BOI DUONG HSG TOAN

E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh NI DUNG BI DNG HC SINH GII Lơng Sơn: 4- 2011 DNG 1: RT GN TNH GI TR CA BIU THC. chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 1 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh Bi 1: Cho biu thc P = ( ) ( ) 3 a1 2 2 a a12 1 a12 1 + + + a) Rỳt gn P. b) Tỡm Min P. Bi 2: Cho x, y l hai s khỏc nhau tha món: x 2 + y = y 2 + x Tớnh giỏ tr biu thc : P = 1 -xy xy 2 y 2 x ++ Bi 3: Tớnh giỏ tr biu thc Q = yx y-x + Bit x 2 -2y 2 = xy v x 0; x + y 0 Bi 4: Cho biu thc P = 3x 3x2 x-1 2x3 3x2x 11x15 + + + + a) Tỡm cỏc giỏ tr ca x sao cho P = 2 1 b) Chng minh P 3 2 Bi 5: Cho biu thc P = a 2a 2a 1a 2aa 39a3a 1 + + + + + a) Rỳt gn P. b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a P nguyờn. Bi 6: Cho biu thc P = 2 a 16 a 8 -1 4-a4a4-a4a + ++ a) Rỳt gn P. b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a (a >8) P nguyờn. Bi 7: Cho biu thc P = + 1a 2 1a 1 : aa 1 1a a a) Rỳt gn P. b) Tớnh giỏ tr P khi a = 3 + 2 2 c) T ỡm cỏc giỏ tr ca a sao cho P < 0. chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 2 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh Bi 8: Cho biu thc P = + x 2 x2x 1x : x4 8x x2 x4 a) Rỳt gn P. b) Tớnh x P = -1 c) T ỡm m vi mi giỏ tr x > 9 ta cú m( x - 3)P > x + 1. Bi 9: Cho biu thc P = + + ++ xy yx xxy y yxy x : yx xy -y x a) Tỡm x, y P cú ngha. b) Rỳt gn P. c) Tỡm giỏ tr ca P vi x = 3, y = 4 + 2 3 Bi 10: Cho biu thc P = x 2007x 1x 14xx 1x 1-x 1x 1x 2 2 + + + + a) Tỡm x P xỏc nh. b) Rỳt gn P. c) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P nguyờn. Bi 11: Rỳt gn P. P = 2 224 22 22 22 22 b baa4 : baa baa baa baa + + Vi | a | >| b | > 0 Bi 12: Cho biu thc P = 2 2 x1 . 1x2x 2x 1x 2x ++ + a) Rỳt gn P. b) Chng minh rng nu 0 < x < 1 thỡ P > 0. c) Tỡm GTLN ca P. Bi 13: Chng minh giỏ tr ca biu thc P = 6x5x 10x 3x4x 1x5 2x3x 2x ++ + + ++ + + ++ Khụng ph thuc vo bin s x. Bi 13: Chng minh giỏ tr ca biu thc chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 3 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh P = x x x ++ + + 52.549 347.32 4 63 Khụng ph thuc vo bin s x. Bi 15: Cho biu thc P = 1x 1xx xx 1xx xx 22 ++ + + ++ Rỳt gn P vi 0 x 1 . Bi 16: Cho biu thc P = 1x )12(x x x2x 1xx xx 2 + + ++ a) Rỳt gn P. b) Tỡm GTNN ca P c) Tỡm x biu thc Q = P x2 nhn giỏ tr l s nguyờn. Bi 17: Cho biu thc P = 1x2 x 1x2x 1x 1x xx 1xx xxx2x + + + + a) Tỡm x P cú ngha b) Rỳt gn P. c) Vi giỏ tr no ca x thỡ biu thc P t GTNN v tỡm GTNN ú. Bi 18: Rỳt gn biu thc P = 5310 53 5310 53 + ++ + Bi 19: Rỳt gn biu thc a) A = 7474 + b) B = 5210452104 ++++ c) C = 532154154 ++ Bi 20: Tớnh giỏ tr biu thc P = 123412724 ++++ xxxx Vi 2 1 x 5. Bi 21: Chng minh rng: chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 4 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh P = 26 4813532 + ++ l mt s nguyờn. Bi 22: Chng minh ng thc: 1 2 3 11 2 3 1 2 3 11 2 3 1 = + ++ + Bi 23: Cho x = 3 725 3 725 + Tớnh giỏ tr ca biu thc f(x) = x 3 + 3x Bi 24: Cho E = yx xy1 yx xy1 + + Tớnh giỏ tr ca E bit: x = 222.222.84 ++++ y = 45272183 2012283 + + Bi 25: Tớnh P = 2008 2007 2 2008 2 2007 2 20071 + + + Bi 26: Rỳt gn biu thc sau: P = 51 1 + + 95 1 + + + 20052001 1 + Bi 27: Tớnh giỏ ri ca biu thc: P = x 3 + y 3 - 3(x + y) + 2004 bit rng x = 3 223 3 223 ++ y = 3 21217 3 21217 ++ Bi 28: Cho biu thc A = + + + a aa a a a a 1 4 1 1 1 1 a) Rỳt gn A. b) Tớnh A vi a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 154 Bi 29: Cho biu thc A = ( ) ( ) ( ) ++ 1 1 1 14 1414 2 x xx xxxx a) x = ? thỡ A cú ngha. chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 5 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh b) Rỳt gn A. Bi 30: Cho biu thc P = xxx x xx x + + +++ + + + + 1 1 11 11 11 11 a) Rỳt gn P. b) So sỏnh P vi 2 2 . Bi 31: Cho biu thc P = 1 2 1 3 1 1 + + + + xxxxx a) Rỳt gn P. b) Chng minh: 0 P 1. Bi 32: Cho biu thc P = a a a a aa a + + + 3 12 2 3 65 92 a) Rỳt gn P. b) a = ? thỡ P < 1 c) Vi giỏ tr nguyờn no ca a thỡ P nguyờn. Bi 33: Cho biu thc P = x x yxyxx x yxy x + 1 1 22 2 2 a) Rỳt gn P. b) Tớnh P bit 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bi 34: Cho biu thc P = x x yxyxx x yxy x + 1 1 22 2 2 a) Rỳt gn P. b) Tớnh P bit 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bi 35: Cho biu thc P = yxxy yyxxyx yx yxyx 33 33 : 11211 + +++ ++ + + a) Rỳt gn P. b) Cho xy = 16. Tỡm Min P. chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 6 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh DNG 2: BIN I NG NHT. Bi 1: Cho a > b > 0 tha món: 3a 2 +3b 2 = 10ab. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = ba ba + Bi 2: Cho x > y > 0 v 2x 2 +2y 2 = 5xy Tớnh giỏ tr biu thc E = yx yx + Bi 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 v xyz 0 Tớnh giỏ tr biu thc: M = 222 z xy y xz x yz ++ Bi 4: Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = + + + a c c b b a 111 Bi 5: a) Phõn tớch thnh nhõn t: (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 -z 3 b) Cho cỏc s x, y, z tha món iu kin x + y + z = 1 v x 3 + y 3 + z 3 = 1 . Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bi 6: Cho a + b + c = 0 v a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = a 4 + b 4 + c 4 Bi 7: Cho a, b l cỏc s thc dng tha món: a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 Tớnh giỏ tr ca biu thc P = a 2007 + b 2007 Bi 8: Cho 1=+ b y a x v 2 = ab xy . Tớnh 3 3 3 3 b y a x + Bi 9: Cho a + b + c = 0 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P = 222222222 111 cbabcaacb + + + + + Bi 10: Cho bab y a x + =+ 1 4 4 ; x 2 + y 2 = 1. Chng minh rng: a) bx 2 = ay 2 ; b) 10041004 2008 1004 2008 )( 2 bab y a x + =+ chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 7 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh Bi 11: Chng minh rng nu xyz = 1 thỡ: xzzyzyxyx ++ + ++ + ++ 1 1 1 1 1 1 = 1 Bi 12: Cho a + b + c = 0. Tớnh giỏ tr biu thc: A = (a b)c 3 + (c a)b 3 + (b c)a 3 Bi 13: Cho a, b, c ụi mt khỏc nhau. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = ))(())(())(( 222 acbc c abcb b caba a + + Bi 14: Gi a, b, c l di ba cnh mt tam giỏc. Cho bit (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chng minh: Tam giỏc ó cho l tam giỏc u. Bi 15: Chng minh rng: Nu a,b,c khỏc nhau thỡ: accbbabcac ba abcb bc caba cb + + = + + 222 ))(())(())(( Bi 16: Cho bit a + b + c = 2p Chng minh rng: ))()(( 1111 cpbpapp abc pcpbpap = + + Bi 17: Cho a, b khỏc 0 tha món a + b = 1. Chng minh : 3 )2(2 11 2233 + = + ba ab a b b a Bi 18: Cho 1=++ c z b y a x v 0=++ z c y b x a Tớnh giỏ tr biu thc A = 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ Bi 19: Cho a, b, c ụi mt khỏc nhau v 0= + + ba c ac b