30 đề thi học sinh giỏi toán lớp 8

ĐỀ S Ố 11 Bài 1: (2điểm) a) Cho 2 2 x 2xy 2y 2x 6y 13 0 − + − + + = .Tính 2 3x y 1 N 4xy − = b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: 3 3 3 A a b c 3abc = + + − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b b c c a c a b A 9 c a b a b b c c a − − −    = + + + + =  ÷ ÷ − − −    Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6 2 4 x 3x 1 y + + = Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: )()()()()()( 222 babacacacbcbcba −++−++−+ b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 111 =++ cba Rút gọn biểu thức: abccabbca N 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + = Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 22 ++−−+= yxxyyxM b) Giải phương trình: 01)5,5()5,4( 44 =−−+− yy Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 34553 22 =+ yx Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: 4 x 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 4 x 5 24 + + + + − b. Giải phương trình: 4 2 x 30x 31x 30 0 − + − = c. Cho a b c 1 b c c a a b + + = + + + . Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c 0 b c c a a b + + = + + + Câu2. Cho biểu thức: 2 2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2   −   = + + − +  ÷  ÷ − − + +     a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| = 1 2 . c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD. a. Chứng minh: DE CF = b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c + + ≥ b. Cho a, b d¬ng vµ a 2000 + b 2000 = a 2001 + b 2001 = a 2002 + b 2002 Tinh: a 2011 + b 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (6 điểm) a. x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2 = (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x 2 + 7x + 11 - 1)( x 2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x 2 + 7x + 11) 2 - 1] - 24 = (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2 = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16) (2 điểm) b. 4 2 x 30x 31x 30 0 − + − = <=> (2 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( ) ( ) ( ) 2 x x 1 x 5 x 6 0 − + − + = (*) Vì x 2 - x + 1 = (x - 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 x ∀  (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0  x 5 0 x 5 x 6 0 x 6 − = =   ⇔   + = = −   c. Nhân cả 2 vế của: a b c 1 b c c a a b + + = + + + với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm (2 điểm) Câu 2 (6 điểm) Biểu thức: 2 2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2   −   = + + − +  ÷  ÷ − − + +     a. Rút gọn được kq: 1 A x 2 − = − (1.5 điểm) b. 1 x 2 = 1 x 2 ⇒ = hoặc 1 x 2 − = 4 A 3 ⇒ = hoặc 4 A 5 = (1.5 điểm) c. A 0 x 2< ⇔ > (1.5 điểm) d. { } 1 A Z Z x 1;3 x 2 − ∈ ⇔ ∈ ⇒ ∈ − (1.5 điểm) Câu 3 (6 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) a. Chứng minh: AE FM DF = = ⇒ AED DFC ∆ = ∆ ⇒ đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC∆ ⇒ đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a⇒ + = không đổi (1 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 AEMF S ME.MF ⇒ = lớn nhất ⇔ ME MF = (AEMF là hình vuông) M⇒ là trung điểm của BD. Câu 4: (2 điểm) a. Từ: a + b + c = 1 ⇒ 1 b c 1 a a a 1 a c 1 b b b 1 a b 1 c c c  = + +    = + +    = + +   1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9       ⇒ + + = + + + + + +  ÷  ÷  ÷       ≥ + + + = Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3 (1 điểm) b. (a 2001 + b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 + b 2000 ).ab = a 2002 + b 2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b 2000 = b 2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a 2000 = a 2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a 2011 + b 2011 = 2 (1 điểm) Câu 1 : (2 