton : Cơng thức nhị thức Niutơn và các tính chất kèm theo. 4. Phép thử và biến cố: Cần nắm các khái niệm Phép thử, khơng gian mẫu của phép thử, biến cố và các khái niệm liên quan, các phép tốn trên các biến cố. 5. Xác suất của biến cố: + Định nghĩa xác suất cổ điển của biến cố. + Tính chất xác suất của biến cố. + Xác suất của biến cố độc lập. II. BÀI TẬP: Câu 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm: a) Các số chẵn có 4 chữ số khác nhau? b) Các số chẵn có 4 chữ số ? c) Các số nhỏ hơn 1000 có các chữ số khác nhau? Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh khác nhau vào ngồi một bàn học. Câu 3: Có bao nhiêu cách phân cơng năm bạn từ một tổ học sinh gồm 10 người đi làm trực nhật, biết: a) Năm bạn mỗi bạn làm một việc khác nhau? b) Năm bạn cùng làm một việc như nhau? Câu 4: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh khối 12. 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho: a) Khối 12 và 11 có 3 em, khối 10 có 2 em. b) Mỗi khối có ít nhất 1 em. Câu 5: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ các bản vùng sâu, sao cho mỗi đội có 4 nam và một nữ. Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nữ và 5 nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nam. Bài7: Gieo một con súc sắc cân ,đối đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện: a) hãy mơ tả khơng gian mẫu; b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”; B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”; C: “ Xuất hiện mặt có số chấm khơng lớn hơn 3”. Bài 8: Từ một họp chứa 3 bi trắng và 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai bi. a) Xác định không gian mẫu. b) tính xác suất các biến cố sau: A:”Hai bi cùng màu trắng”; B:”Hai bi cùng màu đỏ”; C:”Hai bi cùng màu”; D:”Hai bi khác màu”. Bài 9: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất hai lần, quan sát sự xuất hiện của các mặt sấp (S), ngửa (N) a) Mô tả không gian mẫu. b) Tính xác suất của các biến cố sau: A:”Lần đầu gieo xuất hiện mặt ngửa” B:”Hai lần gieo xuất hiện các mặt giống nhau”; C:”Đúng hai lần xuất hiện mặt ngửa”; D:”Ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”; Bài 10: Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm xuất hiện xuất hiện trên con súc sắc. a) Xây dựng không gian mẫu. b) Tính xác suất của các biến cố sau: A:”Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”; B:”Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm”; C:”Mặt có chấm chẵn xuất hiện”; D:”Đồng tiền xuất hiện mặt sấp”; E :”Mặt có chấm lẻ xuất hiện”; H = D.E; Baứi 11: Tỡm heọ s cuỷa x 6 trong khai trin 6 2 1 2 + x x Baứi 12: Tỡm s hng th 3 trong khai trin ca biu thc 5 4 2 x x Bi 13: Tỡm s hng khụng cha x khi khai trin 8 4 1 + x x Bi 14: Tớnh cỏc h s ca x 2 ; x 3 trong khai trin ca biu thc : (x+1) 5 + (x-2) 7 . Bi 15: Tỡm h s ca s hng th sỏu ca khai trin biu thc M = (a+b) n nu bit h s ca s hng th ba trong khai trin bng 45. Bi 16: Trong khai trin , 2 m x a x + h s ca cỏc s hng th t v th mi ba bng nhau .Tỡm s hng khụng cha x . PHN B: HèNH HC: I. Lí THUYT : 2. Chng II: ng thng v mt phng trong khụng gian. Quan h song song a. i cng v ng thng v mt phng - Tỡm giao tuyn - Tỡm giao im - Chng minh ba im thng hng - Xỏc nh thit din b. ng thng song song vi ng thng - nh lý: = = = c b a => a // b // c hoc a, b, c ng quy - H qu: = c b a b//a => a // b // c II. BI TP: Cõu 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, M l im trờn cnh BC, N l im trờn cnh SD. a)Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SAC) v (SBD). b)Tỡm giao im I ca BN v mp(SAC). Giao im J ca MN v (SAC). Cõu 2: Cho t din ABCD. Gi I, J ln lt trung im ca BC v AC, M l im tu ý trờn cnh AD. a)Tỡm giao tuyn d hai mp(MIJ) v (ABD). b)Gi N giao im ca BD v d, K l giao im ca IN v JM. Tỡm giao tuyn hai mp(ABK) v (MIJ). Cõu 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy l hỡnh bỡnh hnh tõm O. Gi M, N, P ln lt trung im SB, SD v OC. a)Tỡm giao tuyn ca hai mp (SAC) v (SBD). b)Tỡm giao tuyn ca hai mp(MNP) v (SAC), tỡm giao im ca SA v (MNP). c)Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp v mp(MNP). Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy AB,CD. Gọi I, J lần lượt trung điểm của AD và BC, G là trọng tâm tam giác SAB. a)Xác định giao tuyến hai mp(SAB)và (SBC). b)Xác định giao tuyến của hai mp(SAB) và (IJG). c)Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJG). Thiết diện là hình gì? Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt trung điểm các cạnh AB, CD. Gọi P trung điểm SA. a)Chứng minh MN song song với các mp(SBC), (SAD). b)Chứng minh SB song song với (MNP). c)Gọi (α) là mặt phẳng qua P song song BC cắt SD tại Q. Tứ giác MNQP là hình gì? Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD, α là mặt phẳng qua MN và song song với SA. a)Tìm các giao tuyến của (α) với (SAB), (SAC). b)Xác định thiết diện của hình chóp với (α). Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là điểm di động trên đoạn AB. Một mp(α)đi qua M song song với SA và BC. (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P, Q. a)Tứ giác MNPQ là hình gì? b)Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định. . đó có 7 học sinh khối 12. 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho: a) Khối 12 và 11 có 3 em, khối 10 có 2 em. b) Mỗi khối có. TP: Cõu 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, M l im trờn cnh BC, N l im trờn cnh SD. a)Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SAC) v (SBD). b)Tỡm giao im I ca BN v mp(SAC). Giao im J ca MN v (SAC). Cõu 2: Cho t din. = sin x + x 2 7) y = tan5x.cot7x 8) y = cosx + sin 2 x 9) y = sin2x.cos3x 10) y = sinx + cosx 11) y = xcos3x 12) y = 1 cos 1 cos x x + − Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π )