lý thuyết và bài tập phân số

A. PHÂN SỐ - PHÂN SỐ BẰNG NHAU I. Lúy thuyết 1. Với a, b ∈ N, b ≠ 0 thì ta có a/b gọi là phân số. Trong đó a là tử số, b là mẫu số của phân số. 2. Phân số Ai cập là phân số có dạng 1/n (có tử bằng 1) 3. Mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số, VD: 8 = 8/1 = 16/2 = …… * Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1 ta viết tử số bằng số tự nhiên đó, còn mẫu số là 1. VD 9 = 9/1 . TQ A = A/1 * Muốn viết 1 số tự nhiên dưới dạng 1 phân số có mẫu số là số cho trước ta viết mẫu số bằng số cho trước, còn tử số bằng tích của số tự nhiên với mẫu số cho trước. VD 4 = x/3, ta có phân số: 4.3/3 = 12/3 TQ: A = x/B = A.B/B 4. Phân số thập phân là phân số có mẫu là 10, 100, 1000,……. 5. Các phân số bằng nhau được coi là cùng 1 giá trị, giá trị đó là số biểu diễn bởi phân số. Tập hợp các số biểu diễn bởi phân số kí hiệu là Q + . VD : 2/3 = 4/6 = 6/9 = …… TQ: a/b = c/d  a.d = b.c * Tính chất: (1) Phản xạ: a/b = b/a (2) Đối xứng: Nếu a/b = c/d thì c/d = a/b (3) Bắc cầu: Nếu a/b = c/d và c/d = e/f thì a/b = e/f II . Bài tập Bài 1: Định nghĩa hai phân số bằng nhau. Cho VD? Bài 2: Dùng 2 trong 3 số sau 2, 3, 5 để viết thành phân số (tử số và mẫu số khác nhau) Hướng dẫn Có các phân số: 2 2 3 3 5 5 ; ; ; ; 3 5 5 2 2 3 Bài 3: 1/ Số nguyên a phải có điều kiện gì để ta có phân số? a/ 32 1a − b/ 5 30 a a + 2/ Số nguyên a phải có điều kiện gì để các phân số sau là số nguyên: a/ 1 3 a + b/ 2 5 a − 3/ Tìm số nguyên x để các phân số sau là số nguyên: a/ 13 1x − b/ 3 2 x x + − Hướng dẫn 1/ a/ 0a ≠ b/ 6a ≠ − 2/ a/ 1 3 a + ∈ Z khi và chỉ khi a + 1 = 3k (k ∈ Z). Vậy a = 3k – 1 (k ∈ Z) b/ 2 5 a − ∈ Z khi và chỉ khi a - 2 = 5k (k ∈ Z). Vậy a = 5k +2 (k ∈ Z) 3/ 13 1x − ∈ Z khi và chỉ khi x – 1 là ước của 13. Các ước của 13 là 1; -1; 13; -13 Suy ra: b/ 3 2 x x + − = 2 5 2 5 5 1 2 2 2 2 x x x x x x − + − = + = + − − − − ∈ Z khi và chỉ khi x – 2 là ước của 5. 1 x - 1 -1 1 -13 13 x 0 2 -12 14 Bài 4: Tìm x biết: a/ 2 5 5 x = b/ 3 6 8 x = c/ 1 9 27 x = d/ 4 8 6x = e/ 3 4 5 2x x − = − + f/ 8 2 x x − = − Hướng dẫn a/ 2 5 5 x = 5.2 2 5 x⇒ = = b/ 3 6 8 x = 8.6 16 3 x⇒ = = c/ 1 9 27 x = 27.1 3 9 x⇒ = = d/ 4 8 6x = 6.4 3 8 x⇒ = = e/ 3 4 5 2x x − = − + ( 2).3 ( 5).( 4) 3 6 4 20 2 x x x x x ⇒ + = − − ⇒ + = − + ⇒ = f/ 8 2 x x − = − 2 . 8.( 2) 16 4 x x x x ⇒ = − − ⇒ = ⇒ = ± Bài 5: 1/ Chứng minh rằng a c b d = thì a a c b b d ± = ± 2/ Tìm x và y biết 5 3 x y = và x + y = 16 Hướng dẫn a/ Ta có ( ) ( ) a c ad bc ad ab bc ab a b d b a c b d = ⇒ = ⇒ ± = ± ⇒ ± = ± Suy ra: a a c b b d ± = ± b/ Ta có: 16 2 5 3 8 8 x y x y+ = = = = Suy ra x = 10, y = 6 Bài 6: Cho a c b d = , chứng minh rằng 2 3 2 3 2 3 2 3 a c a c b d a d − + = − + Hướng dẫn Áp dụng kết quả chứng minh trên ta có 2 3 2 3 2 3 2 3 a c a c a c b d b d b d − + = = = − + Bài 7: Một người đi xe đạp với vận tốc a km/h. Hỏi trong 30 phút người ấy đi được bao nhiêu km? Trong 1 phút người ấy đi được bao nhiêu km? (ĐS: a/2 km; a/60 km) Bài 8: Sau a giờ, kim giờ quay được bao nhiêu vòng? (ĐS: a/12 vòng) Bài 9: Một ngọn nến cháy từ 7h12 /  7h25 / . Hỏi thời gian nến cháy là mấy phần của 1h? Bài 10: Một người lien lạc phải đi 1 con đường dài 132km. Mỗi ngày đi được 35 km. Hỏi sau 3 ngày người ấy đi được mấy phần đường? Bài 11: Một vòi nước chảy vào một cái bể