Đề thi thử Quốc gia lần 1 năm 2015 môn Toán trường THPT Lê Hồng Phong

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ KỲ THI QUỐC GIA THPT LẦN I NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 32 32yx x=−+ . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm a để phương trình 32 30xxa − += có ba nghiệm thực phân biệt. Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 1. Giải phương trình: 24 log ( -3 ) 2log 2xx+= . 2. Giải phương trình: 22 3 4sin 3 cos 2 1 2 cos 24 x xx !" −=+− $% &' π . 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3lnyx xx=+− trên đoạn [ ] 1; 2 . Câu III (1,5 điểm) 1. Tìm nguyên hàm sau: 2 (x 3sinx) Idx x = − + ∫ . 2. Tính giới hạn: 2 2 0 3cos lim x x x T x → − = . 3. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ để tham gia đồng diễn. Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam. Câu IV (1.5 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , cạnh bên SA vuông góc v ớ i mặ t ph ẳ ng đáy. Đườ ng thẳ ng SD tạ o v ới m ặ t ph ẳ ng (SAB) mộ t góc 0 45 . 1. Tính th ể tích c ủ a khố i chóp .S ABCD theo a. 2. Xác định tâm và tính bán kính mặ t c ầ u ngoại ti ếp hình chóp .S ABCD theo a. 3. Tính khoả ng cách t ừ đ i ể m O đế n m ặ t phẳng (SCD) theo a . Câu V(1 ,0 đi ể m ) Gi ải hệ ph ươ ng trình ( ) ! " ! # $ =+++ −+ =++ 10)1(4)19( 1 1 19 1 3 223 2 xxyx xx y xy . Câu VI( 1 ,0 đi ể m ) Trong m ặt ph ẳ ng Oxy , cho hình vuông ABCD có M là trung đ iể m c ủ a AB , N là đ iể m trên c ạnh AD sao cho 2AN ND= . Giả s ử đườ ng th ẳ ng CN có ph ươ ng trình 2110 xy + − = và điểm 51 ; 22 M !" #$ %& . Tìm tọa độ điểm C. Câu V (1,0 điểm ) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: 22=xyz 8 22 4 4 88 2 24 4 88 2 2 4 4 88 ≥ ++ + + ++ + + ++ + xzxz xz zyzy zy yxyx yx . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:………………………………… ; Số báo danh…………………… TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐÁP ÁN TOÁN 12 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Đ áp án Đ i ểm I (2.0) 1.(1.5 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 32 32yx x=−+ • Tập xác định: R. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 '3 6yxx=− ; 0 '0 2 x y x = ! =⇔ # = $ 0.25 Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0); đồng biến trên các khoảng ( ; 2)−∞ − và (0; )+∞ - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2; y CT = 3, đạt cực tiểu tại x = 0; y CĐ = -1. - Gi ới h ạ n: lim x y →−∞ =+ ∞ ; lim x y →+∞ =−∞ 0.5 - Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' - 0 + 0 - y 2 −∞ -2 0.25 • Đồ thị: 0.5 2.(0.5 điểm) Tìm a để ph ươ ng trình 32 30xxa−+= có ba nghi ệm th ự c phân biệ t. • Phương trình 32 32 30322xxa xx a − += ⇔−+= − 0.25 • Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng 2ya=− , suy ra (0;4)a ∈ 0.25 II (2.0) 1. (0.5 đ i ểm) Gi ả i ph ương trình: 24 log ( -3 ) 2log 2 xx+= . • Điều kiện: 3x > • Phươ ng trình t ươ ng đươ ng v ớ i 2 log x( - 3) 2 (x 3 ) 4 xx= ⇔ − = 0.25 • Gi ả i và kế t h ợ p đ i ề u kiệ n thu đượ c nghiệ m 4x = 0.25 2 .