Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ Hệ phương trình trong các đề thi đại học 1. Gii hệ phương trình: 2 0 1 2 1 1 x y xy x y − − = − − − = Giải: 1. §k: 1 1 2 x y ≥ ≥ (1) ( ) 0 ( )( 2 ) 0 2 0 2 0( ) x y y xy x y x y x y x y x y voly ⇔ − − + = ⇔ + − = − = ⇔ ⇔ = + = ⇔ x = 4y Thay vµo (2) cã 4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) 2 1 0 2 2 5 10 2 1 2 ( ) 2 y y y y y y y y y y tm y x x y y tm − − − = ⇔ − = − + ⇔ − = − + − + ⇔ − = − = − = = ⇔ ⇔ ⇒ = − = = V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 2. Gii hệ phương trình: 3 3 2 2 3 x y 1 x y 2xy y 2 + = + + = Giải: ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 3 3 2x 2 x y y x y x x y 2. 1 3 1 3 2y 2x x y y x x y 4 x y 2 x y xy 2 xy 1 3 1 3 2x 2x y x y x x y 1 3 x y 1 2x x x x y 1 2 x 2, y 2 y x x 2, y 2 x 3 2x 2 x + = − + − = − ÷ ÷ ⇔ + = + = = − − =− =− ⇔ ⇔ + = + = = = = + = = =− ⇔ ⇔ = =− =− =− = − = Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 1 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ 3. Gii hệ phương trình: 2 5 3 x y x y y x y + + − = + = (x, y∈ R) Giải: ĐK: x + y ≥ 0 , x - y ≥ 0, y ≥ 0 PT(1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 4 2x x y y x y y x+ − = ⇔ − = − 2 2 0 (3) 5 4 (4) y x y xy − ≥ ⇔ = Từ PT(4) ⇔ y = 0 v 5y = 4x Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có 2 3 1x x x+ = ⇔ = KL: HPT có 1 nghiệm 4 ( ; ) 1; 5 x y = ÷ 4.Gii hệ phương trình: 2 2 2 2 1 4 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y + + + = + = + + , ( , )x y ∈R . Giải: 0y ≠ , ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 . ( ) 2 7 2 1 ( ) 2 7 x x y y x y xy y y x y x y x x y y + + + = + + + = ⇔ + = + + + + − = Đặt 2 1 , x u v x y y + = = + ta có hệ: 2 2 4 4 3, 1 2 7 2 15 0 5, 9 u v u v v u v u v v v u + = = − = = ⇔ ⇔ − = + − = = − = +) Với 3, 1v u= = ta có hệ: 2 2 2 1, 2 1 1 2 0 2, 5 3 3 3 x y x y x y x x x y x y y x y x = = + = + = + − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = + = = − = − . +) Với 5, 9v u= − = ta có hệ: 2 2 2 1 9 1 9 9 46 0 5 5 5 x y x y x x x y y x y x + = + = + + = ⇔ ⇔ + = − = − − = − − , hệ này vô nghiệm. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = − 5. Gii hệ phương trình : 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy − + = − + = − Giải: *Biến đổi hệ tương đương với 2 2 3 3 2 ( ) 1 ( ) 1 x xy x y x y x xy − = − − − = − *Đặt ẩn phụ 2 3 x xy u x y v − = = , ta được hệ 2 1 1 u v v u = − − = − *Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) 6. Gii hệ phương trình: 2 5 3 x y x y y x y + + − = + = (x, y∈ R) Giải: ĐK: x + y ≥ 0 , x - y ≥ 0, y ≥ 0 Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 2 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ PT(1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 4 2x x y y x y y x+ − = ⇔ − = − 2 2 0 (3) 5 4 (4) y x y xy − ≥ ⇔ = Từ PT(4) ⇔ y = 0 v 5y = 4x Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có 2 3 1x x x+ = ⇔ = KL: HPT có 1 nghiệm 4 ( ; ) 1; 5 x y = ÷ 7. Gii hệ phương trình 2 2 2 1 2 2 2 2 x x y y y x y + − = − − = − Giải: ĐK : 0y ≠ hệ 2 2 1 2 2 0 2 1 2 0 x x y x y y + − − = ⇔ + − − = đưa hệ về dạng 2 2 2 2 0 2 2 0 u u v v v u + − − = + − − = 2 1 1 1 2 2 0 3 7 3 7 2 2 , 1 7 1 7 2 2 u v u v u v u v v v u u u v v = = = = − ⇔ ⇔ = = − + − − = − + = = − + − − = = Từ đó ta có nghiệm của hệ (-1 ;-1),(1 ;1), ( 3 7 2 ; 2 7 1 − − ), ( 3 7 2 ; 2 7 1 + + ) 8.