từ 10h đêm  6h sáng hôm sau. Mỗi giờ vòi chảy vào bể được 360 lít nước. Bể có thể chứa được 4m 3 và lúc đầu đã chứa 1100 lít. Hỏi đến 6h sang thì khối nước trong bể chiếm mấy phần bể? Bài 12: Tìm số tự nhiên x biết rằng a) Phân số x/15 có giá trị = 3 b) Phân số 132/x có giá trị = 11 2 x - 2 -1 1 -5 5 x 1 3 -3 7 Bài 13: Tìm 1 phân số biết rằng a) 1/3 = 1/4 số đó (ĐS: 4/3) b) 1/4 = 1/3 số đó (ĐS: 3/4) Bài 14: Viết số 100 dưới dạng tổng của 1 số tự nhiên và 1 phân số bằng cách dung: a) 6 chữ số giống nhau b) 9 chữ số khác nhau Hướng dẫn a) 100 = 99 + 99/99 b) Có nhiều đáp số. Ví dụ: 100 = 91 + 5742/638 = 92 + 5104/638 = 93 + 1456/208 = 94 + 1578/263 = 95 + 1380/276 = 97 + 1602/534 = 98 + 1072/536 = …v.v Bài 15: Dùng 9 chữ số khác nhau và khác 0 để viết các phân số có giá trị lần lượt bằng 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hướng dẫn Có nhiều cách viết: 15846/7923 = 2 ; 17496/5832 = 3 ; 15768/4392 = 4 31485/6297 = 5 ; 34182/5697 =6 ; 31689/4527 = 7 ; 47328/5916 = 8 ; 57249/8361 = 9 Bài 16: CMR các phân số sau bằng nhau: a/ 23/99 = 2323/9999 = 232323/999999 b/ 29/43 = 2929/4343 c/131313/151515 = 13026/15030 d/ (27425 – 27)/99900 = (27425425 - 27425)/99900000 e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = (59400 – 108)/(61600 - 112) f) 9909/8808 = 29727/26424 = 39636/35232 Hướng dẫn a/ * 2323/9999 = 23.101/99.101 = 23/29 * 232323/999999 = 23.10101/99.10101 = 23/99 d/ * (27425425 - 27425)/99900000 = (27425000 + 425 - 27000 - 425)/99900000 = [(27425 - 27).1000]/99900. 1000 = (27425 – 27)/99900 e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = [(29700 – 54).2]/[(30800 – 56).2] = (59400 – 108)/(61600 - 112) f/ 9909/8808 = 9909.3/8808.3 = 29727/26424 = 39636/35232 Bài 17: Điền số thích hợp: a/ 4/5 = ?/60 b/ ?/9 = 12/54 c/ 63/72 = 7/? d/ 65/? = 5/9 Bài 18: Tìm phân số bằng phân số 13/17 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 900? Bài 19: Tìm phân số bằng phân số 188887/211109 biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 108? Bài 20: Tìm x, y biết rằng: (3 + x)/(5 + y) = 3/5 và x + y = 16 Bài 21: CMR nếu 3 phân số a/b; c/d ; e/f bằng nhau thì phân số (a.m + c.n + e.f)/(b.m + d.n + f.p) (m, n, p là các số tự nhiên khác 0) cũng bằng các phân số đã cho. B. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ - RÚT GỌN PHÂN SỐ I. Lúy thuyết 1. Tính chất - Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta được 1 phân số bằng phân số đã cho. TQ: a/b = a.m/b.m ( m ∈ N hoặc m ∈ Z, m ≠ 0) - Nếu chia cả tử số và mẫu số của 1 phân số với cùng 1 số tự nhiên, hoặc 1 số nguyên khác 0 thì ta được 1 phân số bằng phân số đã cho. TQ: a/b = a:m/b:m ( m ∈ N hoặc m ∈ Z, m ≠ 0) 2. Rút gọn phân số - Là chia tử và mẫu của chúng cho 1 số (ước chung) khác ±1 của chúng để được 1 phân số đơn giản hơn và bằng phân số đã cho. - Một phân số không thể rút gọn được nữa gọi là phân số tối giảnTQ:a/b tối giản ƯCLN(a,b)= 1 (a và b nguyên tố cùng nhau) 3. Phương pháp rút gọn phân số - Rút gọn từng bước dựa vào dấu hiệu chia hết. VD 30/105 = 30: 5/ 105: 5 = 2/7 3 - Chia tử và mẫu cho ƯCLN của chúng để rút gọn hoàn toàn. VD ƯCLN(30,105) = 15 => 30: 15/ 105: 15 = 2/7 II. Bài tập Bài 1: 1/ Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau: a/ 25 53 ; 2525 5353 và 252525 535353 b/ 37 41 ; 3737 4141 và 373737 414141 2/ Tìm phân số bằng phân số 11 13 và biết rằng hiệu của mẫu và tử của nó bằng 6. Hướng dẫn 1/ a/ Ta có: * 2525 5353 = 25.101 25 53.101 53 = * 252525 535353 = 25.10101 25 53.10101 53 = b/ Tương tự 2/ Gọi phân số cần tìm có dạng 6 x x + (x ≠ -6), theo đề bài thì 6 x x + = 11 13 Từ đó suy ra x = 33, phân số cần tìm là 33 39 Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông a/ 1 2 = b/ 5 7 = = − Hướng dẫn a/ 1 2 3 4 2 6 8 4 = = = = b/ 5 10 15 20 7 28 14 21 − − − = = = = ××× − Bài 3. Giải thích vì sao các phân số sau bằng nhau: a/ 22 26 55 65 − − = ; b/ 114 5757 122 6161 = Hướng dẫn a/ * 22 21:11 2 55 55:11 5 − − − = = ; * 26 13 2 65 65:13 5 − − = = b/ HS giải tương tự Bài 4. Rút gọn các phân số sau: 125 198 3 103 ; ; ; 1000 126 243 3090 Hướng dẫn 125 1 198 11 3 1 103 1 ; ; ; 1000 8 126 7 243 81 3090 30 = = = = Rút gọn các phân số sau: a/ 3 4 4 2 2 2 2 3 3 2 2 .3 2 .5 .11 .7 ; 2 .3 .5 2 .5 .7 .11 b/ 121.75.130.169 39.60.11.198 c/ 1998.1990 3978 1992.1991 3984 + − Hướng dẫn a/ 3 4 3 2 4 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 .3 2 .3 18 2 .3 .5 5 5 2 .5 .11 .7 22 2 .5 .7 .11 35 − − = = = b/ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 121.75.130.169 11 .5 .3.13.5.2.13 11.5 .13 39.60.11.198 3.13.2 .3.5.11.2.3 2 .3 = = 4 c/ 1998.1990 3978 (1991 2).1990 3978 1992.1991 3984 (190 2).1991 3984 1990.1991 3980 3978 1990.1991 2 1 1990.1991 3982 3984 1990.1991 2 + − + = − + − − + − = = = + − − Bài 5. Rút gọn a/ 10 21 20 12 3 .( 5) ( 5) .3 − − b/ 5 7 5 8 11 .13 11 .13 − c/ 10 10 10 9 9 10 2 .3 2 .3 2 .3 − d/ 11 12 11 11 12 12 11 11 5 .7 5 .7 5 .7 9.5 .7 + + Hướng dẫn a/ 10 21 20 12 3 .( 5) 5 ( 5) .3 9 − − = − c/ 10 10 10 9 9 10 2 .3 2 .3 4 2 .3 3 − = Bài 6. Tổng của tử và mẫu của phân số bằng 4812. Sau khi rút gọn phân số đó ta được phân số 5 7 . Hãy tìm phân số chưa rút gọn. Hướng dẫn Tổng số phần bằng nhau là 12 Tổng của tử và mẫu bằng 4812 Do đó: tử số bằng 4811:12.5 = 2005 Mẫu số bằng 4812:12.7 = 2807. Vậy phân số cần tìm là 2005 2807 Bài 7. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số 14 đơn vị. Sau khi rút gọn phân số đó ta được 993 1000 . Hãy tìm phân số ban đầu. Hướng dẫn Hiệu số phần của mẫu và tử là 1000 – 993 = 7 Do đó tử số là (14:7).993 = 1986 Mẫu số là (14:7).1000 = 2000 Vạy phân số ban đầu là 1986 2000 Bài 8: a/ Với a là số nguyên nào thì phân số 74 a là tối giản. b/ Với b là số nguyên nào thì phân số 225 b là tối giản. c/ Chứng tỏ rằng 3 ( ) 3 1 n n N n ∈ + là phân số tối giản Hướng dẫn a/ Ta có 74 37.2 a a = là phân số tối giản khi a là số nguyên khác 2 và 37 b/ 2 2 225 3 .5 b b = là phân số tối giản khi b là số nguyên khác 3 và 5 c/ Ta có ƯCLN(3n + 1; 3n) = ƯCLN(3n + 1 – 3n; 3n) = ƯCLN(1; 3n) = 1 Vậy 3 ( ) 3 1 n n N n ∈ + là phân số tối giản (vì tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau) Bài 9: Rút gọn các phân số sau: a/ 103/3090 ; 7314/18126 ; 68952/148512 ; 121.75.130.169/39.60.11.198 b/ 9/(33 – 6) ; 17.(1993 – 45)/(1993 – 45). (52 – 18) ; 7/( 10 2 + 6. 10 2 ) Bài 10: Rút gọn các phân số sau: 5 a/ A = (31995 – 81)/(42660 – 108) => A = 81.(395 – 1)/108.(395 – 1) = 3/4 b/ B = (3.5.7.11.13.37 - 10101)/(1212120 - 41414) => B = (5.11.10101 - 10101)/(10101.120 + 10101.4) = 10101.(5.11 - 1)/10101.