PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÌM GTLN VÀ GTNN TRONG ĐẠI SỐ THCS A/ NỘI DUNG GỒM: Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức Mỗi dạng gồm có: - Các ví dụ - Cách giải chung của các ví dụ - Bài tập tự giải và kết quả của từng bài B/ MỘT SỐ ĐIỀU CẦN GHI NHỚ: Có nhiều phương pháp để giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một hàm số, một biểu thức. Một trong những phương pháp có hiệu quả là dùng bất đẳng thức quen thuộc, nhưng cũng chính phương pháp này đã gây ra những sai lầm, nếu chúng ta không nắm vững bản chất của nó. Khi dùng bất đẳng thức ta chứng minh được ( ) Kxf ≥ hay ( ) Kxf ≤ ( K là một hằng số) thì không được kết luận vội vàng là K là GTLN (hay GTNN) của ( ) xf . Mà ta phải chứng tỏ rằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nhận được giá trị cụ thể, thỏa điều kiện của bài toán rồi mới kết luận. C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: 33)(/ 2 ++= xxxfa )5()(/ −= xxxgb Giải 4 3 2 3 4 3 4 9 2 3 233)(/ 2 22 + +=+++=++= xxxxxxfa Ta có ,0 2 3 2 ≥ +x nên 4 3 4 3 2 3 2 ≥+ +x Vậy: f(x) đạt GTNN bằng 4 3 khi 2 3 0 4 3 2 −=⇔= + xx Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 1 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS 4 25 2 5 5)5()(/ 2 2 − −=−=−= xxxxxxgb Ta có ,0 2 5 2 ≥ −x nên 4 25 4 25 2 5 2 −≥− −x Vậy: g(x) đạt GTNN bằng 4 25 − khi 2 5 0 2 5 2 =⇔= − xx Cách giải chung của bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: ( ) [ ] axh + 2 trong đá a là một hằng số. Vì ( ) [ ] 0 2 ≥xh nên ( ) [ ] aaxh ≥+ 2 . Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0. Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 142)(/ 2 +−−= xxxfa 2 )(/ xxxgb −= Giải ( ) 151142)(/ 2 2 ++−=+−−= xxxxfa Ta có ( ) 01 2 ≥+x nên ( ) 01 2 ≤+− x ⇒ ( ) 15151 2 ≤++− x Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi ( ) 101 2 −=⇔=+ xx 4 1 2 1 )(/ 2 2 + −−=−= xxxxgb Ta có 0 2 1 2 ≥ −x nên ⇒≤ −− 0 2 1 2 x 4 1 4 1 2 1 2 ≤+ −− x Vậy: g(x) đạt GTLN bằng 4 1 khi 2 1 0 2 1 2 =⇔= − xx Cách giải chung của bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: ( ) [ ] axh +− 2 trong đá a là một hằng số. Vì ( ) [ ] 0 2 ≥xh nên ( ) [ ] aaxh ≤+− 2 . Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 132)( 2 ++−= xxxf Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng 4 3 8 17 =xkhi Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1 64 1 )( 2 −−= x xxg Đáp số: g(x) đạt GTNN bằng 3 1 36 37 =− xkhi Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 2 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Bài tập 3: a/ Tìm GTNN của các biểu thức sau: )4)(3)(2)(1()( ++++= xxxxxf Đáp số: f(x) đạt GTNN bằng 2 55 1 2,1 ±− =− xkhi b/ Giải phương trình trên khi f(x)=3 Đáp số: Phương trình có nghiệm 2 135 2,1 ±− =x Bài 4: Cho phương trình ( ) ( ) 01381 222 =−++−++ xmmxmm Gọi 21 , xx là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN của biểu tổng S= 21 xx + Đáp số: S đạt GTLN bằng 1323 3413 3 132 − − =mkhi S đạt GTNN bằng 1323 3413 3 132 + + −=− mkhi Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1 a/ Tìm GTNN của biểu thức: 22 3 yxM += Đáp số: M đạt GTNN bằng 4 1 ; 4 1 4 1 == yxkhi b/ Tìm GTLN của biểu thức: N = 2xy Đáp số: N đạt GTLN bằng 2 1 ; 6 1 6 1 == yxkhi Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 3 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức )( )( xG xF A = . Biểu thức A đạt GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt GTNN và G(x) đạt GTLN. 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: 106 35183 2 2 +− +− = xx xx A Giải ( ) 13 5 3 106 5 3 106 35183 222 2 +− += +− += +− +− = x xxxx xx A A đạt GTLN khi ( ) 13 2 +−x đạt GTNN, mà ( ) 113 2 ≥+−x Vậy GTLN của 8 1 5 3 =+=A khi ( ) 303 2 =⇔=− xx Cách giải chung của bài toán trên là: Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để đưa biểu thức về dạng A = M + )(xf N (M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN. Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: ( ) 0 12 2 ≠ + = x x x A Giải Ta có thể viết: ( ) 1 111212 2 2 2 2 2 22 2 − + = −+ = −++ = + = x x x xx x xxx x x A Do đó: 101 1 1 2 −≥⇔≥+⇒ + =+ AA x x A Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1010 1 −=⇔=+⇔= + xx x x Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1 Cách giải chung của bài toán trên là: Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 4 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi để đưa biểu thức về dạng A = K xg xf F + 2 )( )( (K là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTNN là K khi biểu thức )( )( xg xf =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm GTLN của hàm số: ( ) 0 1 )( 4 2 ≠ + = x x x xf ; Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng 1 2 1 ±=xkhi Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức ( ) 2 2009+ = x x M đạt GTLN. Đáp số: M đạt GTLN bằng 2009.4 1 khi x=2009 Bài 3: Cho biểu thức: ( ) xxx x xx xx M 23 : )2(1 20092 23 32 +− −− +− = a/ Rút gọn M Đáp số: ( ) 0;2;1 20092 2 2 ≠≠≠ +− = xxx x xx M b/ Tìm GTNN của M. Đáp số: M đạt GTNN bằng 2009 2009 2008 =xkhi Bài 4: Cho biểu thức: )1(2 4123 : 23 3 232 ++ −+− + − = xx xxx x xx N a/ Rút gọn N. Đáp số: −≠≠ + = 3 2 ; 3 1 4 2 xx x x N b/ Tìm GTNN và GTLN của N Đáp số: N đạt GTNN bằng 2 4 1 −=− xkhi Đáp số: N đạt GTLN bằng 2 4 1 =xkhi Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + cba Tìm GTLN của biểu thức abc: Đáp số: abc đạt GTLN bằng 2 1 8 1 === cbakhi Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 5 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: xxxf +−−= 12)( . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN. Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: 21 01 02 ≤≤−⇔ ≥+ ≥− x x x Trong điều kiện này ta có f(x) 0 ≥ nên f(x)đạt GTLN khi và chỉ khi ( ) [ ] 2 xf đạt GTLN. Ta có: ( ) [ ] ( )( ) 2 2 22312212 xxxxxxxf −++=+−+++−= 2 2 2 1 4 9 23 4 1 4 9 23 −−+=++−+= xxx Do đó ( ) [ ] 2 xf đạt GTLN khi và chỉ khi 2 1 0 2 1 =⇔=− xx Vậy khi 2 1 =x thì GTLN của biểu thức )(xf = 6 2 1 1 2 1 2 =++− Cách giải chung của bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện các biểu thức dưới dấu căn để cho căn thức có nghĩa, sau đó tìm điều kiện để biểu thức ( ) [ ] 2 xf đạt GTLN . Điều kiện đó cũng chính là điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN. Ví dụ 2: Cho biểu thức: 21 3 )( −− − = x x xf . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTNN. Giải Biểu thứ f(x) có nghĩa khi: ≠ ≥ ⇔ ≠−− ≥− 3 1 021 01 x x x x Ta biến đổi: 21 21 )21)(21( 21 21 21 3 )( +−= − +−−− = −− −− = −− − = x x xx x x x x xf Do đó: 21)( +−= xxf nên ( ) xf đạt GTNN khi và chỉ khi 1−x đạt GTNN mà 01 ≥−x nên 1−x đạt GTNN bằng 0 khi 1 = x Vậy f(x) đạt GTNN bằng 2 khi 1 = x Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 6 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Cách giải chung của bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút gọn biểu thức đã cho. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Cho biểu thức: ( ) 2 2 1 2 12 1 )1(2 1 x x xx M − + − − + + = a/ Rút gon biểu thức M. Đáp số: ( ) 1;0 1 1 2 ≠≥ ++ −= xx xx M b/ Tìm GTNN của M Đáp số: M đạt GTNN bằng -1 khi x=0 Bài 2: Cho biểu thức ( ) 2 1 2 : 12 2 1 2 x xx x x x M − − ++ + − − − = a/ Rút gọn biểu thức M. Đáp số: M= ( ) 1;0 ≠≥− xxxx b/Tìm GTLN của M. Đáp số: M đạt GTLN bằng 4 1 4 1 =xkhi Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức 12 1 +− = xx M Đáp số: M đạt GTLN bằng 16 1 7 8 =xkhi Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 2 13 1 x M −− = Đáp số: M đạt GTLN bằng 0 2 1 =xkhi M đạt GTNN bằng 1 3 1 ±=xkhi Bài 5:Tìm GTNN của biểu thức: ( ) ( ) 22 20092008 −+−= xxM Đáp số: M đạt GTNN bằng1 khi 20092008 ≤≤ x Địa chỉ của tôi: Tung858@mail.com Đơn vị công tác: Trường THCS Chu Văn An –Đăk Hà- Kon Tum Điện thoại: CĐ 0603.822.711; DĐ 0935.224.586 Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn! Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 7 . đạt GTNN bằng -1 khi x =-1 Cách giải chung của bài toán trên là: Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 4 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của. Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 5 PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: xxxf +−−= 12)( . Tìm giá trị. THCS Chu Văn An –Đăk H - Kon Tum Điện thoại: CĐ 0603.822.711; DĐ 0935.224.586 Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn! Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum 7