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 1 4 6 4 6 x y x y + + − = + + + = Giải: §iÒu kiÖn: x ≥ -1, y ≥ 1 Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ 1 6 1 4 10 6 1 4 1 2 x x y y x x y y + + + + − + + = + − + + + − − = §Æt u= 1 6x x + + + , v = 1 4y y − + + . Ta cã hÖ 10 5 5 2 u v u v + = + = ⇒ { 5 5 u v = = ⇒ { 3 5 x y = = lµ nghiÖm cña hÖ 9. Giải hệ phương trình: 2 8 2 2 2 2 log 3log ( 2) 1 3 x y x y x y x y + = − + + + − − = . Giải: Điều kiện: x+y>0, x-y>0 Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 3 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 log 3log (2 ) 2 1 3 1 3 x y x y x y x y x y x y x y x y + = + − + = + − ⇔ + + − − = + + − − = Đặt: u x y v x y = + = − ta có hệ: 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 2 2 3 3 2 2 u v u v u v uv u v u v uv uv − = > + = + ⇔ + + + + − = − = 2 2 4 (1) ( ) 2 2 3 (2) 2 u v uv u v uv uv + = + ⇔ + − + − = . Thế (1) vào (2) ta có: 2 8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = ⇔ + + = + ⇔ = . Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0 4 uv u v u v = ⇔ = = + = (vỡ u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m) KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2). 10. Gii hệ phương trình : 2 2 2 2 3 2 2010 2009 2010 3log ( 2 6) 2log ( 2) 1 y x x y x y x y − + = + + + = + + + Giải: 2 2 2 2 3 2 2010 2009 (1) 2010 3log ( 2 6) 2log ( 2) 1(2) y x x y x y x y − + = + + + = + + + +) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0 +) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt: 2 2 2 2 2009 2009 log ( 2010) log ( 2010)x x y y + + = + + +) Xét và CM HS 2009 ( ) log ( 2010), 0f t t t t = + + ≥ đồng biến, từ đó suy ra x 2 = y 2 ⇔ x= y, x = - y +) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t Đưa pt về dạng 1 8 1 9 9 t t + = ÷ ÷ , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1 ⇒ x = y =7 +) Với x = - y thế vào (2) được pt: log 3 (y + 6) = 1 ⇒ y = - 3 ⇒ x = 3 11. Tìm m để hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = có nghiệm thực Giải: Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 4 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ 2/. 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ y = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 0x x m− − + = Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 đạt 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 12. Cho hệ phương trình : 3 3 x y m(x y) x y 2 + = + − = Tìm tất c các giá trị của m để hệ phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) và (x 3 ; y 3 ) sao cho x 1 , x 2 , x 3 lập thành một cấp số cộng. Giải: (I) 3 3 x y m(x y) (1) x y 2 (2) + = + − = (2) ⇔ y = x − 2 thay vào (1) ta có : (2x - 2)[x 2 - 2x + 4 - m] = 0 ⇔ 2 x 1 x 2x 4 m 0(*) = − + − = Nhận xét : Nếu pt (*) có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thì : x 1 < 1 < x 2 và x 1 + x 2 = 2 YCBT ⇔ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = 1 - 4 + m > 0 ⇔ m > 3. 13.Cho hệ phương trình : 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 lập thành cấp số cộng ( ) 0d ≠ .