(120 + 4) = 54/124 = 27/62 Bài 11: Phân số (5n + 6)/(8n + 7) (n ∈ N ) có thể rút gọn cho phân số nào? Hướng dẫn G.S (5n + 6)/(8n + 7) rút gọn được cho k (k ∈ N, k > 1 ). Tức (5n + 6) và (8n + 7) cùng chia hết cho k. Do dó: 8.(5n + 6) – 5.(8n + 7) ℅ k Hay 13 ℅ k. Vì k > 1 => k = 13 Bài 12: Tìm mọi số tự nhiên n để phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được? Hướng dẫn • (18n + 3)/(21n + 7) = 3.(6n + 1)/7.(3n + 1) • Nhận thấy: 3 và 7, 3 và (3n + 1), (6n + 1) và (3n + 1) đều là cá số nguyên tố cùng nhau. • Do đó: nếu (6n + 1) ℅ 7 thì phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được. • Vì 7n ℅ 7 nên nếu (6n + 1) ℅ 7 thì 7n – (6n + 1) = (n – 1) ℅ 7 • => nếu n = 7k + 1 (k ∈ N) thì phân số (18n + 3)/(21n + 7) có thể rút gọn được. • Ví dụ: k = 0, n = 1 ta có: (18n + 3)/(21n + 7) = 3/4 k = 1, n = 8 ta có: (18n + 3)/(21n + 7) = 21/25 Bài 13: Cho phân số: x/y có (x + y) = 316293 và (y – x) = 51015. a/ Hãy xác định phân số đó rồi rút gọn b/ Nếu thêm 52 vào tử của phân số trên trước khi đã tối giản thì phải thêm vào mẫu bao nhiêu để giá trị của phân số không đổi? Hướng dẫn a/ 132639/183654 = 13. (10000 + 200 + 3)/18. (10000 + 200 + 3) = 13/18 b/ Thêm 72 vào Bài 14: CMR Phân số sau tối giản a/ (12n + 1)/(30n + 2) b/ (21n + 4)/(14n + 3) (n ∈ N) Hướng dẫn a/ Gọi d là ước chung của (12n + 1) và (30n + 2) . Ta có 5.(12n + 1) – 2.(30n + 2) = 1 ℅ d Vậy d = 1 nên (12n + 1) và (30n + 2) nguyên tố cùng nhau. b/ Tương tự câu a Bài 15: Cho phân số (n + 9)/(n – 6) (n > 6, n ∈ N) a/ Tìm mọi giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên? b/ Tìm mọi giá trị của n để phân số là số tối giản? Hướng dẫn a/ Phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị là số tự nhiên khi (n + 9) ℅ (n – 6) hay 15 ℅ (n – 6) (n – 6) = 1  n = 7 (n – 6) = 3  n = 9 (n – 6) = 5  n = 11 (n – 6) = 15 n = 21 Vậy khi n ∈ (7, 9, 11, 21) thì phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị là số tự nhiên. b/ (n + 9; n – 6) = (n- 6; 15). Vậy muốn (n + 9; n – 6) = 1 để phân số đã cho là tối giản thì phải có (n- 6; 15) = 1 => (n – 6) ℅ 3 và (n – 6) ℅ 5. Do đó n ≠ 3k và n ≠ (5k + 1) Bài 16: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đây là tối giản: 7/(n + 9) ; 8/(n + 10) ; 9/ (n + 11) ; …… ; 31/(n + 33) Hướng dẫn Các phân số đã cho có dạng a/a + (n + 2). Vì các phân số này tối giản nên (a + 2) và a phải nguyên tố cùng nhau. Vậy (n + 2) phải nguyên tố cùng nhau với 7, 8, 9, …. , 31 và (n +2) là số nhỏ nhất. Vậy (n + 2) phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 31, tức là (n +2) =37  n = 35 6 Bài 17:Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số 6/10, 44/77, 30/55 sao cho mẫu của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba? Hướng dẫn * Rút gọn các phân số đã cho: 6/10 = 3/5 ; 44/77 = 4/7 ; 30/55 = 6/11 Vì 3/5 ; 4/7 ; 6/11 là tối giản nên các phân số phải tìm có dạng : 3m/5m ; 4n/7n ; 6p/11p (m, n, p ∈ N * ) Theo đề bài ta có: 5m = 4n và 7n = 6p => 4n ℅ 5 và 7n ℅ 6 và do (4,5) = 1, (7, 6) =1 Nên n ℅ 5 và n ℅ 6. Vậy n ℅ 30. Đặt n = 30k (k ∈ N * ), ta có m = 4n/5 = 4.30k/5 = 24k ; p = 7n/6 = 7.30k/6 =35 Vậy các phân số phải tìm là: 3m/5m = 3.24k/5.24k = 72k/120k 4n/7n = 4.30k/7.30k = 120k/210k 6p/11p = 6.35k/11.35k = 210k/385k C. QUY ĐỒNG MẪU PHÂN SỐ - SO SÁNH PHÂN SỐ I. Lúy thuyết 1. Qui đồng mẫu số