GIÁO ÁN TOÁN A2 HỆ ĐẠIHỌC

GIÁO ÁN ĐH A2 Số tiết 6 GIÁO ÁN TOÁN A2 HỆ ĐẠI HỌC TÊN BÀI GIẢNG: CHƯƠNG II: MA TRẬN (TT) CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC  MỤC ĐÍCH: - Có kó năng thực hiện các phép toán trên ma trận. - Nhận biết được ma trận bậc thang. - Biết sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng để biến đổi một ma trận về dạng bậc thang. - Biết cách giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan. - Biết được ma trận khả nghòch và biết tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận vuông bằng thuật toán Gauss-Jordan. Biết cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình, n ẩn bằng cách sử dụng ma trận nghòch đảo. - Hiểu được đònh thức của một ma trận, hiểu và vận dụng được công thức Laplace để tính đònh thức. Nắm được các tính chất cơ bản của đònh thức. TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP 4 4.1 Bài tập: 13, 15, 17, 23, 28, 30 trang 44, 45, 46. Phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Hệ Phương trình đại số tuyến tính. * Dạng:        =+++ =+++ =+++ nnmnmm nn nn bxaxaxa bxaaxa bxaxaxa 2211 2222121 1121211  (1) * Dạng ma trận: AX = B (2) Trong đó: A =             mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211  , X =             n x x x  2 1 , B =             m b b b  2 1 45’ 10’ Hướng dẫn giải. Diễn giải. 1 4.2 4.3 4.4 5 5.1 5.2 A gọi là ma trận hệ số, X là ma trận ẩn số, B là ma trận hằng số. Ngoài ra ta còn thiết lập ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở rộng của hệ phương trình. Các ví dụ 1, 2 trang 27. + Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: b 1 = b 2 = … = b m = 0 + Nghiện của hệ (1). + Hệ phương trình tương thích, ẩn số tự do, ẩn số cơ sở. + Hệ phương trình tương đương. Các phép toán sơ cấp trên hàng của ma trận. 1) Hoán vò hai hàng R i ↔ R j 2) Thay một hàng bằng chính hàng đó sau khi nhân với một số khác 0: λR i → R i (λ ≠ 0). 3) Thay một hàng bằng chính hàng đó cộng với một hàng khác sau khi đã nhân với một số bất kì: λR j + R i → R i Ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang chính tắc Sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng ta có thể đưa ma trận mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính về dạng bậc thang chính tắc là ma trận mở rộng của một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho. + Giới thiệu ma trận có dạng bậc thang chính tắc (GT trang 28) Phương pháp Gauss-Jordan. Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính ta dùng phương pháp Gauss-Jordan theo các bước sau: * B1: Thiết lập ma trận mở rộng. * B2: Dùng các phép toán sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A’ về dạng bậc thang chính tắc A’’. * B3: Giải hệ phương trình với ma trận mở rộng A’’. Ví dụ: 1, 2, 3 trang 29, 30, 31. Ma trận Nghòch đảo. Đònh nghóa: Cho A∈M n (|R), A được gọi là khả nghòch (không suy biến), nếu tồn tại ma trận B∈M n (R), sao cho A.B = BA = I n B gọi là ma trận nghòch đảo của A, kí hiệu là A -1 , ta có: AA -1 = A -1 A = I n Nếu A không khả nghòch ta nói A là ma trận suy biến. Đònh lí: * Nếu A là ma trận khả nghòch thì ma trận nghòch đảo A -1 là duy nhất. * (A -1 ) -1 = A * (A 1 A 2 ) -1 = A 2 -1 A 1 -1 * (A T ) -1 = (A -1 ) T [Giáo trình trang 32] 10’ 10’ 30’ 30’ Diễn giải. Diễn giải minh họa Diễn giải. Hướng dẫn giải. Diễn giải. Hướng dẫn 2 5.3 5.4 1 1.1 Thuật toán Gauss-Jordan để tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận vuông cấp n. * B1: Lập ma trận