điểm) Cho P= 8147 44 23 23 −+− +−− aaa aaa a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Câu 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình : 18 1 4213 1 3011 1 209 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = 3 ≥ −+ + −+ + −+ cba c bca b acb a Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 60 0 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= 4 2 BC b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu 1 : (2 đ) a) (1,5) a 3 - 4a 2 - a + 4 = a( a 2 - 1 ) - 4(a 2 - 1 ) =( a 2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a 3 -7a 2 + 14a - 8 =( a 3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a 2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a 2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 4;2;1 ≠≠≠ aa 0,25 Rút gọn P= 2 1 − + a a 0,25 b) (0,5đ) P= 2 3 1 2 32 − += − +− aa a ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3, mà Ư(3)= { } 3;3;1;1 −− 0,25 Từ đó tìm được a { } 5;3;1 −∈ 0,25 Câu 2 : (2đ) a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25 Ta có a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b) [ ] abbaba 3)2( 22 −++ = =(a+b) [ ] abba 3)( 2 −+ 0,5 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b) 2 -3ab chia hết cho 3 ; Do vậy (a+b) [ ] abba 3)( 2 −+ chia hết cho 9 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x 2 +5x-6)(x 2 +5x+6)=(x 2 +5x) 2 -36 0,5 Ta thấy (x 2 +5x) 2 ≥ 0 nên P=(x 2 +5x) 2 -36 ≥ -36 0,25 Do đó Min P=-36 khi (x 2 +5x) 2 =0 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25 Câu 3 : (2đ) a) (1đ) x 2 +9x+20 =(x+4)(x+5) ; x 2 +11x+30 =(x+6)(x+5) ; x 2 +13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : 7;6;5;4 −≠−≠−≠−≠ xxxx 0,25 Phương trình trở thành : 18 1 )7)(6( 1 )6)(5( 1 )5)(4( 1 = ++ + ++ + ++ xxxxxx 18 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 = + − + + + − + + + − + xxxxxx 18 1 7 1 4 1 = + − + xx 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra a= 2 ; 2 ; 2 yx c zx b zy + = + = + ; 0,5 Thay vào ta được A=       +++++= + + + + + )()()( 2 1 222 y z z y x z z x y x x y z yx y zx x zy 0,25 Từ đó suy ra A )222( 2 1 ++≥ hay A 3 ≥ 0,25 Câu 4 : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : 1 0 1 ˆ 120 ˆ MD −= Vì 2 ˆ M =60 0 nên ta có : 1 0 3 ˆ 120 ˆ MM −= Suy ra 31 ˆˆ MD = Chứng minh BMD ∆ ∾ CEM ∆ (1) 0,5 Suy ra CE CM BM BD = , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= 2 BC , nên ta có BD.CE= 4 2 BC 0,5 b) (1đ) Từ (1) suy ra EM MD CM BD = mà BM=CM nên ta có EM MD BM BD = Chứng minh BMD ∆ ∾ MED ∆ 0,5 Từ đó suy ra 21 ˆˆ DD = , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5 Câu 5 : (1đ) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z 3 2 1 2 1 x y E D M C B A (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x 2 + y 2 = z 2 (2) 0,25 Từ (2) suy ra z 2 = (x+y) 2 -2xy , thay (1) vào ta có : z 2 = (x+y) 2 - 4(x+y+z) z 2 +4z =(x+y) 2 - 4(x+y) z 2 +4z +4=(x+y) 2 - 4(x+y)+4 (z+2) 2 =(x+y-2) 2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x 2 – 4x + 4 = 25 b) 4 1004 1x 1986 21x 1990 17x = + + − + − c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 z 1 y 1 x 1 =++ . Tính giá trị của biểu thức: xy2z xy xz2y xz yz2x yz A 222 + + + + + = Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng 'CC 'HC 'BB 'HB 'AA 'HA ++ b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 222 2 'CC'BB'AA )CABCAB( ++ ++ đạt giá trị nhỏ nhất? ĐÁP ÁN • Bài 1 (3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) • Bài 2 (1,5 điểm): [...]... gúc AIB Chng minh rng: AN.BI.CM = BN.IC.AM ( AB + BC + CA) 2 4 c) Chng minh rng: AA'2 + BB'2 + CC' 2 P N THI CHN HC SINH GII Bi 1(3 im): a) Tớnh ỳng x = 7; x = -3 (1 im ) b) Tớnh ỳng x = 2007 (1 im ) 2x.2x 4.2x 8. 