Đồng thời có hai số x i thỏa mãn i x > 1 Giải: 2.Cho hệ phương trình : 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 lập thành cấp số cộng ( ) 0d ≠ .Đồng thời có hai số x i thỏa mãn i x > 1 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − ⇔ 2 2 ( )( ) 0 1 x y x y xy m x y − + + − = + = − Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 5 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ ⇔ 2 1 2 1 ( ) 1 0 x y y x x x x m ϕ = = − = − − = + + − = Trước hết ( )x ϕ phải có 2 nghiệm pbiệt x 1 ; x 2 ⇔ 3 4 3 0 4 m m∆ = − ⇔ Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng. +Trường hợp 1 : 1 2 − ; x 1 ; x 2 +Trường hợp 2 : x 1 ; x 2 ; 1 2 − +Trường hợp 3 : x 1 ; 1 2 − ; x 2 Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có 1 2 1 2 1 1 x x x x m + == − = − đúng với mọi m > 3 4 Đồng thời có hai số x i thỏa mãn i x > 1 ta cần có thêm điều kiện sau 2 1 4 3 1 4 3 3 3 2 m x m m − + − = ⇔ − ⇔ Đáp số : m > 3 14. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm : x+1 1 2 1 y a x y a + − = + = + Giải: b)(1 điểm) đ/k 1; 1x y≥ − ≥ .Bất pt ⇔ 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 x y a x y a + + − = + + − = + 2 1 1 1 1. 1 (2 1) 2 x y a x y a a + + − = ⇔ + − = − + ; Vậy 1x + và 1y − là nghiệm của p/t: T 2 2 1 ( 2 1) 0* 2 aT a a− + − − = .Rõ ràng hệ trên có nghiệm khi p/t* có 2 nghiệm không âm 2 2 2 0 2( 2 1) 0 0 0 1 2 2 6 0 1 ( 2 1) 0 2 a a a S a a P a a ∆ ≥ − − − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≤ ≤ + ≥ − − ≥ Bài tập Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 6 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ 1.Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y + + − = − = 2.Gi¶i hệ ph¬ng tr×nh : =−−+ =− 1)23(log)23(log 549 35 22 yxyx yx 3. Giải hệ phương trình : + + = + + − = 2 (3 2 )( 1) 12 2 4 8 0 x x y x x y x 4. Gi¶i hệ ph¬ng tr×nh : =−−+ +=+ 3log)log()log( 8log1)log( 22 yxyx yx 5. Giải hệ phương trình : + = + − = 2 2 2 2 2 6 1 5 0 y xy x x y x 6. Giải hệ phương trình : − − = + + = + − 2 2 2 2 2 2 1 x y xy x y x y y x y x 7. Giải hệ phương trình : ( ) 3 3 2 2 8 2 3 3 1 x x y y x y − = + − = + 8. Giải hệ phương trình : + = + + = 3 3 3 2 2 1 19 6 0 x y x y xy x 9. Giải hệ phương trình : − = + = 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y 10. Giải hệ phương trình =+ +=+ 78 1 7 xyyxyx xy x y y x 11. Gi¶i hệ ph¬ng tr×nh =+− += 0log.log)(log )(logloglog 2 222 yxyx xyyx 12. Giải hệ phương trình: 5 3 .2 1152 log ( ) 2 x y x y − = + = 13. Giải hệ phương trình 2 2 3 2 16 2 4 33 xy x y x y R x y x y ( , ) − − = ∈ + − − = 14. Giải hệ ( ) ( ) ( ) −=−−− −=+−−− 51115 6126 22 2 24 2234 xyxx xyyxxx Hoàng Ngọc Hùng năm học 2010 - 2011 7 . Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ Hệ phương trình trong các đề thi đại học 1. Gii hệ phương trình: 2 0 1 2 1 1 x y xy x y − − = − − − = Giải: 1 2011 2 Tài liệu Ôn thi ĐH - CĐ PT( 1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 4 2x x y y x y y x+ − = ⇔ − = − 2 2 0 (3) 5 4 (4) y x y xy − ≥ ⇔ = Từ PT( 4) ⇔ y = 0 v 5y = 4x Với y = 0 thế vào PT( 2) ta có x =. đưa về pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t Đưa pt về dạng 1 8 1 9 9 t t + = ÷ ÷ , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1 ⇒ x = y =7 +) Với x = - y thế vào (2) được pt: log 3 (y