M = [A | I n ] * B2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để biến đổi [A | I n ] về dạng bậc thang [I n | B]. * Kết luận: A -1 = B Các ví dụ: 1, 2, 3 trang 34, 35, 36 giáo trình. Giải hệ phương trìnhđại số tuyến tính bằng cách sử dụng ma trận nghòch đảo. * Đònh lý: Cho hệ phương trình n phương trình, n ẩn số AX = B. Nếu A không suy biến thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất X = A -1 B. (Giáo trình trang 37) * Ví dụ: trang 37. * Bài tập: 73, 74 trang 48; 77, 80 trang 49. CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC Hoán vò cấp n. Hoán vò cấp n. * Đònh nghóa 1: Cho X là một tập hợp có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phân( tử của X theo một thứ tự nhất đònh được gọi là hoán vò của X. Ví dụ: X = {a, b, c} Có 6 cách sắp xếp:         cba cba ,         bca cba ,         cab cba         acb cba ,         bac cba ,         abc cba Theo ngôn ngữ ánh xạ ta có đònh nghóa sau: * Đònh nghóa 2: Cho X là một tập hợp có n phần tử, một hoán vò cấp n là một song ánh từ X lên chính nó. Không mất tính tổng quát, bằng cách đánh số các phần tử; một hoán vò cấp n thường được viết như sau:               = )()3()2()1( 321 n n σσσσ σ   45’ 10’ Hướng dẫn giải. Diễn giải Minh họa 3 1.2 2 2.1 Chú ý: Nếu X có n phần tử thì ta có n! hoán vò cấp n của X. Tập tất cả các hoán vò cấp n được kí hiệu là S n . Như vậy S n có phần tử. Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ. a) Nghòch thế: Cho σ ∈ S n . Một cặp phần tử (i, j) được gọi là nghòch thế. Nếu ta có i < j => σ(i) > σ(j). b) Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ: Gọi S(σ) là tổng tất cả các nghòch thế của σ. * Nếu S(σ) là số chẵn, ta nói σ là hoán vò chẵn. * Nếu S(σ) là số lẻ, ta nói σ là hoán vò lẻ. Ví dụ: Cho σ =         51342 54321 σ có 4 nghòch thế, S(σ) = 4, vậy σ lá hoán vò chẵn. Đònh thức: Đònh nghóa: Cho ma trận vuông cấp n (n ≥ 1) A =               nn n n aaa aaa aaa     1211 22221 11211 Đònh thức của ma trận A, kí hiệu det A, D(A) hoặc |A| được xác đònh như sau: det A = ∑ ∈ − n S nn S aaa σ σσσ σ )()2(2)1(1 )( )1(  (1) (Tổng này có dạng n! số hạng) Chẳng hạn: * A =         2221 1211 aa aa n = 2 ta có 2 hoán vò         21 21 1 σ và         12 21 2 σ Trong đó có 1 hoán vò lẻ là σ 2 ; từ (1) ta có: det A = 2112 )0( 1211 )( 21 )1()1( aaaa SS σσ −+− det A = 21122211 aaaa − * A =             333231 232221 131211 aaa aaa aaa n = 3 ta có 6 hoán vò σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 , σ 6 . Trong đó có 3 hoán vò 10’ 15’ Diễn giải. Diễn giải. Hướng dẫn tính. 4 3 4 4.1 σ 1 , σ 2 , σ 3 chẵn, có 3 hoán vò σ 4 , σ 5 , σ 6 lẻ. Từ (1) ta có: det A = 233113 )0( 312312 )0( 332211 )( 221 )1()1()1( aaaaaaaaa SSS σσσ −+−+− 122133 )0( 133122 )0( 332211 )( 221 )1()1()1( aaaaaaaaa SSS σσσ −+−+− => det A = 213213312312332211 aaaaaaaaa ++ 211233311322322311 aaaaaaaaa −−− Để dễ nhớ ta dùng qui tắc Sarrus sau: * Tổng của tích các phần tử trên đường chéo chính mang dấu cộng. * Tổng của tích các phần tử trên đường chéo phụ mang dấu trừ. Tính chất cơ bản của đònh thức. 1) Ta có D(A) = D(A T ) ; D(AB) = D(A) D(B) = D(BA) 2) Nếu đổi chổ 2 hàng (cột) bất bì cho nhau thì đònh thức đổi dấu. Đặc biệt: Nếu 1 ma trận có 2 hàng (2 cột) giống nhau thì đònh thức bằng 0. 