(1.0 đ i ể m)G i ả i phươ ng trình: 22 3 4sin 3 cos 2 1 2 cos 24 x xx !" −=+− $% &' π . • Phương trình ⇔ 3 2(1 cosx) 3 cos 2 x 2 cos 2 2 x π "# −−=− − %& '( 0.25 • sin 2 x 3 sin 2 2 c o sxx⇔−= 0.25 • sin 2 cos 3 xx π "# ⇔−= &' () 0.25 • 2 18 3 sin 2 sin (k Z) 5 32 2 6 k x xx xk ππ ππ π π " =+ # $%$% ⇔−= −⇔ ∈ # )*)* +,+, # =+ # - 0.25 3(0.5 điểm) Tìm GTLN-GTNN của hàm số 2 3lnyx xx=+− trên đoạn [ ] 1; 2 . • Ta có [ ] 222 3 'ln1 ln0,1;2 3(x3)3 x yx xx xxx − =−−=−< ∀∈ ++++ 0.25 • GTLN của hàm số trên đoạn [ ] 1; 2 là (1) 2y = , GTNN của hàm số trên đoạn [ ] 1; 2 là (2) 7 2 ln 2y =− 0.25 1. (0.5 điểm) Tìm các nguyên hàm sau: 2 (x 3sinx)Idx x =−+ ∫ . • 2 3 sin x dx Ixdx dx x =−+ ∫∫∫ 0.25 • 2 2ln 3cos 2 x IxxC=− −+ 0.25 2. (0.5 điểm) Tính giới hạn: 2 2 0 3cos lim x x x T x → − = . • 2 22 00 31 1cos lim lim x xx x T xx →→ −− =+ 0.25 • 2 2 ln 3 2 2 00 2sin 11 2 lim ln 3 lim ln 3 ln 3 2 4 4 x xx x e T x x →→ − =+=+ 0.25 3 (0.5 điểm) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ để tham gia đồng diễn. Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam l ẫ n n ữ và s ố họ c sinh n ữ ít h ơn s ố họ c sinh nam. • Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử, ta có 5 25 () C n Ω = • Gọi A là biến cố: “5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơ n s ố h ọc sinh nam ” • TH1: 1 h ọ c sinh nữ và 4 h ọ c s inh nam, suy ra số cách ch ọn là: 14 10 15 CC • TH2: 2 học sinh nữ và 3 học sinh nam, suy ra số cách chọn là: 23 10 15 CC 0.25 • 14 23 14 23 10 15 10 15 10 15 10 15 5 25 C (A ) 325 (A ) C (A ) () 506 CCC n nCCCP nC + =+⇒== = Ω 0.25 1 (05 điểm) Tính thể tích của khối chóp .S ABCD theo a. • . 1 .(ABCD) 3 SABCD VSAdt= • Trong đó 2 (A B CD ) adt = 0.25 • Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng góc ∑ ∑ 3 0 . 45 cot 3 SABCD a ASD SA AD ASD a V=⇒= =⇒= 0.25 2.(0.5 điểm)Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp • Gọi I là trung điểm của SC, ta có IS IC ID IA IB==== (do các tam giác ,,SAC SBC SCDΔΔΔ là các tam giác vuông), nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 0.25 • Bán kính mặt cầu 3 22 SC a R == 0.25 3. (0.5 điểm) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) theo a • Vì O là trung điểm của AC nên 1 (O,(SCD)) (A ,(SCD)) 2 dd= • Gọi H là hình chiếu của A trên SD, ta có (SCD) (SAD) (SCD) AH SD AH ⊥ " ⇒⊥ $ ⊥ % , từ đó dẫn đến 1 (O,(SCD)) 2 dAH= 0.25 • Trong tam giác vuông SAD, ta tính được 22 (O,(SCD) 24 aa AH d=⇒= 0.25 V (1.0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ! " ! # $ =+++ −+ =++ 10)1(4)19( 1 1 1913 223 2 xxyx xx yxy • ĐK: 0 x ≥ • Nhận xét: Nếu x = 0 thì không TM hệ PT Xét x > 0 PT (1) ⇔ x xx yyy + + =++ 1 1933 2 ⇔ 1 11 1 