các phân số. - Là biến đổi các phân số sao cho chúng vẫn giữ nguyên giá trị nhưng có cùng chung 1 mẫu. - Qui tắc: + Rút gọn các phân số đến tối giản + Tìm 1 bội chung của các mẫu (BCNN) + Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu + Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. VD quy đồng 5/8 ; 4/25 ; 7/42 2. So sánh phân số. - Cùng mẫu số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, có tử bé hơn thì bé hơn, tử số bằng nhau thì bằng nhau - Cùng tử số: Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn - Tử số và mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa về cùng tử số hoặc mẫu số rồi so sánh. - Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so sánh các mẫu với nhau. + Chọn 1 phân số làm trung gian. - So sánh phân số với 1: * a/b < 1  a < b * a/b = 1  a = b * a/b > 1  a > b II. Bài tập Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau: 1 1 1 1 ; ; ; 2 3 38 12 − b/ Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số sau: 9 98 15 ; ; 30 80 1000 Hướng dẫn a/ 38 = 2.19; 12 = 2 2 .3 BCNN(2, 3, 38, 12) = 2 2 . 3. 19 = 228 1 114 1 76 1 6 1 19 ; ; ; 2 228 3 228 38 228 12 288 − − = = = = b/ 9 3 98 49 15 3 ; ; 30 10 80 40 1000 200 = = = BCNN(10, 40, 200) = 2 3 . 5 2 = 200 9 3 6 98 94 245 15 30 ; ; 30 10 200 80 40 200 100 200 = = = = = Bài 2: Các phân số sau có bằng nhau hay không? a/ 3 5 − và 39 65− ; b/ 9 27 − và 41 123 − c/ 3 4 − và 4 5− d/ 2 3− và 5 7 − Hướng dẫn - Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh - Kết quả: 7 a/ 3 5 − = 39 65− ; b/ 9 27 − = 41 123 − c/ 3 4 − > 4 5− d/ 2 3− > 5 7 − Bài 3: Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số: a/ 25.9 25.17 8.80 8.10 − − − và 48.12 48.15 3.270 3.30 − − − b/ 5 5 5 2 5 2 .7 2 2 .5 2 .3 + − và 4 6 4 4 3 .5 3 3 .13 3 − + Hướng dẫn a/ 25.9 25.17 8.80 8.10 − − − = 125 200 ; 48.12 48.15 3.270 3.30 − − − = 32 200 b/ 5 5 5 2 5 2 .7 2 28 2 .5 2 .3 77 + = − ; 4 6 4 4 3 .5 3 22 3 .13 3 77 − − = + Bài 4: Tìm tất cả các phân số có tử số là 15 lớn hơn 3 7 và nhỏ hơn 5 8 Hướng dẫn Gọi phân số phải tìm là 15 a (a 0 ≠ ), theo đề bài ta có 3 15 5 7 8a < < . Quy đồng tử số ta được 15 15 15 35 24a < < Vậy ta được các phân số cần tìm là 15 34 ; 15 33 ; 15 32 ; 15 31 ; 15 30 ; 15 29 ; 15 28 ; 15 27 ; 15 26 ; 15 25 Bài 5: Tìm tất cả các phân số có mẫu số là 12 lớn hơn 2 3 − và nhỏ hơn 1 4 − Hướng dẫn Cách thực hiện tương tự. Ta được các phân số cần tìm là 7 12 − ; 6 12 − ; 5 12 − ; 4 12 − Bài 6: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự a/ Tămg dần: 5 7 7 16 3 2 ; ; ; ; ; 6 8 24 17 4 3 − − b/ Giảm dần: 5 7 16 20 214 205 ; ; ; ; ; 8 10 19 23 315 107 − − Hướng dẫn a/ ĐS: 5 3 7 2 7 16 ; ; ; ; ; 6 4 24 3 8 17 − − b/ 205 20 7 214 5 16 ; ; ; ; ; 107 23 10 315 8 19 − − Bài 7: Quy đồng mẫu các phân số sau: a/ 17 20 , 13 15 và 41 60 b/ 25 75 , 17 34 và 121 132 Hướng dẫn a/ Nhận xét rằng 60 là bội của các mẫu còn lại, ta lấy mẫu chung là 60. Ta được kết quả 17 20 = 51 60 13 15 = 52 60 41 60 = 41 60 b/ - Nhận xét các phân số chưa rút gọn, ta cần rút gọn trước ta có 25 75 = 1 3 , 17 34 = 1 2 và 121 132 = 11 12 Kết quả quy đồng là: 4 6 11 ; ; 12 12 12 Bài 8: Cho phân số a b là phân số tối giản. Hỏi phân số a a b+ có phải là phân số tối giản không? Hướng dẫn Giả sử a, b là các số tự nhiên và ƯCLN(a, b) = 1 (vì a b tối giản) nếu d là ước chung tự nhiên a của a + b thì 8 (a + b) M d và a M d Suy ra: [(a + b) – a ] = b M d, tức là d cũng bằng 1. kết luận: Nếu phân số a b là phân số tối giản thì phân số a a b+ cũng là phân số tối giản. Bài 9: Quy đồng mẫu số a/ 3/8 ; 19/120 ; 8/15 b/ 5/12 ; 3/8 ; 5/18 ; 23/24 c/ 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5 ; 5/6 ; 6/7 ; 7/8 ; 8/9 ; 9/10 d/ 25/75 ; 17/34 ; 121/132 e/ 1078/2541 ; 9764/36615 ; 56272/263775. f/ 4/5 ; 3/10 ; 5/12 ; 19/30 ; 1/3 ; 5/6 ¾ g/ 1/7 ; 1/6 ; 9/14 ; 5/12 ; 16/21 ; 1/3 ; 7/8 Bài 10: Tìm các phân số có tử là 3, > 1/8 nhưng < 1/7 Hướng dẫn Phân số cần tìm có dạng 3/x (x ∈ N * ) . Ta có: 1/8 < 3/x < 1/7 => 8 > x/3 > 7 Hay 21 < x < 24. Vậy 3/22 và 3/23 Bài 11: Tìm các phân số có tử là 1000, > 1/9 nhưng < 1/8. Có tất cả bao nhiêu phân số như vậy? Hướng dẫn ( như bài 1 có 999 phân số) Bài 12: Tìm phân số a/b biết rằng nếu thêm 6 vào tử và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của phân số a/b không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy? Hướng dẫn Các phân số thỏa mãn đề bài có dạng 2k/7k (k ∈ N * ) Bài 13: Cho phân số a/b < 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu. Hướng dẫn a/b < 1  a < b  a.n < b.n  a.b + a.n < a.b + b.n  a.(b + n) < b(a + n)  a/b < (a + n)/(b + n) Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b < 1 thì giá trị của phân số đó tăng thêm. Bài 14: Cho phân số a/b > 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu. Hướng dẫn a/b > 1  a > b  a.n > b.n  a.b + a.n > a.b + b.n  a.(b + n) > b(a + n)  a/b > (a + n)/(b + n) Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b > 1 thì giá trị của phân số đó giảm đi. Bài 15: So sánh 2 phân số sau: A = (1999 1999 + 1)/(1999 2000 + 1) B = (1999 1998 + 1)/(1999 1999 + 1) Hướng dẫn Rõ ràng A < 1. Ta có : a/b < 1  a < b  a.n < b.n  a.b + a.n < a.b + b.n  a.(b + n) < b(a + n)  a/b < (a + n)/(b + n) (n ∈ N * ) Ta có: A = (1999 1999 + 1)/(1999 2000 + 1) < (1999 1999 + 1) + 1998/(1999 2000 + 1) + 1998 = (1999 1999 + 1999)/(1999 2000 + 1999) = (1999 1998 + 1) .1999/(1999 1999 + 1) .1999 = (1000 1998 + 1) /(1999 1999 + 1) = B . Vậy A < B. Bài 16: So sánh: (13 15 + 1)/(13 16 + 1) và (13 16 + 1)/(13 17 + 1) Bài 17: Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có 1 chữ số và mỗi phân số này đều lớn hơn 7/9 và < 8/9. Bài 18: CMR: với d, b ≠ 0; nếu a/b < c/d thì a/b < (a + c)/(b + d) < c/d D. HỖN SỐ - CỘNG - TRỪ PHÂN SỐ 9 I. Lúy thuyết. A/ Hỗn số 1. Khái niệm: số gồm phần nguyên và phần phân số. Phần phân số luôn luôn nhỏ hơn 1 2. Muốn viết 1 phân số > 1 dưới dạng hỗn số ta chia tử cho mẫu, thương tìm được là phần nguyên của hỗn số, số dư là tử của phân số kèm theo, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho. 3. Muốn viết 1 hỗn số có phần nguyên khác 0 dưới dạng 1 phân số ta nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng với tử, kết quả tìm được là tử của phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho. 4. Muốn so sánh hai hỗn số có hai cách: - Viết các hỗn số dưới dạng phân số, hỗn số có phân số lớn hơn thì lớn hơn - So sánh hai phần nguyên: + Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn. + Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì so sánh hai phân số đi kèm, hỗn số có phân số đi