3) Nếu có một hàng (cột) của đònh thức mà mỗi phần tử trên hàng đều là một tổng của hai số thì ta có thể tách đònh thức đã cho thành tổng của hai đònh thức. 4) Nếu có một hàng (cột) của đònh thức mà mỗi phần tử đều là tích của λ với một số thì ta có thể đưa λ ra ngoài dấu đònh thức. 5) Đònh thức không đổi khi ta cộng vào một hàng với một hàng khác sau khi đã nhân với một hằng số. Cho các ví dụ minh họa. Đònh lý Laplace. Đònh thức con bù, phần bù đại số. Cho ma trận A =               nnnn n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 * Đònh thức con bù của phần tử a ij , kí hiệu M ij là đònh thức của ma trận con có được từ A bằng cách bỏ hàng i, cột j. Ví dụ: cho A =           987 456 321 M 23 = 6148 87 21 −=−= * Phần bù đại số của phần tử a ij . Kí hiệu A ij là một số được xác 20’ 15’ Diễn giải. Minh họa. 5 4.2 đònh như sau: A ij = (-1) i+j M ij Ví dụ: A 23 = (-1) 2+3 M 23 = -M 23 = 6 Đònh lý Laplacce: Cho A = [ ] ni ni ij a ,1 ,1 = = Ta có: * det A = ∑ = n j ijij Aa 1 (khai triển theo hàng thứ i) * det A = ∑ = n i ijij Aa 1 (khai triển theo cột thứ i) Ví dụ: Giáo trình trang70. 15’  TỔNG KẾT: (5 phút). - Ma trận nghòch đảo, thuật toán Gauss để tìm ma trận nghòch đảo, để giải hệ phương trình đại số tuyến tính. - Cách tính đònh thức cấp 2, cấp 3, công thức Laplace. - Bài tập về nhà trang 48, 49, bài 92, 93 trang 50; bài 105, 106 trang 51.  RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 2006 Khoa Tổ bộ môn Ngày tháng năm 2006 Giảng viên 6 GIÁO ÁN SỐ 3 Số tiết 6 ĐH A 2 TÊN BÀI GIẢNG: CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC (TT) CHƯƠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  MỤC ĐÍCH: - Nắm các phương pháp tính đònh thức. - Điều kiện khả nghòch của một ma trận vuông, tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận vuông bằng ma trận phụ hợp, ma trận liên lợp. - Hạng của ma trận, các tính chất của hạng, đònh thức con cơ sở. - Biết hệ phương trình đại số tuyến tính và dạng ma trận của hệ. - Nắm và vận dụng được qui tắc Cramer. TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP §5 5.1 5.2 5.3 Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghòch. Ma trận phụ hợp, ma trận liên hợp của một ma trận vuông. + Ma trận phụ hợp của nj mi iij aA ,1 ,1 )( = = = là ma trận nj mi iij AA ,1 ,1 )( = = = . Tong đó A ij là phần bù đại số của phần tử a ij . + Ma trận liên hợp của A , kí hiệu A V , là T V AA = * Cho ví dụ. Đònh lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận A∈M n (R) khả nghòch là det A ≠0. Chứng minh (GT trang 68, 69) * Điều kiện cần: det A. det B = 1 * Điều kiện đủ: • Lập A A V (A V A) • Lưu ý 0,det 11 == ∑∑ ≠ == n ji k jkik n k ikik AaAAa => AA V = det A.I n Tương tự A V A = det A.I n Vậy A có nghòch đảo A A A V det 1 = − Cáo bước để tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phụ hợp. * B1: Tính det A: det A = 0 => A không có ma trận nghòch đảo. det A ≠ 0, thực hiện B2. 20’ 25’ Diễn giảng Minh họa Hướng dẫn 7 §6 6.1 6.2 §7 7.1 7.2 * B2: Tính Aij để xác đònh ma trận phụ hợp [ ] nj ni ij AA ,1 ,1 = = = Suy ra T V AA = * B3: Xác đònh T A A A det 1 1 = − Ví dụ 1 trang 34. Các Phương pháp tính toán đònh thức. Dùng công thức khai triển Laplace. Lưu ý: Nhân một hàng với một số chọn thích hợp rồi cộng vào một hàng khác để làm triệt tiêu các phần tử của một cột ngoại trừ một phần tử. Phương pháp dẫn về đònh thức tam giác. Dùng tính chất của đònh thức để biến đổi đònh thứcvề dạng đònh thức tam giác. Các ví dụ trang 70, 71 giáo trình. Hạng của ma trận. Đònh nghóa: Cho ma trận A∈M mxn (|R) + Nếu trong ma trận A ta tách ra k hàng, k cột bất kì thì các phần tử trên các giao điểm của các hàng và các cột đó tạo thành một ma