Bi ging K Thût Säú Trang 12 Chỉång 2 ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1.1. Cạc tiãn âãư Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole. ∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x.y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau: 2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn ∀x,y ∈ B: x + y = y + x 2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp ∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z (x. y).z = x.(y. z) = x.y.z 2.1.1.3. Tiãn âãư phán bố ∀x,y,z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z x + (y.z) = (x + y)(x + z) 2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha, âọ l pháưn tỉí âån vë v pháưn tỉí kh, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0. ∀x ∈ B: x + 1 = 1 x . 1 = x x + 0 = x x . 0 = 0 2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b ∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln tha mn: x + x = 0 Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 13 x. x = 0 Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút. 2.1.2. Cạc âënh l 2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp toạn nhán v ngỉåüc lải,thay 0 bàòng 1 v ngỉåüc lải thç s suy ra âỉåüc mãûnh âãư kia. Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng. Vê dủ: x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z ) x + (y. z ) = ( x + y )( x + z ) Vê dủ: x + x = 1 x. x = 0 2.1.2.2. Cạc âënh l a. Âënh l vãư pháưn tỉí b l duy nháút ∀x, y ∈ B: xy 0 x.y 1yx =⇒ = =+ ⎭ ⎬ ⎫ ∀x ∈ B: x + x +. . . . . + x = x x. x. x. . . . . . x = x b. Âënh l De Morgan ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: zyx =++ zyx zyxx.y.z ++= ∀x ∈ B, ta cọ: x = x ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: Bi ging K Thût Säú Trang 14 x + y + z = zyx ++ = z.y.x x. y. z = x.y.z = zyx ++ ∀x, y ∈ B, ta cọ: x. ( x + y) = x.y x + ( x . y) = x + y ∀x, y ∈ B, ta cọ: x + x. y = x x.(x + y) = x Våïi 0, 1 ∈ B, ta cọ: 0 = 1 v 1 = 0 2.2. HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN 2.2.1. Hm Boole 2.2.1.1. Âënh nghéa Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ. Tỉïc l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-). Hm Boole âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole. K hiãûu: f(x) = x f(x) = x f(x) = α (α: l hàòng säú ) Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x 1 , x 2 ,. . . . . ., x n ) 2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole Nãúu f(x 1 , x 2 , , x n ) l mäüt hm Boole thç: + α.f(x 1 , x 2 , , x n ) cng l mäüt hm Boole. + f (x 1 , x 2 , , x n ) cng l mäüt hm Boole. Nãúu f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) v f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) l nhỉỵng hm Boole thç: + f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) + f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) cng l mäüt hm Boole. + f 1 (x 1 , x 2 , , x n ).f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) cng l mäüt hm Boole. Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 15 Vỏỷy, mọỹt haỡm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kóỳt caùc haỡm Boole bũng caùc pheùp toaùn + (cọỹng logic), x (nhỏn logic) hoỷc nghởch õaớo logic (-). 2.2.1.3. Giaù trở cuớa haỡm Boole Goỹi f (x 1 , x 2 , , x n ) laỡ mọỹt haỡm Boole theo bióỳn Boole. Trong f ngổồỡi ta thay caùc bióỳn x i bũng caùc giaù trở cuỷ thóứ i (i = n1, ) thỗ haỡm f ( 1 , 2 , 3 , , n ) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo n bióỳn. Vờ duỷ: Xeùt haỡm f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 Xeùt B = B* ={0,1} x 1 x 2 f(x 1 , x 2 ) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Nóỳu x 1 = x 2 =0 f(0,0) = 0 Nóỳu x 1 = 0, x 2 = 1 f(0,1) = 1 Nóỳu x 1 = 1, x 2 = 0 f(1,0) = 1 Nóỳu x 1 = 1, x 2 = 1 f(1,1) = 1 Ta lỏỷp õổồỹc baớng giaù trở cuớa haỡm trón. Vờ duỷ: f (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 Xeùt B = B* = {0,1 } Baớng giaù trở cuớa haỡm: x 1 x 2 x 3 f (x 1 , x 2 , x 3 ) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 16 2.2.2. Caùc phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole 2.2.2.1. Phổồng phaùp baớng Laỡ phổồng phaùp thổồỡng duỡng õóứ bióứu dióựn haỡm sọỳ noùi chung. Phổồng phaùp naỡy gọửm mọỹt baớng õổồỹc chia laỡm hai phỏửn: - Mọỹt phỏửn daỡnh cho bióỳn õóứ ghi caùc tọứ hồỹp giaù trở coù thóứ coù cuớa bióỳn. - Mọỹt phỏửn daỡnh cho haỡm õóứ ghi caùc giaù trở cuớa haỡm ra tổồng ổùng vồùi caùc tọứ hồỹp cuớa caùc bióỳn vaỡo. 2.2.2.2. Phổồng phaùp giaới tờch Laỡ phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng tọứng caùc tờch sọỳ, hoỷc dổồùi daỷng tờch cuớa caùc tọứng sọỳ. Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ goỹi laỡ daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt, coỡn daỷng tờch cuớa caùc tọứng laỡ daỷng chờnh từc thổù hai cuớa haỡm Boole, vaỡ hai daỷng chờnh từc naỡy laỡ õọỳi ngỏựu nhau. a. Daỷng chờnh từc 1(Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ) Xeùt caùc haỡm Boole õồn giaớn sau õỏy: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = . Xeùt f(x) = x: Ta coù: x =0. x + 1. x mỷt khaùc: () () () = = = 00f 11f xxf suy ra f(x) = x coù thóứ bióứứu dióựn: f(x) = x = f(0). x + f (1).x trong õoù: f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo mọỹt bióỳn. Xeùt f(x) = x : Ta coù: x = 1. x + 0. x Mỷt khaùc: () () () = = = 10f 01f xxf Suy ra: f(x) = x coù thóứ bióứu dióựn: f(x) = x = f(0). x + f(1).x Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 17 Xeùt f(x) = : Ta coù: = .1 = (x + x ) = x . + .x Mỷt khaùc: () () () = = = 0f 1f xf Suy ra f(x) = coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn: f(x) = = f(0). x + f(1).x Kóỳt luỏỷn: Duỡ laỡ f(x) = x, f(x) = x hay f(x) = , ta õóửu coù daỷng: f(x) = f(0). x + f(1).x Vỏỷy f(x) = f(0). x + f(1).x trong õoù f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo mọỹt bióỳn, õổồỹc goỹi laỡ daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt (daỷng tọứng cuớa caùc tờch) theo mọỹt bióỳn. Trong trổồỡng hồỹp hai bióỳn f(x 1 , x 2 ) thỗ caùch bióứu dióựn cuợng hoaỡn toaỡn dổỷa trón caùch bióứu dióựn cuớa daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt theo 1 bióỳn (trong õoù xem mọỹt bióỳn laỡ hũng sọỳ). Ta coù: f(x 1 , x 2 ) = f(0, x 2 ). x 1 + f(1,x 2 ).x 1 maỡ: f(0, x 2 ) = f(0,0 ). x 2 + f(0,1).x 2 vaỡ: f(1, x 2 ) = f(1,0). x 2 + f(1,1). x 2 Suy ra: f(x 1 , x 2 ) = f(0,0) x 1 x 2 + f(0, 1) x 1 x 2 + f(1,0 )x 1 x 2 + f(1,1)x 1 x 2 Vỏỷy: 2 2 1 1 2 2 1 x)x,( 12 0e f ),( 21 = =xxf trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ ( 1 , 2 ) vaỡ: x 1 nóỳu 1 = 1 x 1 nóỳu 1 = 0 = 1 1 x x 2 nóỳu 2 = 1 x 2 nóỳu 2 = 0 2 = 2 x Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 18 Tọứng quaùt cho n bióỳn: f(x 1 , x 2 , , x n ) = n n 2 21 xx)x, ,,f( n2 1 n 2 0e 1 1 = trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ nhở phỏn ( 1 , 2 , , n ); vaỡ: x i nóỳu i = 1 x i nóỳu i = 0 = i x i Vờ duỷ: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = f ( = 12 0e 3 1 , 2 , 3 ). x 1 1 . x 2 2 . x 3 3 f(x 1 , x 2 , x 3 ) = f(0,0,0)x 1 x 2 x 3 + f(0,0,1)x 1 x 2 x 3 + f(0,1,0)x 1 x 2 x 3 + f(0,1,1) x 1 x 2 x 3 + f(1,0,0) x 1 x 2 x 3 + f(1,0,1)x 1 x 2 x 3 + f(1,1,0) x 1 x 2 x 3 + f(1,1,1) x 1 x 2 x 3 Vỏỷy daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt laỡ daỷng tọứng cuớa caùc tờch maỡ trong mọựi tờch sọỳ chổùa õỏửy õuớ caùc bióỳn Boole dổồùi daỷng thỏỷt hoỷc daỷng buỡ (nghởch õaớo). b. Daỷng chờnh từc 2 (tờch cuớa caùc tọứng): ỏy laỡ daỷng õọỳi ngỏựu cuớa daỷng chờnh từc 1 nón bióứu thổùc tọứng quaùt cuớa daỷng chờnh từc thổù hai cho n bióỳn laỡ: f(x 1 , x 2 , , x n ) = [f( = 1n 2 0e 1 , 2 , 3 ) + x 1 1 + x 2 2 + + x n n )] trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng cuớa maợ nhở phỏn ( 1 , 2 , , n ); vaỡ: x i nóỳu i = 1 x i nóỳu i = 0 i i = x Vờ duỷ: f(x 1 ,x 2 )=[f(0,0)+x 1 +x 2 ][f(0,1)+x 1 +x 2 ][f(1,0)+x 1 +x 2 ][f(1,1)+x 1 +x 2 ] Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 19 f(x 1 , x 2 , x 3 ) = [f(0,0,0)+x 1 + x 2 +x 3 ].[f(0,0,1)+x 1 +x 2 +x 3 ]. [f(0,1,0)+x 1 +x 2 +x 3 ].[f(0,1,1)+x 1 +x 2 +x 3 ]. [f(1,0,0)+ x 1 +x 2 +x 3 ].[f(1,0,1)+x 1 +x 2 +x 3 ]. [f(1,1,0)+ x 1 +x 2 +x 3 ].[f(1,1,1)+x 1 +x 2 +x 3 ] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m trong âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b. Chụ : Xẹt vê dủ 1: f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 , Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 1: f(x 1 , x 2 ) = 0.x 1 x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 = x 1 .x 2 + x 1 .x 2 + x 1 .x 2 Tỉì vê dủ trãn ta tháúy: Dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra bàòng 1. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng b ( x ). Xẹt vê dủ 2: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = [0+x 1 +x 2 +x 3 ].[0+x 1 +x 2 +x 3 ].[0+x 1 +x 2 +x 3 ]. [1+x 1 +x 2 +x 3 ].[1+x 1 +x 2 +x 3 ].[1+x 1 +x 2 +x 3 ]. [1+ x 1 +x 2 +x 3 ].[1+x 1 +x 2 +x 3 ] Hay: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 = [x 1 +x 2 +x 3 ].[x 1 +x 2 +x 3 ].[x 1 +x 2 +x 3 ] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra bàòng 0. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng b ( x ). Xẹt vê dủ âån gin sau âãø hiãøu r hån vãư cạch thnh láûp bng giạ trë ca hm, tçm hm mảch v thiãút kãú mảch: Hy thiãút kãú mảch âiãûn sao Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 20 cho khi cọng từc 1 õoùng thỗ õeỡn õoớ, cọng từc 2 õoùng õeỡn õoớ, caớ hai cọng từc õoùng õeỡn õoớ. Giaới Ta qui õởnh: - Cọng từc hồớ : 0 eỡn từt : 0 - Cọng từc õoùng : 1 eỡn õoớ : 1 Luùc õoù ta coù baớng traỷng thaùi mọ taớ hoaỷt õọỹng cuớa maỷch: Cọng từc 1 x 1 Cọng từc 2 x 2 eỡn f(x 1 ,x 2 ) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Vióỳt theo daỷng chờnh từc 1 ta coù: f(x 1 , x 2 ) = 0.x 1 x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 = x 1 . x 2 + x 1 .x 2 + x 1 .x 2 = x 1 . x 2 + x 1 (x 2 + x 2 ) = x 1 . x 2 + x 1 = x 1 + x 2 Vióỳt theo daỷng chờnh từc 2 ta coù: f(x 1 , x 2 ) = [0+x 1 +x 2 ].[1+x 1 +x 2 ].[1+x 1 + x 2 ].[1+x 1 +x 2 ] = [x 1 + x 2 ].1.1.1 = x 1 + x 2 Vỏỷy, duỡ vióỳt theo daỷng chờnh từc 1 hay chờnh từc 2 ta õóửu coù haỡm maỷch: f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 2.2.2.3. Phổồng phaùp bióứu dióựn bũng baớng Karnaugh ỏy laỡ caùch bióứu dióựn laỷi cuớa phổồng phaùp baớng dổồùi daỷng baớng gọửm caùc ọ vuọng coù daỷng nhổ hỗnh bón. Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 21 Trãn bng ny ngỉåìi ta bäú trê cạc biãún vo theo hng hồûc theo cäüt ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l chàơn, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang bàòng säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l l, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang nhiãưu hån säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc 1 biãún hồûc ngỉåüc lải. Cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng âỉåüc bäú trê sao cho khi ta âi tỉì mäüt ä sang mäüt ä lán cáûn våïi nọ chè lm thay âäøi mäüt giạ trë ca biãún, nhỉ váûy thỉï tỉû bäú trê hay sàõp xãúp cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng Karnaugh hon ton tn th theo m Gray. Giạ trë ghi trong mäùi ä vng ny chênh l giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo. ÅÍ nhỉỵng ä m giạ trë hm l khäng xạc âënh, cọ nghéa l giạ trë ca hm l ty (hay ty âënh), ngỉåìi ta kê hiãûu bàòng chỉỵ x. Nãúu cọ n biãún vo s cọ 2n ä vng. 2.3. TÄÚI THIÃØU HM BOOLE 2.3.1. Âải cỉång Trong thiãút bë mạy tênh ngỉåìi ta thỉåìng thiãút kãú gäưm nhiãưu modul (kháu) v mäùi modul ny âỉåüc âàûc trỉng bàòng mäüt phỉång trçnh logic. Trong âọ, mỉïc âäü phỉïc tảp ca så âäư ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng. Viãûc âảt âỉåüc âäü äøn âënh cao hay khäng l ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng åí dảng täúi thiãøu họa hay chỉa. Âãø thỉûc hiãûn âỉåüc âiãưu âọ, khi thiãút kãú mảch säú ngỉåìi ta âàût ra váún âãư täúi thiãøu họa cạc hm logic. Âiãưu âọ cọ nghéa l phỉång trçnh logic biãøu diãùn sao cho thỉûc sỉû gn nháút (säú lỉåüng cạc phẹp tênh v säú lỉåüng cạc säú âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng tháût hồûc b l êt nháút). Tuy nhiãn trong thỉûc tãú, khäng phi lục no cng âảt âỉåüc låìi gii täúi ỉu cho bi toạn täúi thiãøu họa.