kèm lớn hơn thì lớn hơn. Ở bài này ta sử dụng cách hai thì ngắn gọn hơn: 1 2 4 3 2 3 > ( do 4 > 3), 3 3 4 4 7 8 > (do 3 3 7 8 > , hai phân số có cùng tử số phân số nsò có mssũ nhỏ hơn thì lớn hơn). B/ Cộng phân số 1. Cộng 2 phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu số TQ a/m + b/m = (a +b)/m 2. Cộng 2 phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu số rồi cộng 2 phân số đã quy đồng mẫu số TQ a/m + b/n = (a.n +b.m)/m.n 3. Tính chất: * Giao hoán: a/b + c/d = c/d + a/b * Kết hợp: (a/b + c/d) + p/q = a/b + (c/d + p/q) * Cộng với 0: a/b + 0 = 0 + a/b = a/b * Thêm, bớt vẫn không đổi: a/b + c/d = (a/b + e/f) + (c/d - e/f) C/ Trừ phân số 1. Số đối: tổng của chúng bằng 0 * a/b + ( - a/b) = 0 * -a/b = a/-b = -a/b 2. Muốn trừ 1 phân số cho 1 phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. a/b – c/d = a/b + (-c/d) 3. Trừ 2 phân số cùng mẫu ta trừ các tử với nhau và giữ nguyên mẫu số TQ a/m - b/m = (a -b)/m 4. Trừ 2 phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu số rồi trừ 2 phân số đã quy đồng mẫu số TQ a/m - b/n = (a.n -b.m)/m.n 5. Khi trừ 2 hỗn số nếu phần phân số của số trừ > phần phân số của số bị trừ thì ta phải rút 1 đơn vị trong phần nguyên của số bị trừ và them vào phần phân số để có 1 phân số > phân số ở số trừ rồi tiếp tục làm như trên VD 3. 1/2 – 1.3/4 = 2. 2/3 - 1. 3/4 = (2-1) + (3/2 - ¾ + = 1. ¾ 6. Tính chất: Cùng thêm, cùng bớt vẫn không đổi a/b - c/d = (a/b + e/f) - (c/d + e/f) = (a/b - e/f) - (c/d - e/f) II. Bài tập Bài 1: 1/ Viết các phân số sau đây dưới dạng hỗn số: 33 15 24 102 2003 ; ; ; ; 12 7 5 9 2002 2/ Viết các hỗn số sau đây dưới dạng phân số: 1 1 2000 2002 2010 5 ;9 ;5 ;7 ;2 5 7 2001 2006 2015 3/ So sánh các hỗn số sau: 3 3 2 và 1 4 2 ; 3 4 7 và 3 4 8 ; 3 9 5 và 6 8 7 Hướng dẫn: 1/ 3 1 4 1 1 2 ,2 ,4 ,11 ,1 4 7 5 3 2002 2/ 76 244 12005 16023 1208 , , , , 15 27 2001 2003 403 Bài 2: Tìm 5 phân số có mẫu là 5, lớn hơn 1/5 và nhỏ hơn 2 1 5 . 10 [...]... học có số HS nữ bằng 5 số HS nam Nếu 10 HS nam chưa vào lớp thì số HS nữ gấp 7 3 lần số HS nam Tìm số HS nam và nữ của lớp đó 2/ Trong giờ ra chơi số HS ở ngoài bằng 1/5 số HS trong lớp Sau khi 2 học sinh vào lớp thì số số HS ở ngoài bừng 1/7 số HS ở trong lớp Hỏi lớp có bao nhiêu HS? Hướng dẫn: 3 3 số HS nữ, nên số HS nam bằng số HS cả lớp 5 8 1 1 Khi 10 HS nam chưa vào lớp thì số HS nam bằng số HS... Cho hỗn số x.12/13 Tìm x biết: 561/143 < x.12/13 < 1463/247 Bài 8: Tính tổng của các phân số > 1/8 , < 1/7 và có tử là 3 (3/22 + 3/23 = 135/506) Bài 9: Viết mỗi phân số sau đây thành tổng của 2 phân số tối giản có mẫu khác nhau? a/ 7/15 (1/15 + 6/15 = ……) b/ 13/27 (1/27 + 12/27 = …… ) Bài 10: Dùng 10 chữ số: 0, 1, 2, ……9 (mỗi chữ số chỉ dùng 1 lần) để lập 2 phân số bằng nhau có tổng bằng 1 ( vô số cách... + (74.147 – 73)/(73.147 + 74) + 216,6 Bài 17: Viết 3/11 thành tổng của 2 phân số có tử số là 1 và mẫu khác nhau? Bài 18: Viết 5/21 thành tổng của 3 phân số có tử số là 1 và mẫu khác nhau? Bài 19: Có 5 quả cam chia đều cho 6 người Làm cách nào để chia được mà không phải cắt bất kỳ quả nào thành 6 phần bằng nhau? Bài 20: Cộng các phân số sau: a/ Hướng dẫn a/ 4 35 Bài 21: Tìm x biết: 65 −33 + 91 55 −13... tức bằng số HS cả lớp 7 8 3 1 1 Vậy 10 HS biểu thị - = (HS cả lớp) 8 8 4 1 Nên số HS cả lớp là: 10 : = 