trận vuông cấp k. Đònh thức của ma trận này được gọi là đònh thức con cấp k của ma trận A [ta có k ≤ min (m, n)]. + Hạng của ma trận A, kí hiệu r (A) là cấp lớn nhất của đònh thức con khác không của A. * Chú ý: Nếu r (A) = r thì 0 ≤ r ≤ min (m, n) và lúc đó mọi đònh thức con cấp lớn hơn r đều bằng 0. [r (A) = 0 ⇔ A = 0] + Nếu r (A) = r thì A có chứa ít nhất một đònh thức con khác không cấp r, mỗi đònh thức con khác không cấp r bất kì của A được gọi là một đònh thức con cơ sở của A. + Một ma trận A có thể có nhiều đònh thức con cơ sở. Ta chọn xét một trong các đònh thức con cơ sở, lúc đó hàng và cột mà trên các giao điểm của chúng là các phần tử của đònh thức con cơ sở đã chọn được gọi là hàng và cột cơ sở. Các tính chất. * Tính chất 1: r (A) = r (A T ) ∀A∈M mxn (R). * Tính chất 2: Gọi A’ là ma trận có được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, ta nói A’ là ma trận tương đương với A và ta có r(A’) = r (A). * Tính chất 3: Hạng của một ma trận không thay đổi nếu ta gạch bỏ một hàng không (hàng toàn số 0). * Tính chất 4: Hạng của một ma trận không thay đổi nếu ta gạch bỏ một hàng là một tổ hợp tuyến của các hàng khác. * Tính chất 5: Hạng của một ma trận bậc thang dòng bằng số hàng khác không của ma trận đó. 25’ Diễn giảng Minh họa. 8 §1 §2 2.1 Ví dụ: Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng phép toán sơ cấp về hàng (giáo trình trang 77). Bài tập: 19, 28, 33, 36 CHƯƠNG IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH. Đònh nghóa: * Hệ phương trình đại số tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng:        =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111  (1) Hệ (1) ⇔ AX = B Với A = [ ] nj mi ij a ,1 ,1 = = gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình. X =             n x x x  2 1 gọi là ma trận cột ẩn số. B =             m b b b  2 1 gọi là ma trận cột hằng số. Trong quá trình giải, ta thường dùng ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở rộng của hệ phương trình. * Khi tất cả các hằng số b 1 , b 2 , ……, b m đều bằng 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. * Nghiệm của hệ (1) là bộ (x 1 , x 2 , ……, x n ) sao cho mọi phương trình trong hệ được thỏa. * Hai hệ phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. * Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có một nghiệm tầm thường là (0, 0, …, 0) * Hệ phương trình cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính (GT). Các đònh lý. Đònh lý Cramer. Cho hệ phương trình tuyến tính có n phương trình, n ẩn. Gọi A là ma trận hệ số của phương trình, lúc đó nếu det A ≠ 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất (x 1 , x 2 , ……, x n ) với njx j j ,1, = ∆ ∆ = . Trong đó ∆ j là đònh thức của ma trận có được từ A bằng cách thay cột thứ j bởi vectơ cột hằng số B. Chứng minh (GT trang 73). * Bước 1: Tồn tại nghiệm C 0 = A -1 B. * Bước 2: Nghiệm duy nhất. 45’ 15’ 25’ 9 * Bước 3: Tính nghiệm: njxBAC j j ,1, 1 0 = ∆ ∆ =⇔= − - Ví dụ: Giáo trình trang 74, 75. - Bài tập: Giáo trình trang 93, 94 45’  TỔNG KẾT BÀI (5 phút): - Điều kiện khả nghòch, nghòch đảo của một ma trận vuông. - Hạng của ma trận. - Qui tắc Cramer. - Bài tập về nhà: từ bài 85 đến bài 95 trang 94, 95 giáo trình.  RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 2006 Khoa Tổ bộ môn Ngày tháng năm 2006 Giảng viên GIÁO ÁN SỐ 4 Số tiết 6 ĐH A 2 TÊN BÀI GIẢNG: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH(TT)  MỤC ĐÍCH: - Hiểu và vận dụng được đònh lý Kronecker-Capelli để giải hệ phương trình tuyến tính. - Nắm được các đònh lý về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP 10 [...]