SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/6/2013 Câu 1: (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2 2 2 3 10 21 25x x x x 2) Giải hệ phương trình: 4 4 10 5 4 4 10 5 y x x y Câu 2 : (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2015 viết được dưới dạng: 1 2 2015 n a a a , với các số 1 2 , , , n a a a đều là hợp số. 2) Tìm số dư khi chia 2013 2014 2012 2015 cho 11 3) Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn đẳng thức 2ab bc ca . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a b c b c a a b c Câu 3: (1,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC. Tia phân giác của COM cắt BM tại điểm D. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cung AC thì điểm D thuộc một đường tròn cố định. Câu 4 : (1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm P tùy ý trong tam giác ABC. Từ điểm P hạ PD, PE, PF lần lượt vuông góc tới các cạnh BC, CA, AB. Tính tỉ số BD CE AF PD PE PF www.VNMATH.com SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (3,0 điểm) 1) 2 2 2 3 10 21 25 1 3 3 7 25x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 4 3 4 21 25 4 9 12 4 9 12 25 4 9 144 25 4 9 169 4 9 13 4 22 0 2 26, 2 26 4 9 13 4 4 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2) ĐK: 2 2 , 5 5 x y . Đặt 1 1 5 5 , 0 , 0 2 2 a b a b x y . Hệ trở thành: 2 2 2 2 4 10 4 5 10 4 5 4 4 10 4 5 10 4 5 4 a b b a b a a b 2 2 2 2 10 4 25 16 40 5 5 0 ,0 4 4 10 4 25 16 40 b a a a b a b b 2 2 2 2 2 2 4 4 16 16 40 40 3 10 0 3 3 10 0 3 3 10 a b a b a b a b a b a b a b a b a b +) a b , ta có: 1 2 2 2 2 3 2 10 4 25 16 40 4 8 3 0 1 2 a a a a a a a 1 3 2 a (không TMĐK), 2 1 2 a (TMĐK) Với 1 4 2 a b x y (TMĐK) +) 3 3 10a b (không xảy ra). Vì 5 5 0 , 0 4 4 a b 15 15 3 3 2 10 4 2 a b Vậy hệ có một nghiệm duy nhất 4 4 x y Câu 2 : (4,0 điểm) 1) Ta có hợp số nhỏ nhất là 4 mà 2015 4 503 3 503n www.VNMATH.com +) Nếu n = 503 thì 1 2 503 2015 a a a có ít nhất một 1, 2, ,503 i a i là số lẻ, giả sử là 1 1 1 2 503 9 4 502 9 2017 2015a a a a a (không thỏa mãn) +) Nếu n = 502, ta có: 2015 4 500 6 9 . Vậy n = 502 2) Ta có: 2014 2013 2014 2013 2012 2015 2012 1 2013 2 1 Mà 2013 2012 1 2012 1 2013 11B B B 2014 2014 2014 2013 2 1 2013 2 1 (11) 2 1B B 201 2014 10 201 2 1 16 2 1 16 11 1 1 16 11 1 1 11 15 11 4B B B B (Vì 10 2 1024 11 93 1 11 1B ). Vậy số dư khi chia 2013 2014 2012 2015 cho 11 là 4 3) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh 2 2 2 1 a b a b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 2 0 a y b x x y xy a b a xy a y b x b xy a xy b xy abxy a y b x abxy 2 0ay bx (bất đẳng thức đúng). Dấu “=” xảy ra khi 0 a b ay bx x y Áp dụng (1) ta chứng minh 2 2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z với a, b, c, x, y, z là các số dương. Thật vậy 2 2 2 2 2 2 a b a b c a b c c x y z x y z x y z . Dấu “=” xảy ra khi a b c x y z Áp dụng (2), ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c a b c a b c b c a a b b c c a a b c a b c Lại có 2 2 2 0 2a b b c c a a b c ab bc ca Do đó 2 1 2 1 1 1 a b c b c a a b c . Dấu “=” xảy ra khi 2 3 2 a b c a b b c c a a b c a b c ab bc ca Câu 3: (1,5 điểm) www.VNMATH.com Ta có 1 2 CBM COM COD (góc nội tiếp và góc ở tâm, OD là phân giác COM ) Xét tứ giác BCDO, ta có: CBD COD (cmt), O và B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ CD O, B cùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng OB. Do đó tứ giác BCDO nội tiếp Lại có 0 90 BOC (vì CA CB OC AB ) Vậy tứ giác BCDO nội tiếp đường tròn đường kính BC, mà BC cố định nên D thuộc đường tròn cố định đường kính BC (cung OC hình vẽ) Câu 4 : (1,5 điểm) Đặt AB = BC = CA = a Qua P kẻ SL // AB (S AC, L BC), IK // BC (I AB, K AC), MN // AC (M AB, N BC). Rõ ràng các tứ giác ABLS, BCKI, ACNM là các hình thang cân và các tam giác PMI, PLN, PKS là các tam giác đều có PF, PD, PE lần lượt là các đường cao BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC, MF = IF BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI + SE + NC + IF BD + CE + AF = AE + BF + CD Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a 3 BD+CE+AF= a 2 (*) Lại có 2 ABC BPC APC APB a 3 1 a 3 S =S +S +S = a(PD+PE+PF) PD+PE+PF= ** 4 2 2 Từ (*) và (**) có BD+CE+AF 3a a 3 = : = 3 PD+PE+PF 2 2 N M K I L S F E D A B C P www.VNMATH.com . TẠO ĐĂK LĂK ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/6 /2013. 2) Ta có: 2014 2013 2014 2013 2012 2015 2012 1 2013 2 1 Mà 2013 2012 1 2012 1 2013 11B B B 2014 2014 2014 2013 2 1 2013 2 1 (11) 2 1B B. . Hệ trở thành: 2 2 2 2 4 10 4 5 10 4 5 4 4 10 4 5 10 4 5 4 a b b a b a a b 2 2 2 2 10 4 25 16 40 5 5 0 ,0 4 4 10 4 25 16 40 b a a a b a b b