40 (HS) 4 3 Số HS nam là : 40 = 15 (HS) 8 5 Số HS nữ là : 40 = 25 (HS) 8 1 1 2/ Lúc đầu số HS ra ngoài bằng số HS trong lớp, tức số HS ra ngoài bằng số HS trong lớp 5 6 1 Sau khi 2 em vào lớp thì số HS ở ngoài bằng số HS của lớp Vậy 2 HS biểu thị 8 1 1 2 - = (số HS của lớp) 6 8 48 2 Vậy số HS của... 6 x= 13 a/ x - Bài 3: Lớp 6A có 42 HS được chia làm 3 loại: Giỏi, khá, Tb Biết rằng số HSG bằng 1/6 số HS khá, số HS Tb bằng 1/5 tổng số HS giỏi và khá Tìm số HS của mỗi loại Hướng dẫn Gọi số HS giỏi là x thì số HS khá là 6x, 1 5 số học sinh trung bình là (x + 6x) = x + 6x 5 15 Mà lớp có 42 học sinh nên ta có: x + 6 x + 7x = 42 5 Từ đó suy ra x = 5 (HS) Vậy số HS giỏi là 5 học sinh Số học sinh khá... 6A 16 Số học sinh lớp 6B bằng Tổng số phần của 3 lớp: 18+16+17 = 51 (phần) Số học sinh lớp 6A là: (102 : 51) 16 = 32 (học sinh) Số học sinh lớp 6B là: (102 : 51) 18 = 36 (học sinh) Số học sinh lớp 6C là: (102 : 51) 17 = 34 (học sinh) Bài 5: 1/ Giữ nguyên tử số, hãy thay đổi mẫu số của phân số 275 soa cho giá trị của nó giảm đi 289 7 giá trị của nó Mẫu số mới là bao nhiêu? 24 Hướng dẫn Gọi mẫu số phải... − = +5 100 100 100 Áp dụng mối quan hệ giữa số bị trừ, số trừ và hiệu ta có: 30 x 20 x 150 = +5+ 100 100 100 19 Áp dụng quan hệ giữa các số hạng của tổng và tổng ta có: 10 x 650  650  = ⇒ x= 100 ÷:10 ⇒ x = 65 100 100  100  Bài 2: Trong một trường học số học sinh gái bằng 6/5 số học sinh trai a/ Tính xem số HS gái bằng mấy phần số HS toàn trường b/ Nếu số HS toàn trường là 1210 em thì trường đó... theo đề bài ta có: 275 275 7 275 275  7  275 17 275 = − = = 1 − ÷ = x 289 24 289 289  24  289 24 408 Vậy x = 275 408 20 Bài 6: Ba tổ công nhân trồng được tất cả 286 cây ở công viên Số cây tổ 1 trồng được bằng cây tổ 2 và số cây tổ 3 trồng được bằng 9 số 10 24 số cây tổ 2 Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây? 25 Hướng dẫn 90 cây; 100 cây; 96 cây TÌM MỘT SỐ BIẾT GIÁ TRỊ PHÂN SỐ CỦA NÓ Bài 1: 1/... 91,8 (a) 3 21 Bài 3: Một người có xoài đem bán Sau khi án được 2/5 số xoài và 1 trái thì còn lại 50 trái xoài Hỏi lúc đầu người bán có bao nhiêu trái xoài Hướng dẫn Cách 1: Số xoài lức đầu chia 5 phần thì đã bắn 2 phần và 1 trái Như vậy số xoài còn lại là 3 phần bớt 1 trsi tức là: 3 phần bằng 51 trái Số xoài đã có là 5 5 = 85 trái 31 Cách 2: Gọi số xoài đem bán có a trái Số xoài đã bán là Số xoài còn... trong hai thùng Nếu lấy 25% số gạo của thùng thứ nhất chuyển sang thùng thứ hai thì số gạo của hai thùng bằng nhau Hỏi số gạo của mỗi thùng là bao nhiêu kg? Hướng dẫn: Nếu lấy số gạo thùng thứ nhất làm đơn vị thì số gạo của thùng thứ hai bằng 1 (đơn vị) (do 25% = 2 1 3 1 ) và số gạo của thùng thứ nhất bằng số gạo của thùng thứ hai + số gạo của thùng thứ nhất 4 4 4 1 3 Vậy số gạo của hai thùng là: 1 . hoặc mẫu số rồi so sánh. - Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so sánh các mẫu với nhau. + Chọn 1 phân số làm trung gian. - So sánh phân số. c/ 3 4 − và 4 5− d/ 2 3− và 5 7 − Hướng dẫn - Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh - Kết quả: 7 a/ 3 5 − = 39 65− ; b/ 9 27 − =. phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho. 4. Muốn so sánh hai hỗn số có hai cách: - Viết các hỗn số dưới dạng phân số, hỗn số có phân số lớn hơn thì lớn hơn - So sánh hai phần nguyên: + Hỗn số nào có