cb a Tớnh giỏ tr ca P = 222 )()()( ca c ac b cb a + + Bi 20: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) x(y 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) b) x(y + z) 2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 4xyz Bi 21: Cho ba s phõn bit a, b,c. Chng minh rng biu thc A = a 4 (b c) + b 4 (c a) + c 4 (a b) luụn khỏc 0. Bi 22: Cho bn s nguyờn tha món iu kin: a + b = c + d v ab + 1 = cd Chng minh: c = d. Bi 23: Cho x , y l cỏc s dng tha món iu kin: 9y(y x) = 4x 2 . Tớnh giỏ tr biu thc: A = yx yx + Bi 24: Cho x, y l cỏc s khỏc khỏc 0 sao cho 3x 2 y 2 = 2xy. chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 8 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh Tớnh giỏ tr ca phõn thc A = 22 6 2 yxyx xy ++ Bi 25: Cho x, y, z khỏc 0 v a, b, c dng tho món ax + by + cz = 0 v a + b +c = 2007. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = 222 222 )()()( yxabzxaczybc czbyax ++ ++ Bi 26: Cho x, y, z khỏc 0 v x + y + z = 2008. Tớnh giỏ tr biu thc: P = ))(())(())(( 333 xzyz z zyxy y zxyx x + + Bi 27: Cho =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 zyx zyx zyx Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = x 2007 + y 2007 + z 2007 . Bi 28: Cho a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = [ ] [ ] 22 22 )()( )()( bcacba cbacba ++ ++ Bi 29: Cho biu thc P = (b 2 + c 2 a 2 ) 2 4b 2 c 2 . Chng minh rng nu a, b, c l ba cnh ca mt tam giỏc thỡ P < 0. Bi 30: Cho cỏc s dng x, y ,z tha món: =++ =++ =++ 15 8 3 zxzx zyyz zyxy Tớnh giỏ tr biu thc: P = x + y + z. Bi 31: Cho cỏc s x, y, z tha món h phng trỡnh: =++ =++ 1 1 333 222 zyx zyx Tớnh giỏ tr biu thc P = xyz. ( thi HSG tnh 2003) Bi 32: a) Thu gn biu thc: P = 432 48632 ++ ++++ b) Tớnh giỏ tr biu thc: Q = yx yx + Bit x 2 2y 2 = xy v y 0 , x + y 0. ( thi HSG tnh 2004-2005) Bi 33: Chng minh rng nu: x + y + z = 0 thỡ: 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) ( thi HSG tnh 2005-2006) Bi 34: Cho a, b, c l ba s dng tha món iu kin: a 2 = b 2 + c 2 . a) So sỏnh a v b + c. b) So sỏnh a 3 v b 3 + c 3 . ( thi HSG tnh 2006-2007) Bi 35: 1) Gii phng trỡnh: x 3 -6x 40 = 0 chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 9 E = mc 2 Lng Sn -Hũa Bỡnh 2) Tớnh A = 33 2142021420 ++ ( thi HSG tnh 2006-2007) DNG 3: PHNG TRèNH BC HAI. Bi 1: Cho phng trỡnh n s x: x 2 2(m 1)x 3 m = 0 (1) a) Gii phng trỡnh khi m = 2. b) Chng t rng phng trỡnh cú nghim s vi mi m. c) Tỡm m sao cho nghim s x 1, x 2 ca phng trỡnh tha món iu kin 2 1 x + 2 2 x 10. Bi 2: Cho cỏc s a, b, c tha iu kin: ( ) +<+ > acbcabac c 2 0 2 Chng minh rng phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 luụn luụn cú nghim. Bi 3: Cho a, b, c l cỏc s thc tha iu kin: a 2 + ab + ac < 0. Chng minh rng phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghim phõn bit. Bi 4: Cho phng trỡnh x 2 + px + q = 0. Tỡm p, q bit rng phng trỡnh cú hai nghim x 1 , x 2 tha món: = = 35 5 3 2 3 1 21 xx xx Bi 5: CMR vi mi giỏ tr thc a, b, c thỡ phng trỡnh (x a)(x b) + (x c)(x b) + (x c)(x a) = 0 luụn cú nghim. Bi 6: CMR phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) cú nghim bit rng 5a + 2c = b Bi 7: Cho a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc. CMR phng trỡnh sau cú nghim: (a 2 + b 2 c 2 )x 2 - 4abx + (a 2 + b 2 c 2 ) = 0 Bi 8: CMR phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) cú nghim nu 4 2 + a c a b Bi 9: Cho phng trỡnh : 3x 2 - 5x + m = 0. Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim tha món: 2 1 x - 2 2 x = 9 5 Bi 10: Cho phng trỡnh: x 2 2(m + 4)x +m 2 8 = 0. Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x 1 , x 2 tha món: a) A = x 1 + x 2 -3x 1 x 2 t GTLN b) B = x 1 2 + x 2 2 - t GTNN. c) Tỡm h thc liờn h gia x 1 , x 2 khụng ph thuc vo m. Bi 11: Gi s x 1 , x 2 l hai nghim ca phng trỡnh bc 2: 3x 2 - cx + 2c - 1 = 0. Tớnh theo c giỏ tr ca biu thc: S = 3 2 3 1 11 xx + Bi 12: Cho phng trỡnh : x 2 - 2 3 x + 1 = 0. Cú hai nghim l x 1 , x 2. Khụng gii phng trỡnh trờn hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 10 [...]... 2(x2 + 2) = 5 x 3 + 1 ( thi HSG 1998) x5 Bi 29: x 14 3+ x 5 =3 Bi 30: x4 - 4 3 x -5 = 0 ( thi HSG 2000) Bi 31: x4 + 4 5x = 0 x2 2 Bi 32: Bi 33: Bi 34: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x ( thi HSG 2005) a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x + 3 b) 3 x 3 + 8 = 2x2 - 6x + 4 c) 2 x + Bi 35: Bi 36: ( thi HSG V2 2003) 3 4 =2 2 x +3 x... 20: Bi 21: Bi 22: Bi 23: Bi 24: Bi 25: Bi 26: Bi 27: Bi 28: x 1 = 8( thi HSG V1 2004) x x 1 5 x 1 = 3x 2 x +1 + 3 7 x = 2 x2 + 3 x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2 3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 +7 x + 7 = 2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x -... trc s 3 Bi 9) Cho a, b, c tha món h thc 2a + 3b = 5 CMR: 2a2 + 3b2 5 Bi 10) Cho a, b l hai s tha món iu kin: a + 4b = 1 CM: a2 + 4b2 1 Du ng thc xy ra khi no? ( thi HSG 2003) 5 Bi 11) Chng minh: 2 2+ 2+ 2+ 2 2 2+ 2+ 2 < 1 3 ( thi HSG 2001) Bi 12) Chng minh: a) (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) (ax + by)2 b) 0 < x 2 + 4 x 2 chúc các thày và các em học tập đạt kết quả cao Tri thc l vụ tn 14 mc2 E = Lng... giỏc thỡ: a b c + + < 2 b+c c+a a+b Bi 27) Cho cỏc s dng a, b tha món iu kin a + b = 1 1 1 Chng minh rng: 1 + 1 + 9 a b ( thi HSG V2 2003 - 2004) Bi 28) Chng minh bt ng thc sau õy ỳng vi mi x, y l cỏc s thc bt k khỏc 0: x y x2 y2 + 2 + 4 3 + 2 y x y x ( thi HSG V2 2006 - 2007) DNG 6: CC TR Bi 1) Cho hai s thc x, y tha món iu kin: x2 + y2 = 1 Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc A = x + y Bi 2) Cho... Bi 19) CMR nu a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thỡ: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bi 20) Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l a, b, c v cú chu vi l 2 CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( thi HSG 2004-2005) Bi 21) Cho a, b l 2 s thc tha món iu kin: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b 10 Bi 22) Cho a, b l cỏc s thc tha món iu kin a2 + b2 = 4 + ab CMR: 8 a2 + b2 8 3 Du bng xy ra khi no? Bi . trỡnh: 2(x 2 + 2) = 5 1 3 +x ( thi HSG 1998) Bi 29: 3 53 14 5 = + x x x Bi 30: x 4 - 4 3 x -5 = 0 ( thi HSG 2000) Bi 31: 05 2 4 2 4 = + x x x ( thi HSG V2 2003) Bi 32: a) x 4 - 4x 3 . 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) ( thi HSG tnh 2005-2006) Bi 34: Cho a, b, c l ba s dng tha món iu kin: a 2 = b 2 + c 2 . a) So sỏnh a v b + c. b) So sỏnh a 3 v b 3 + c 3 . ( thi HSG tnh 2006-2007) Bi 35:. biu thc P = xyz. ( thi HSG tnh 2003) Bi 32: a) Thu gn biu thc: P = 432 48632 ++ ++++ b) Tớnh giỏ tr biu thc: Q = yx yx + Bit x 2 2y 2 = xy v y 0 , x + y 0. ( thi HSG tnh 2004-2005) Bi