2x + 4 .8 = 0 c) 4x 12.2x +32 = 0 ( 0,25im ) 2x(2x 4) 8( 2x 4) = 0 (2x 8) (2x 4) = 0 ( 0,25im ) (2x 23)(2x 22) = 0 2x 23 = 0 hoc 2x 22 = 0 ( 0,25im ) 2x = 23 hoc 2x = 22 x =... 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2010 ) Bi 2: x 241 x 220 x 195 x 166 + + + = 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1+ 2+ 3+ 4=0 17 19 21 23 x 2 58 x 2 58 x 2 58 x 2 58 + + + =0 17 19 21 23 1 1 1 1 ( x 2 58 ) + + + ữ = 0 17 19 21 23 x = 2 58 Bi 3: 2 2 ( 2009 x ) + ( 2009 x ) ( x 2010 ) + ( x 2010 ) ( 2009 x ) 2 ( 2009 x ) ( x 2010 ) + ( x 2010 ) 2 = 19 49 KX: x 2009; x 2010 ... (0,25) b) (1) T giỏc BDEC cú din tớch nh nht 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 AB 1 AB 2 AB2 AB AB AB2 2 = (AD 2 AD + )+ = (AD ) + 2 2 2 4 4 8 8 2 2 2 3 AB AB Vy SBDEC = SABC SADE = AB2 khụng i 8 2 8 Ta cú: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB AD)= (AD2 AB.AD) (0,25) (0,25) 3 8 Do ú min SBDEC = AB2 khi D, E ln lt l trung im AB, AC (0,25) (0,25) Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y b) 2x2... AOB OB S BOC OB S S = = AOB = BOC S AOB S DOC = S BOC S AOD , S S AOD OD OD S AOD S DOC DOC Chng minh c S AOD = S BOC S AOB S DOC = ( S AOD ) 2 Thay s cú 20 082 .20092 = (SAOD)2 SAOD = 20 08. 2009 Do ú SABCD= 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = (20 08 + 2009)2 = 40172 (n v DT) 0,5 0,5 0,5 0,5 Bi 1: Cho x = a 2 (b c ) 2 b2 + c2 a 2 ;y= (b + c) 2 a 2 2bc Tớnh giỏ tr P = x + y + xy Bi 2: Gii phng trỡnh: 1... + = + + 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75) x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + =0 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 ( x + 2009)( 1 1 1 1 1 1 + + ) = 0 (0,5) 20 08 2007 2006... 0,25 B N M A I D C a,(1 im) Chng minh c t giỏc AMNI l hỡnh thang Chng minh c AN=MI, t ú suy ra t giỏc AMNI l hỡnh thang cõn b,(2im) 0,5 4 3 8 3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD = cm 2 3 4 3 cm Tớnh c NI = AM = 3 1 8 3 4 3 DC = BC = cm , MN = DC = cm 2 3 3 8 3 cm Tớnh c AI = 3 Tớnh c AD = 0,5 0,5 0,5 B A M D 0,5 0,5 O N C Bi 6 (5 im) a, (1,5 im) OM OD ON OC = = , AB BD AB AC OD OC = Lp lun cú DB... KX: x 2009; x 2010 t a = x 2010 (a 0), ta cú h thc: 2 ( a + 1) ( a + 1) a + a 2 = 19 a 2 + a + 1 19 = 2 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 8a 2 + 8a 30 = 0 3 a= 2 2 ( 2a + 1) 42 = 0 ( 2a 3) ( 2a + 5 ) = 0 (tho K) 5 a = 2 ... MN c, Bit SAOB= 20 082 (n v din tớch); SCOD= 20092 (n v din tớch) Tớnh SABCD ỏp ỏn Bi 1( 4 im ) a, ( 2 im ) Vi x khỏc -1 v 1 thỡ : 0,5 A= 1 x3 x + x2 (1 x)(1 + x) : 1 x (1 + x)(1 x + x 2 ) x(1 + x) 0,5 (1 x)(1 + x + x 2 x) (1 x)(1 + x) : 1 x (1 + x)(1 2 x + x 2 ) 1 2 = (1 + x ) : (1 x) = (1 + x 2 )(1 x) = 0,5 0,5 b, (1 im) 2 5 = thỡ A = 3 3 25 5 = (1 + )(1 + ) 9 3 34 8 272 2 = = = 10 9... x2 + 8x x (2 x) = (2 x)(2 + x) x 3 = 0,5 4 x( x + 2) x(2 x) 4x2 = (2 x)(2 + x)( x 3) x 3 0,25 Vy vi x 0, x 2, x 3 thỡ A = 4x 2 x 3 0,25 b 1,0 Vi x 0, x 3, x 2 : A > 0 x3 > 0 x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x3 Vy vi x > 3 thỡ A > 0 c x 7 = 4 x7 = 4 x 7 = 4 2 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 x = 11(TMDKXD ) x = 3( KTMDKXD ) Vi x = 11 thỡ A = 0,25 121 2 0,25 Bi 3 a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 18x... 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + =0 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 ( x + 2009)( 1 1 1 1 1 1 + + ) = 0 (0,5) 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25) Vỡ 1 1 1 1 < < ; ; 20 08 2005 2007 2004 1 1 < 2006 2003 1 1 1 1 1 1 Do ú : 20 08 + 2007 + 2006 2005 2004 2003 < 0 (0,25) Vy x + 2009 = 0 x = E I -2009 2 1 Bi 3: (2 im) B C a) (1) Chng minh EDF vuụng cõn Ta cú ADE = CDF (c.g.c) EDF cõn ti D O