1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Đánh giá lớp phép biến hình Á bảo giác lên vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay 7

14 252 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 3,12 MB

Nội dung

Luận văn thạc sĩ toán học -chuyên ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Đánh giá lớp phép biến hình Á bảo giác lên vành khăn bị cắt theo các cung tròn đối xứng quay

28 Lu(m van Th(lc sj Toan h(Jc - Tntclng Thu(1n Chuang cA C DANH GIA LOP HAM G Trang chu'ang nay, chung toi danh gia cae d£;lilu'cjngd~c tru'ng cha mi~n chuffn cling nhu' moduli cua cae lOp ham G Vi~c danh gia ban kfnh Q (g), E G, dong m9t vai tro quail trQng trang vi~c danh gia cae d£;li lu'cjngkhac, VI the' chung Wi b~t dftu voi danh gia 5.1 Danh gia ban kinh Q(g) Dinh Iy 5.1 VcJicae giG thief va ky hi£lu iJ ehLtdng 2, V9 E G, ta e6 K S~~) (1+ r' (5.1) < Q(g) < /i-*, d6 dang thue trai xdy B = Bo va g(w) = alwIK-1w,w E 1 B, lal = va dang thue phdi xdy B = Bo va g(w) = blwlK-W,w E B, Ibl= Chung minh Ap d\lng b6 d~ 4.1 cha PBHKABG ngu'cjcf ta co 32 > 81 > 81 (Q~g)r+ps (R~9)r (Q~g))K +ps C2.~ psrIf E G, (doR(g) < 1) Tli day, suy fa c~n du'oi cua Q(g) Q(g) > = g-l, = (1+ S~~)rIf (5.2) Khi B = Bo va g(w) = alwIK-1w, la! = thl d~ng thuc Kayfa M~H khac, ne'u f.1 > 1, ap d\lng [13,dinh 19 1] cho PBHKABG E G ta nh~n dllc;1c 7r12 > 7rQ2 (g) {l K Suy fa Q(g) < {l-K Tli day, nhd [14,c6ng thuc 2.5], ta co d~ng thuc Kay fa B -k-1 = Bo ~ va g(w) = blwl w, Ibl= 1, wEB Ne'u {l = thl daub gia c~n tfen Ia hi~n nhien va d~ng thuc kh6ng th~ Kay fa H~ qua 5.1 VI 8(B) < 7r - 81 - p8, 81 (5.1) dzt(fc vief dztcJi d(lng P8 ( Q(g) > qK - -:; > 7rq2, cg,n dztcJicua Q(g) -if ) (g E G), (5.3) suy Q(g) > Deing thac (5.3) ho(ic (5.4) xdy {:} (5.4) qK B = Bo va g(w) = alwIK-1w, w E B, lal = 5.2 Danh gia c~n dtioi ban kinh R(g) K Vi R(g) > Q(g), \/g E G, tli dinh 19 5.1, ta co R(g) > (1 + S~~))-2 M~t khac, ta co dinh 19 sail: Dinh Iy 5.2 V6i caegid thief va ky hi?u iJ chztdng 2, \/9 E G va > 0, ta co cae danh gia: 1f R(g) > R(g) > ( 1- 8(B) ) 82 ( 82 - p8 29 81{l KI ) (5.5) j If (5.6) Cluing minh Thea (5.2), voi > 82 a 1< + p8 ( R(g) ) > 81 ( Q(g)) -* 1< >R (5.7) (81+ p8) Suy fa R k 81 (1'*)K 1< + p8 ( R(g) ) D Tli day suy fa (5.6) 5.3 Cae danh gia khae eho Q(g), R(g) va Ig(w)1 Blob Iy 5.3 VJi cae gia thitt va ky hi£1u(J chZlcJng2, 'l/g E G, ta co -x Q(g) < J-L RK(p, Iwl,q) < Ig(w)1< RK (p, 1~I,q) - RK (p, -K 1;I,q Q (g) < f-l , (5.8) , (5.9) ) (qK ; v6it' =T [p, C~~i I) k , q] Tli tu'dng t1/ nhu' tren, \:/gE G va \:/w E B, ta co -k Q(g) q I ( Ig(w)1 ) = R(p, t, q) > R ( p,~, q) , Ke't hcjp voi (5.1), suy cac c~n tren cua Ig(w) i (5.8) Tu'ong t1/, nho ba't d~ng thlic (4.22), ta co th~ chi cac ba't d~ng thlic (5.9) f)anh gia c~n du'oi (5.10) d6i voi Q(g) duQc suy tr1/c tie'p t11(5.9) D H~ qua 5.2 Tit (3.24), ta nh(m du(lc cac danh gia ddn gilln v fii cac gill thief va ky hi~u iJ chuang 2, \:/gE G, ta co 4-*lwIK < Ig(w)1 < 4{fQ(g) C~I) K < 4*p-k K K K (~) 4-P dK < R(g) < 4P Q(g) 4-~ (c ) _2f,' CJ K K < C~I) K, K 4P jL-K ( ~) ' < Q(g) < R(g) (5.11) (5.12) (5.13) , (q:r< Q(g) (5.14) Tit (3.12) va (3.16), ta thfly rling cac h~ slf chi phl:l thuQc vaa K va p trang (5.11)-(5.14) la tot nh{{t Chzl y Truong hcjp cac ph~n bien o-jthoai hoa p di~m roi r(;lc,hi~n nhien danh gia (5.11) vftn dung ne'u ta thay cac da'u < bdi < Nhu' v~y, bAng cach thac tri~n lien t\lC ham z 31 = (w) t(;lip di~m bien dfi nell, ta thffy (5.11) v~n dung cho PBHKABG d6i xung quay p lfin z = g(w) mi~n nhi lien B nQi tie'p tfong hlnh vanh khan q < Iwl < leD hlnh vanh khan Q < Izi < Chu j (5.14) co th~ s~c hon (5.4) q -+ 0, C -+ vdi di~u ki~n d = canst va" -q = canst c H~ qua 5.3 TruiJng hC;pC1, C2 va cac CJjlan ll1c;tla cac dl1(Jngtran Iwl = Qt, Iwl = va cac nhat cdt tren duiJngtran Iwl = R', ta co cac danh gia sau ~ ,1 Q'K < Q < Q K, (5.15) ,1 RK (5.16) R" Q') (p,R', Q') < R < RK (p, Q ~, Trang (5.15) dling thac traixay {::}B = Bo, g(w) = alwIK-1w, w E 1 B, lal = va dling thac phai xay {::}B = Bo, g(w) = blwlK- w, w E B, Ibl = Chang minh Th~t v~y, q = M1 = Q', C = d = R', J.t = J" S(B) = 7r(1 - Q'2), 81 = 7rQ'2, = O Do do, ap d1;lngdinh 19 5.1, ta nh~n du'Qc(5.15), cling vdi di~u ki~n xay fa ding thuc D Tu (5.9) va (5.15), nh~n du'Qc(5.16) H~ qua 5.4 Ktt hC;p(5.2) vai (5.9), ta tim l(Ii c(ln dual cila Q(g) co thi sdc h(Jn (5.1) nhu sau 82 > 81 81 ( Q(g) ) 1< + p8 ( R(g) ) ( Q(g) ) > 1< 1< K q -k -k p,~, q J.t ( ( + p8 R ) ) Suy -~ 82 - p8.R2 (p,~, q) J.t~ Q(g) > ( 81 32 ) H~ qua 5.5 Tit (5.9) va (5.10), ta nh(m dLt(le,nhiJ (3.12) va (3.17), cae danh gia sau day ddi vai Ide d{j h{ji I¥ ctla R(g), ~i~i va Q(g) lrong eae tntiJng h(lp gifJi h(ln K1f2 1- R(g) < 1- RK(p,d,O) ~ K[l- R(p,d,O)] ~ 2p n p(l-d) (5.17) d -+ 1, tlle la R(g) -+ d -+ CJ - Q(9) < - RK R(g) P, c' ( ~ ~ -; I, tlic fa ~i: i -; !{ [ 1- ~ R (p, ~,O )] ~ C ~ ~ (5.18) -; K [(1- R(p, d, 0)) + (1 - R (p,~, 0))] !{ 1f2 K 1f2 2p In p(l-d) + (5.19) 2p In p(l-~) ~ -+ e FJanh giG (5.19) n6i r2ingQ(g) ddn tdi ntu d 5.4 K1f28 2p In p(l-~) < 1-RK(p,d,0)RK(p,~,0) 1-Q(g) d -+ va ) -+ va :l -+ c Danh gia g6c md j3(g) R5 rang ta luan co < {3(g) < 21f, E G, nhien ta mu6n co danh gia p t6t hdn nhfi'ng tru'ong hejp nao Mu6n v~y ta dung phu'dng phap dQ d~li-di~n tich hay gQi Ia dQ dai Qtc tri Ahlfors va Beurling [1] d~ xu'ong nam 1950, giup giiH quye't nhi~u bai toan t6i u'u PBHBG Md rQng phu'dng phap cho PBHKABG, ta co b6 d~ sau: B6 d~ 5.1 Trong m(lt phdng z eho hlnh ehil nh~t D = {z = x + iyl < x < a, < y < b} 33 Gia sa ham so' W = j(z) th1!c hi~n mQt PBHKABG hlnh chTl nh(lt D ZenmQt ta giac Gong H cila m(it phdng W saD cho cac dlnh 0, a, a + ib va ib cila D ztm Zufft tu(jng ang V(ji cac dlnh WI, W2, W3 va W4 cila H GQi r ZahQ cac cung r H noi cc;mhWIW2wJi c(;mhW3W4cila H GiGsa co ham dQdo p = p(w) < Ip(r) = >0 lien tf:lC H saD cho lp,dW,< 00, V"{ E r va < SetH) = JJ HP2dudv < 00, W = u +iv lJ(it l p = inf l p ( r fEr ) Khi do, ta co Sp(H) > a K blpo (5.20) Ddng thac (j (5.20) co thl xay W4 W3 a + ib ib WI D ,Dx x a W2 Hinh 5.1: PBHKABG hlnh chu nh?t D Jen tu giac cong H Chang minh *Tru'dng h Denco l Do do, d€ p21f'(zWldvl y 1x E f, > ~ ta co a SetH) (l plf'(zJ[[dvl) a i J0 (l plf'(z)lIdYI) dx= i J0 (1 > pldwl) dx a 12 J > y;lp dx = a2 y;lp *Tru'ong hQp K > Xet T/= h(w) la PBHBG tu giac H leD hlnh chii'nh~t D' = {'TJ= S + it < s < a', < t < b'} I cho cac dlnh WI, W2, W3 va W4 cua H l~n hiQt tu'ong umg vdi cac dlnh 0, a', a' + ib' va ib' cua D' Ap dvng chung minh tren cho anh x~ ngu'Qch-I, ta co a' Sp(H) > bll~ M~t khac, anh x~ h f la PBHKABG hlnh chii'nh~t D leD hlnh chii' nh~t D' Den co a' 1a ->-b' - K b IBilt dAng thuc co d~ng !

Ngày đăng: 10/04/2013, 11:41

TỪ KHÓA LIÊN QUAN