TRƯỜNG THCS CAO BÁ QUÁT KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (3,0 điểm) a. Cho: 2 2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x − − − = + − − − + − - Rút gọn A. - Tìm x nguyên để A nguyên. b. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c. Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: 6 4212 4 208 8 7216 2 64 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x xx x xx x xx x xx Bài 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất Bài 4:(1,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định. Điểm M di động sao cho ∆ MAB có 3 góc nhọn . Gọi H là trực tâm của ∆ MAB, K là chân đường cao vẽ từ M xuống cạnh AB của ∆ MAB . Tìm vị trí của M để giá trị KM . KH lớn nhất. Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các số x, y, z biết : x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx và 2011201020102010 3=++ zyx Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG MÔN TOÁN 8 Bài 1: (3,0 điểm) Câu a: 2,0 điểm 5 42 )2)(5( 2 2 1 2 − − − −− −− + − = x x xx xx x A Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 )2)(5( 158 )2)(5( 2)(42(25 22 −− −+− = −− −−−−−+− = xx xx xx xxxxx A 2 3 2)(5( )3)(5( − +− = −− −−− = x x xx xx A ( 2) 1 1 1 2 2 x A x x − − + = = − + − − A nguyên khi và chỉ khi 1 2x − nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 ⇒ x=3, hoặc x=1. Câu b : 1,0 điểm ⇔ 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + ac + bc) ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab-2ac-2bc ≥ 0 ⇔ (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức luôn đúng, nên có đpcm Bài 2: (2,0 điểm) ⇔ 6 6)6( 4 4)4( 8 8)8( 2 2)2( 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x x x x x x x x (đk:x )6,4,8,2 −≠−≠−≠−≠ xxx ⇔ 6 6 6 4 4 4 8 8 8 2 2 2 + +++ + ++= + +++ + ++ x x x x x x x x ⇔ 6 6 4 4 8 8 2 2 + + + = + + + xxxx ⇔ 6 3 4 2 8 4 2 1 + + + = + + + xxxx ⇔ )6)(4( 245 )8)(2( 165 ++ + = ++ + xx x xx x ⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8) ⇔ (5x+16)(x 2 +10x + 24) = (5x+24)( x 2 +10x + 16) ⇔ 5x 3 + 50x 2 + 120x + 16x 2 + 160x + 16.24 = 5x 3 + 50x 2 + 80x + 24x 2 + 240x + 24.16 ⇔ 8x 2 + 40x = 0 ⇔ 8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm Bài 3: (3,0 điểm) Câu a: 1,0 điểm A B C D M E F Cõu b: 1,0 im MCF =FED (c.c.c) MCF = FED T MCF = FED chng minh c CM EF Tng t a) c CE BF ED, FB v CM trựng vi ba ng cao ca FEC nờn chỳng ng qui. Cõu c: 1,0 im ME + MF = FA + FD l s khụng i. ME.MF ln nht khi ME = MF Lỳc ú M l trung im ca BD B i 4( 1,0 im) +) AKH ~ MKB +) KM.KH = KB.KA +) 2 2 KA KB AB KA.KB 2 4 + = ữ +) Vậy KM.KH lớn nhất bằng 2 AB 4 khi K là t.rung điểm của BC +.M nằm trên đờng trung trực của AB cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng lớn hơn AB 2 để V MAB nhọn Bi 5 : 1,0 im x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx 2x 2 +2y 2 + 2z 2 2xy 2yz 2zx = 0 (x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 = 0 x y 0 y z 0 z x 0 = = = x y z = = x 2011 = y 2011 = z 2011 Thay vo iu kin (2) ta cú 3.z 2010 = 3 2011 z 2010 = 3 2010 z = 3 Vy x = y = z = 3 H A B M K . xxxx ⇔ 6 3 4 2 8 4 2 1 + + + = + + + xxxx ⇔ )6 )(4 ( 245 )8 )(2 ( 165 ++ + = ++ + xx x xx x ⇔ (5 x+16)(x +4 )( x+6) = (5 x+ 24 )( x+2)(x+8) ⇔ (5 x+16)(x 2 +10x + 24) = (5 x+24 )( x 2 +10x + 16) ⇔ 5x 3 + 50x 2 + 120x. điểm 5 42 )2 )(5 ( 2 2 1 2 − − − −− −− + − = x x xx xx x A Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 )2 )(5 ( 158 )2 )(5 ( 2 )(4 2(2 5 22 −− −+− = −− −−−−−+− = xx xx xx xxxxx A 2 3 2 )(5 ( )3 )(5 ( − +− = −− −−− = x x xx xx A (. 2ab-2ac-2bc ≥ 0 ⇔ (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức luôn đúng, nên có đpcm Bài 2: (2 ,0 điểm) ⇔ 6 6) 6( 4 4) 4( 8 8) 8( 2 2) 2( 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x x x x x x x x ( k:x )6,4,8,2