SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2.5 điểm) Cho biểu thức 2 4 4 4 4 8 16 1 x x x x A x x + − + − − = − + với 4 8x< ≤ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu 2:(2.5 điểm) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai 2 ( 2) 2( 1) 0m x m x m− − − + = . Xác định m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác đã cho là 2 5 Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE và CD vuông góc nhau. b) Tam giác EPQ cân. Câu 4:(1.0 điểm) Cho , , 0x y z > thỏa mãn: 2 2 2 3x y z+ + = . Chứng minh: z x 3 x y xy y z z + + ≥ Câu 5:(1.0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn : 5 5 5 5 4( )a b c d+ = + Chứng minh rằng : a b c d+ + + chia hết cho 5. HẾT SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu Nội dung Điểm 1 a) Với 4 8x< ≤ Ta có: 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 x x x x A x − + − + + − − − + = − ÷ = ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 4 1 x x x − + + − − − ÷ 4 2 4 2 4 1 x x x − + + − − = − 4 2 2 4 4 4 4 x x x x x x − + + − − = = − − b) Ta có: 16 4 4 A x = + − với 4 8x< ≤ Do đó với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi x – 4 là ước của 16. Kết hợp với điều kiện đã cho ta có: 4 1 5 4 2 6 4 4 8 x x x x x x − = = − = ⇔ = − = = 2,5 điểm 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 2 2,5 điểm Trang: 2 - Đáp án Toán 9 I O' O E Q P N M D C B A Gọi 1 2 ,x x là số đo hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho, vì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai 2 ( 2) 2( 1) 0m x m x m− − − + = nên ta có điều kiện: 2 2 ' 0 0 0 2 1 0 0 2 m m m P m m S m ≠ ≠ ∆ ≥ ⇔ > > − − > > − (*) Từ giả thiết bài toán ta có: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 5 5 4 4 x x x x x x x x + − + = ⇔ = 2 2 2 4 4 5 4 m m m − + ⇔ = 2 3 16 16 0m m⇔ − + = 4 4, 3 m m⇔ = = Thử lại ta thấy chỉ có giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (*). Vậy : m = 4 là giá trị cần tìm 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 3 a) Ta có: · · ECD CMA = (đồng vị), · · CDA CMA = (cùng chắn cung » CA ) Nên · · ECD DCA = . Chứng minh tương tự ta có: · · EDC CDA = Suy ra: ( . . )CDE CDA g c g CE CA CEA∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ∆ cân tại C. Theo chứng minh trên thì CD là đường phân giác của · ECA Nên: CD AE⊥ b) Gọi I là giao điểm của CD và AB. Ta có: · · IAD IDB = (cùng chắn cung » BD ) 3,0 điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang: 3 - Đáp án Toán 9 2 ( . ) . IA ID IAD IDB g g ID IA IB ID IB ⇒ ∆ ∼ ∆ ⇒ = ⇒ = Chứng minh tương tự ta có: 2 .IC IA IB= Suy ra: 2 2 IC ID IC ID= ⇒ = Ta có: // CI BI DI CD PQ AP BA AQ ⇒ = = Vì: CI = DI AP AQ⇒ = hay A là trung điểm PQ. Mặt khác: CD AE⊥ , CD // PQ nên: PQ AE⊥ Vậy: tam giác EPQ có AE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên nó là tam giác cân. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x z x 3 9 x y x y z x 2 9 x y xy y z xy y z z z x y y z x y z z + + ≥ ⇔ + + ≥ ÷ ⇔ + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x 3 x y x y y z z ⇔ + + ≥ Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z 2 ; 2 ; 2 x x y y y z z x z x x y y z x z x y y z + ≥ + ≥ + ≥ Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x 3 x y x y y z x y z z ⇔ + + ≥ + + = Vậy z x 3 x y xy y z z + + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 1.0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Ta chứng minh ( ) 5 5n n − M Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 5 1 ( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1) 5 n n n n n n n n n n n n n n n n n − = − + = − − + − = − − + + + − M Suy ra: ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a b b c c d d c d a b c d a b c d − + − + − + − = + − + + + ⇒ + + + M M 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang: 4 - Đáp án Toán 9 Trang: 5 - Đáp án Toán 9 . SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình. SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài:. − + − + − = + − + + + ⇒ + + + M M 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang: 4 - Đáp án Toán 9 Trang: 5 - Đáp án Toán 9