1 )3 ( 3 3 2 2 + ! ! " # $ $ % & + = + + xxx yy y (3) 0,25 • T ừ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm s ố f (t)= t + t. 1 2 +t , t > 0. Ta có: f’ (t) = 1 + 1 1 2 2 2 + + + t t t >0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞) • PT(3) ⇔ f(3y)= f ! ! " # $ $ % & x 1 ⇔ 3y = x 1 0,25 • Thế vào pt(2) ta được PT: 10).1(4 223 =+++ xxxx . Đặt g(x)= 10).1(4 223 −+++ xxxx , x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0 ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞) 0,25 • Ta có g(1) = 0. Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 • Với x =1 ⇒ y = 3 1 • KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1; 3 1 ). 0,25 VI (1.0 điểm)Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB , N là điểm trên cạnh AD sao cho 2AN ND= . Giả sử đường thẳng CN có phương trình 2110xy+−= và điểm 51 ; 22 M !" #$ %& . Tìm tọa độ điểm C. • Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên CN, ta có 35 (M,CN) 2 MH d== 0.25 • Xét tam giác CMN, ta có ∑ ∑ 222 0 2 cos 45 2. 2 CN CM MN NCM NCM CN CM + − == ⇒= , từ đó suy ra được 3 10 2 MC = 0.25 • Do C thuộc đường thẳng CN nên ( ) 11 2 ;Ccc− , từ 3 10 2 MC = 2 535500 cc ⇔−+= 0.25 • Tìm được (7;2);C(1;5)C 0.25 V (1.0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: 22=xyz 8 2244 88 2244 88 2244 88 ≥ ++ + + ++ + + ++ + xzxz xz zyzy zy yxyx yx • Đặt a = x 2 , b = y 2 , c = z 2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 và a.b.c = 8 • Do 2 22 ba ab + ≤ nên 2 )(3 22 22 ba abb a + ≤ + + Dấ u“=”có ⇔ a=b 0,25 • Ta có: ( ) 22 44 22 44 2 3 b a ba abba ba + + ≥ ++ + . • Ta s ẽ ch ứ ng minh: ( ) ) ( 3 1 2 3 2 2 22 44 b a ba ba + ≥ + + (1). • Thật vậy: (1) ⇔ 2( ) 44 b a + 222 ) ( b a + ≥ ⇔ (a 2 – b 2 ) 2 0≥ (luôn đúng). Do đ ó ta được: )( 3 1 22 22 44 ba abba b a +≥ ++ + Dấ u“=”có ⇔ a 2 =b 2 ⇔ a=b 0,25 • Áp dụng BĐT trên ta có: )( 3 1 2 2 22 44 cb bccb cb +≥ ++ + Dấu“=”có ⇔ b=c )( 3 1 22 22 44 ac caac ac +≥ ++ + Dấu“=”có ⇔ c=a • Cộng các vế các BĐT trên ta được: 0,25 )( 3 2 222 22 44 22 44 22 44 cba caac ac bccb c b abba b a ++≥ ++ + + ++ + + ++ + (2) Dấu“=”có ⇔ a=b=c • Theo BĐT Cô-si ta có: 8.2)( 3 2 3 222222 =≥++ cbacba .Dấu“=”có ⇔ a=b=c. Do đó ta có ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 2=== zyx 0,25 . TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ KỲ THI QUỐC GIA THPT LẦN I NĂM HỌC 2 014 - 2 015 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 18 0 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. suy ra số cách ch ọn là: 14 10 15 CC • TH2: 2 học sinh nữ và 3 học sinh nam, suy ra số cách chọn là: 23 10 15 CC 0.25 • 14 23 14 23 10 15 10 15 10 15 10 15 5 25 C (A ) 325 (A ) C. (SCD) theo a . Câu V (1 ,0 đi ể m ) Gi ải hệ ph ươ ng trình ( ) ! " ! # $ =+++ −+ =++ 10 )1( 4 )19 ( 1 1 19 1 3 223 2 xxyx xx y xy . Câu VI( 1 ,0 đi ể m ) Trong m ặt ph ẳ ng Oxy ,