BÀI TẬP ÔN TẬP HÌNH HỌC ………………………………………… BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. 1) CMR mp(OMN) và mp(SBC) song song với nhau. 2) Gọi I là trung điểm của SC, J là một điểm trên mp(ABCD) và cách đều AB và CD. Chứng minh IJ song song với mp(SAB). 3) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. CMR : EF song song với mp(SAD). BÀI 2 . Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, một mp(R) di động song song với (SAB), cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự tại M, N, P, Q. 1) Chứng minh MNPQ là hình thang cân. 2) Đặt AM = x, với 0 < x < a. Tìm x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A , B , C , D , . 1) CMR mp(BDA , ) song song mp(B , D , C). 2) CMR đường chéo AC , đi qua các trọng tâm G 1 , G 2 của hai tam giác BDA , và B , D , C. 3) CMN G 1 và G 2 chia đoạn AC , thành ba phần bằng nhau. 4) CMR các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD , , D , A , , A , B , , B , B cùng nằm trên một mp. Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A , B , C , . Gọi H là trung điểm cạnh A , B , . 1) CMR đường thẳng B , C song song với mp(AHC , ). 2) Tìm giao tuyến d của hai mp(AB , C , ) và mp(A , BC). CMR d song song mp(BB , C , C). 3) Xác định thiết diện của hình lăng trên khi cắt bởi mp(H,d). Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều. Cho SC = SD = 3a . Gọi H, K lần lượt là tring điểm của SA, SB, M là một điểm trên cạnh AD. Mp(HKM) cắt BC tại N. 1) Chứng minh HKNM là hình thang cân. 2) Đặt AM = x ( 0 x a≤ ≤ ), tính diện tích của tứ giác HKNM theo a và x. Tính x để diện tíc này nhỏ nhất. 3) Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN, HN và KM. ……………………………………………………………………………………… NGUYỄN VĂN PHƯƠNG THPT CHU VĂN AN ( TP BMT ) Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AM k AB= uuuur uuur và DN k DC= uuur uuur . 1) Chứng minh rằng (1 )MN k AD k BC= − + uuuur uuur uuur . 2) Gọi E, F, I theo thứ tự thuộc AD, BC và MN sao cho AE l AD= uuur uuur , BF lBC= uuur uuur và MI lMN= uuur uuuur . Chứng minh rằng E, F, I thẳng hàng. Bài 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A , B , C. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB , và A , C , . Điểm K thuộc B , C , sao cho , , 2KC KB= − uuuur uuuur . Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K đồng phẳng. Bài 8. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. 1) Tính độ dài MN. 2) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng AB, CD và BC. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = 2a . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB. Bài 10. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD. 2) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. ……………………………………………………………………………………………. NGUYỄN VĂN PHƯƠNG THPT CHU VĂN AN ( TP BMT ) Bài 11. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mp(ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mp(SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN SB SC = . Chứng minh rằng: 1) BC vuông góc với mp(SAB) và AM vuông góc với mp(SBC). 2) MN vuông góc với mp(SAB), từ đó suy ra SB vuông góc với AN. Bài 12. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). 1) Chứng minh rằng BC ⊥ (OAH), CA ⊥ (OBH), AB ⊥ (OCH). 2) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 3) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + . 4) Chứng minh rằng các góc tam giác ABC đều nhọn. Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. 1) Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD). 2) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD. 3) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK đồng phẳng. 3) Chứng minh rằng (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng HK. Tử đó suy ra HK ⊥ AI. 4) Tính diện tích tứ giác AHIK, biết SA = AB = a. Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với (ABCD). Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. 1) Tính tỉ số SH SB và độ dài AH. 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB, (P) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích của thiết diện. Bài 15. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AD = 2a, AB = BC = a. Trên tia Ax vuông góc mp(ABCD) lấy một điểm S. Gọi C , , D , lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SC và SD. Chứng minh rằng: 1) Góc SBC bằng góc SCD bằng 90 0 . 2) AD , , AC , , AB cùng nằm trên một mặt phẳng. 3) CMR đường thẳng C , D , luôn luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên tia Ax. ……………………………………………………………………………………… . BÀI TẬP ÔN TẬP HÌNH HỌC ………………………………………… BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. 1) CMR mp(OMN) và. mp(SAB) và AM vuông góc với mp(SBC). 2) MN vuông góc với mp(SAB), từ đó suy ra SB vuông góc với AN. Bài 12 . Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của. vuông góc của O trên mp(ABC). 1) Chứng minh rằng BC ⊥ (OAH), CA ⊥ (OBH), AB ⊥ (OCH). 2) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 3) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + . 4)