Gọi C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC.. Tia phân giác của COM cắt BM tại điểm D.. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cung AC thì điểm D thuộc một đườ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/6/2013
Câu 1: (3,0 điểm)
x x x x
2) Giải hệ phương trình:
y x
x y
Câu 2: (4,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2015 viết được dưới dạng:
2015a a a n, với các số a a1, 2,,a n đều là hợp số
2) Tìm số dư khi chia 2012201320152014 cho 11
3) Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn đẳng thức ab bc ca 2
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa cung AB, M
là một điểm bất kỳ trên cung AC Tia phân giác của COM cắt BM tại điểm D Chứng
minh rằng khi điểm M di động trên cung AC thì điểm D thuộc một đường tròn cố định
Câu 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC Lấy điểm P tùy ý trong tam giác ABC Từ điểm P hạ PD,
PE, PF lần lượt vuông góc tới các cạnh BC, CA, AB Tính tỉ số BD CE AF
Trang 2SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (3,0 điểm)
2 2
2 2
3
2) ĐK: 2, 2
Hệ trở thành:
a b
+) a , ta có: b
1
2
3 2
1 2
a
a
1
3
2
a (không TMĐK), 2 1
2
a (TMĐK)
2
a b x y (TMĐK)
+) 3a3b10 (không xảy ra) Vì 0 5, 0 5
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất 4
4
x y
Câu 2: (4,0 điểm)
1) Ta có hợp số nhỏ nhất là 4 mà 2015 4 503 3 n503
Trang 3+) Nếu n = 503 thì 2015a1a2 a503 có ít nhất một a i i 1, 2,,503 là số
lẻ, giả sử là a1a1 9 a1a2a503 4 502 9 20172015 (không thỏa mãn)
+) Nếu n = 502, ta có: 2015 4 500 Vậy n = 502 6 9
2012 2015 2012 1 20132 1
2012 1 B 2012 1 B 2013 B 11
20132 1 B 2013 2 1 B(11)2 1
2 1 16 2 1 16B 11 1 1 16B 11 1 1 B 11 15B 11 4
2 1024 11 93 1 B 11 ) 1
Vậy số dư khi chia 2012201320152014 cho 11 là 4
3) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh
2
2 2
1
a b
a b
2 2 2
2 2 2 2
1
a y b x x y xy a b
a xy a y b x b xy a xy b xy abxy
a y b x abxy
2
0
ay bx
(bất đẳng thức đúng) Dấu “=” xảy ra khi ay bx 0 a b
2
2
với a, b, c, x, y, z là các số dương
x y z
2
a b c
a b b c c a a b c ab bc ca
2
Dấu “=” xảy ra khi
2 3 2
Câu 3: (1,5 điểm)
Trang 4Ta có 1
2
CBM COM COD (góc nội tiếp và góc
ở tâm, OD là phân giác COM )
Xét tứ giác BCDO, ta có: CBDCOD (cmt), O và
B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ CD O, B
cùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn
thẳng OB Do đó tứ giác BCDO nội tiếp
90
BOC (vì CACB OC AB)
Vậy tứ giác BCDO nội tiếp đường tròn đường kính BC, mà BC cố định nên D thuộc đường tròn cố định đường kính BC (cung OC hình vẽ)
Câu 4: (1,5 điểm)
Đặt AB = BC = CA = a
Qua P kẻ SL // AB (S AC, L BC), IK // BC (I
AB, K AC), MN // AC (M AB, N BC) Rõ ràng
các tứ giác ABLS, BCKI, ACNM là các hình thang
cân và các tam giác PMI, PLN, PKS là các tam giác
đều có PF, PD, PE lần lượt là các đường cao
BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC,
MF = IF
BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI
+ SE + NC + IF
BD + CE + AF = AE + BF + CD
Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a
3 BD+CE+AF= a
2
2
Từ (*) và (**) có BD+CE+AF=3a a 3: = 3
N
M
K I
L
S F
E
D
A
P