Phßng GD&§T Chpr«ng Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh §Ị thi Häc sinh giái Líp 8 N¨m häc :2010-2011 M«n: To¸n Thêi gian :90 phót Điểm Lời phê của giáo viên ĐỀ Câu1 (2điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 4 x 4+ b. x 3 – 5x 2 + 8x – 4 Câu 2 (2 điểm). a. chøng minh r»ng : a) 2 22 22 + ≥ + baba b. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c + + ≥ C©u 3: (4 điểm). Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ; BC = a ; AC = b . VÏ c¸c ®êng ph©n gi¸c BD, CE a. Chøng minh r»ng DE // BC b. TÝnh DE tõ ®ã suy ra baDE 111 += C©u 4 (2 điểm). : a. T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n x 2 = y 2 + 2y +13 b. Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số ngun liên tiếp chia hết cho 9. ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM Câu 1 a) x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2 = (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x) b) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 -4x 2 + 4x – x 2 +4x – 4 = x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) Câu 2: a) Ta xÐt hiÖu: 2 22 22 + − + baba = ( ) 4 2 4 2 2222 bababa ++ − + = ( ) abbaba 222 4 1 2222 −−−+ = ( ) 0 4 1 2 ≥−ba . VËy 2 22 22 + ≥ + baba ; DÊu b»ng x¶y ra khi a = b. b) Từ: a + b + c = 1 ⇒ 1 b c 1 a a a 1 a c 1 b b b 1 a b 1 c c c = + + = + + = + + 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 ⇒ + + = + + + + + + ÷ ÷ ÷ ≥ + + + = Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3 ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) Câu 3: Vẽ hình đúng a) à à 1 2 B B= a b BC BA DC AD == (1) à à 1 2 C C= AE CA b EB CB a = = (2) Từ (1) và (2) suy ra AD AE DC EB = DE//BC b) DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD BC AC = hay x b x a b = => ax +bx =ab ; x = ab a b+ = DE Suy ra 1 1 1a b DE ab a b + = = + 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 4 a) -HS biến đổi đợc x 2 = y 2 + 2y +13 x 2 = (y + 1) 2 + 12 (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y N * nên (x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số nguyên dơng chẵn. Mà 12 = 2.6 Chỉ xảy ra một trờng hợp (x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2 x = 4 và y = 1 b) Gi 3 s nguyờn liờn tip l n-1; n; n+1 ( n Z ) Ta cú ( n-1) 3 +n 3 + ( n+1) 3 = 3n 3 +6n = 3n 3 -3n +9n = 3n(n 2 -1) +9n = 3n (n-1) (n+1) +9n Vỡ 9 9 3 ( 1)( 1) 9 n n n n + M M 3n (n-1) (n+1) + 9n M 9 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ x 2 1 2 1 x A B C D E . Phßng GD&§T Chpr«ng Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh §Ị thi Häc sinh giái Líp 8 N¨m häc :2010-2011 M«n: To¸n Thêi gian :90 phót Điểm Lời phê của giáo viên ĐỀ Câu1. viên ĐỀ Câu1 (2điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 4 x 4+ b. x 3 – 5x 2 + 8x – 4 Câu 2 (2 điểm). a. chøng minh r»ng : a) 2 22 22 + ≥ + baba b. Cho 3 số dương. 4 - 4x 2 = (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x) b) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 -4x 2 + 4x – x 2 +4x – 4 = x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) = ( x – 1 )