... về hệ phương trình cơ sở 15’ Diễn giải Hệ phương trình đại số tuyến tính tương đương với hệ phương trình cơ sở của nó * Giới thiệu về hệ phương trình cơ sở: Nếu r (A) = r, chọn một đònh thức ~ con cơ sở của A = [ A | B] , ta có các hàng cơ sở tương ứng Hệ gồm r phương trình của hệ mà các hệ số chưa hệ số các hàng cơ sở được gọi là hệ phương trình cơ sở của hệ đã cho * Chứng minh: + Mọi nghiệm của hệ. .. nghiệm của hệ cơ sở ~ + Mỗi hàng bất kì của A là một tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ sở Như vậy mỗi phương trình của hệ đã cho đều có thể thu được bằng các phép toán tuyến tính từ hệ cơ sở => Mọi nghiệm của hệ cơ sở là nghiệm của hệ đã cho 30’ Diễn giải 2.3 Đònh lý Kronecker Capelli: ~ Hệ phương trình AX = B tương thích khi và chỉ khi r (A) = r ( A ) với ~ A = [ A | B] ~ Nếu r (A) = r ( A ) = n: hệ có... 0,…, 0) là nghiệm của hệ đã cho, vậy hệ số cho là tương thích Bây giờ xét hệ phương trình cơ sở ~ a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 a x + a x + + a x = b  21 1 22 2 2n n 2   a r1 x1 + a r 2 x 2 + + a rn x n = br  (*) * Nếu r ( A ) = r (A) = r = n Thì hệ (*) là hệ có n phương trình, n ẩn, đònh thức của hệ khác 0 nên theo đònh lý Cramer, hệ (*) có nghiện duy nhất, vậy hệ đã cho có nghiệm duy... 1: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính không thuần 10’ Giải thích 4.1 nhất có nghiệm không tầm thường là r (A) < n §4 12 Đònh lý này là hệ quả của đònh lý Kronecker Capelli Từ đònh lý 1, ta có ngay các hệ quả sau: * Hệ quả 1: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất mà số phương trình bé hơn số ẩn thì luôn có nghiệm khác không * Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính... đònh thức của hệ bằng 0 (Vì r (A) < n ⇔ det A = 0) 4.2 Đònh lý 2: Nếu các vectơ cột C1, C2…, Cn là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 thì ô«3 hợp tuyến tính bất kì C = λC1 + A2C2 +… + AnCn cũng là nghiệm của hệ Chứng minh: C1, C2…, Cn là nghiệm của hệ nên ta có: AC1 = AC2 = ……= ACn = 0 Từ đó suy ra AC = 0, suy ra C là nghiệm của hệ Đònh lý 3: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình...  lần lượt là nghiệm của hệ không thuần nhất và hệ thuần nhất tương ứng, ta có AC = B và AD = 0, suy ra: A (C+D) = AC + AD = B + 0 = B Vậy C+D là nghiệm của hệ phương trình AX = B Như vậy: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình AX = B bằng nghiệm tổng quát của hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0 cộng với một nghiệm riêng bất kì của hệ không thuần nhất - Ví dụ: trang 85 giáo trình 10’ Hướng dẫn... Các nghiệm C1, C2…, Cn-r được gọi là hệ nghiệm cơ sở 5’ 5’ 10’ Giải thích 10’ Giới thiệu về tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính Lưu ý r . GIÁO ÁN ĐH A2 Số tiết 6 GIÁO ÁN TOÁN A2 HỆ ĐẠI HỌC TÊN BÀI GIẢNG: CHƯƠNG II: MA TRẬN (TT) CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC  MỤC ĐÍCH: - Có kó năng thực hiện các phép toán trên ma trận. -. phương trình của hệ mà các hệ số chưa hệ số các hàng cơ sở được gọi là hệ phương trình cơ sở của hệ đã cho. * Chứng minh: + Mọi nghiệm của hệ đã cho hiển nhiên là nghiệm của hệ cơ sở. + Mỗi hàng. mỗi phương trình của hệ đã cho đều có thể thu được bằng các phép toán tuyến tính từ hệ cơ sở => Mọi nghiệm của hệ cơ sở là nghiệm của hệ đã cho. Đònh lý Kronecker Capelli: Hệ phương trình AX