Đề thi Ôlimpic HKII_ THCS Yên Lạc_VP

Trờng thcs yên lạc ============== đề Thi olympic lầN II. NM HC 2010-2011 Mụn thi : Toỏn 7 Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Cõu 1: Tỡm cỏc s x, a/ (x 1) 3 = - 8 b/ 9 7 5 3x x = Cõu 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A= ( ) 2 2010 2 2011 2011 5 x y + + + ữ Cõu 3: Cho t l thc a b b c = . Chng minh rng ta cú t l thc: 2 2 2 2 a b a b c c + = + Cõu 4: Cho hm s f(x) xỏc nh vi mi x 0 V vi mi x 0 ta u cú f(x) + 3f( x 1 ) = x 2 . Hóy tớnh f(2) Cõu 5: Tìm số nguyên dơng x thoả mãn: 2.1 1 + 3.2 1 + + )1( 1 +xx = 3 1 3 2 x x + + Cõu 6: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK v FN vi ng thng HA. a/ Chng minh rng: EK = FN. b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC EF = 2AI. Cõu 7: Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr ln nht bng bao nhiờu. Cõu 8: Cho tam giỏc nhn ABC vi ã BAC = 60 0 . Chng minh rng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB. AC. Cõu 9: Vi a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho a + 3 v b + 2011 chia ht cho 6. Chng minh rng: 4 a + a + b chia ht cho 6. Ht (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) CHNH THC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ OLYMPIC MÔN: TOÁN 7 Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (1 điểm) a) (x – 1) 3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 b) 9 7 5 3x x− = − Điều kiện: x ≥ 3 5 => 9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x − = −   − = −  => 12 12 1 2 6 3 x x x x = =   ⇒   = =   (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 1 hoặc x = 3. 0,5 0,5 2 (1 điểm) Ta có: 2 2 0 5 x   − ≥  ÷   và ( ) 2010 2011 0y + ≥ với mọi x, y Nên A= ( ) 2 2010 2 2011 2011 5 x y   − + + +  ÷   2011≥ Vậy Max 2011A = khi 2 5 2011 x y  =    = −  0,5 0,5 3 (1 điểm) Ta có: 2 2 2 2 . a b a b a b a b c b c b c c = ⇒ = = = Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b a b c b c b c + = = = + hay 2 2 2 2 a b a b c c + = + (ĐPCM) 0,5 0,5 4 (1 điểm) Vì f(x) xác định với mọi x khác 0 nên ta có: ( ) 2 1 2 3 2 2 f f   + =  ÷   và ( ) 2 1 1 3 2 2 2 f f     + =  ÷  ÷     Hay ( ) ( ) 1 13 2 3 4 (2) 2 32 1 47 1 1 3 2 2 32 2 4 f f f f f f     + = = −  ÷       ⇔         = + =  ÷  ÷         Vậy f(2) = 13 32 − 0,5 0,5 5 (1 điểm) ĐK: 0 3x ≤ p . Ta có: 1 1 1 3 1 1.2 2.3 .( 1) 3 2 3 1 1 3 2 x x x x x x x x − + + + + = + − + − + ⇔ = + − + Vì x nguyên dương và 0 3x ≤p nên { } 1;2;3x∈ Với x = 1 ( loại) VT= 1 2 ; VP = 2 1 2 2 + + Với x = 2 ( thoả mãn) v ì VT= VP = 2 3 Với x = 3 ( loại) VT= 3 4 ; VP = 1 2 Vậy x= 2 là giá trị cần tìm 0,5 0,5 6 (2 điểm) a)Chứng minh ∆ KAE = ∆ HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh ∆ NFA = ∆ HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN. b)Chứng minh ∆ KEI = ∆ NFI ( g.c.g) => EI = FI = EF 2 Mà AI = EF 2 (gt) => AI = EI = FI => · · IEA IAE= và · ¶ IAF IFA= => · EAF = 90 0 => · BAC = 90 0 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A 0,5 0,5 0,5 0,5 7 (1 điểm) Giả sử 0a b c d≥ ≥ ≥ ≥ Ta có S = a b b c c d a c a d b d− + − + − + − + − + − => S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d => S = 3a + b – (c + 3d) Mà c + 3d ≥ 0 => S ≤ 3a + b Mặt khác a + b + c + d = 1 => a ≤ 1. Suy ra S = 3a + b = 2a + (a + b) ≤ 2.1 + 1 = 3 Dấu bằng xảy ra khi c 3d 0 1 1 1 a b c d a b a + =   + + + =   + =   =  <=> 1 0 a b c d =   = = =  Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng 1 còn ba số bằng 0 0,5 0,5 8 (1 điểm) Kẻ BH ⊥ ACVì · BAC = 60 0 => · ABH = 30 0 => AH = 2 AB (1) Áp dụng dịnh lí Pytago ta có AB 2 = AH 2 + BH 2 và BC 2 = BH 2 + HC 2 => BC 2 = (AB 2 – AH 2) + CH 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + (AC – AH) 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + AC 2 – 2AH.AC + AH 2 => BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AH.AC (2) Từ (1) và (2) => (ĐPCM) 1,0 9 (1 điểm) Vì a nguyên dương nên ta có 4 a ≡ 1 (mod3) => 4 a + 2 ≡ 0 (mod3) Mà 4 a + 2 ≡ 0 (mod2) => 4 a + 2 M 6 Khi đó ta có 4 a + a + b = 4 a + 2 + a +3 + b + 2011 – 2016 M 6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 3 và b + 2011 chia hết cho 6 thì 4 a + a + b chia hết cho 6 0,5 0,5 K I H N F E C B A H C B A H C B A . Trờng thcs yên lạc ============== đề Thi olympic lầN II. NM HC 2010-2011 Mụn thi : Toỏn 7 Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Cõu 1: Tỡm cỏc s x, . + ⇔ = + − + Vì x nguyên dương và 0 3x ≤p nên { } 1;2;3x∈ Với x = 1 ( loại) VT= 1 2 ; VP = 2 1 2 2 + + Với x = 2 ( thoả mãn) v ì VT= VP = 2 3 Với x = 3 ( loại) VT= 3 4 ; VP = 1 2 Vậy x= 2. ht cho 6. Chng minh rng: 4 a + a + b chia ht cho 6. Ht (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) CHNH THC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ OLYMPIC MÔN: TOÁN 7 Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (1 điểm) a) (x