Đáp án đề thi Đại Học môn Toán 2003
Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối D Nội dung điểmCâu 1. 2điểm1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2242xxyx +=. 1 điểmTập xác định :R \{ 2 }. Ta có 224 4.22xxyxxx+==+ 222044' 1 . ' 04.(2) (2)xxxyyxxx== = = = []4lim lim 02xxyxx = = tiệm cận xiên của đồ thị là: yx=, tiệm cận đứng của đồ thị là: 2limxy=2x =. Bảng biến thiên: Đồ thị không cắt trục hoành. Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 2). 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2) 1 điểmĐờng thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt md phơng trình 4222x mx mx+=+ có hai nghiệm phân biệt khác 2 2( 1)( 2) 4mx = có hai nghiệm phân biệt khác 2 10m > 1.m > Vậy giá trị cần tìm là m1.m> 0,5đ 0,5đ x2622 4Oyx 0 2 4 + y + 0 0 + 2 + + y CĐ CT 6 1 Câu 2. 2điểm1) Giải phơng trình 222tg cos 024 2xxxsin (1) =1 điểmĐiều kiện: (*). Khi đó cos 0x()221sin1(1) 1 cos 1 cos222cosxx xx =+() ( )221sin sin 1cos cosx xx =+ x () ( )1 sin (1 cos )(1 cos ) 1 cos (1 sin )(1 sin )x xx xx + =+ + x ()1 sin (1 cos )(sin cos ) 0xxxx + + = 2sin 12cos 1 2tg 1 4x kxx xkxx k=+===+== + ()k Z. Kết hợp điều kiện (*) ta đợc nghiệm của phơng trình là: 24x kx k=+= + (). k Z 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2) Giải phơng trình (1). 22222xx xx+ 3=1 điểmĐặt . 220xxtt=>Khi đó (1) trở thành 243340(1)(4)0tttttt= =+ ==4t (vì t) 0>Vậy 2224xxxx= =212.= =xx Do đó nghiệm của phơng trình là 12.= =xx 0,5đ 0,5đ Câu 3. 3điểm1) 1 điểmTừ () suy ra có tâm và bán kính 22:( 1) ( 2) 4+ =Cx y ()C (1; 2)I2.R =Đờng thẳng có véctơ pháp tuyến là nd(1; 1). = uurDo đó đờng thẳng đi qua và vuông góc với d có phơng trình: (1; 2)I1211xyxy30 = +=. Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phơng trình: Hd10 2(2;1).30 1 xy xHxy y= =+= = Gọi là điểm đối xứng với qua . Khi đó J(1; 2)Id23(3;0)20 JHIJHIxxxJyxx====. Vì đối xứng với ( qua nên có tâm là và bán kính Do đó có phơng trình là: (')C(C)Cd(')C22(3;0)J2.R =')(3) 4 +xy=. Tọa độ các giao điểm của ( và là nghiệm của hệ phơng trình: )C (')C2222 22210 1(1) ( 2) 4 1, 03, 2.(3) 4 2 860(3) 4xy yxxy xyxyxy xxxy= =+ = = ===+= +=+= Vậy tọa độ giao điểm của và ( là và ()C ')C (1; 0)A (3;2).B 0,5 0,25đ 0,25đ 2 2) 1 điểmTa có cặp vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định là kd1(1; 3 ; 1)= uurnk và . Vectơ pháp tuyến của là 2(; 1;1)=uurnk()P (1; 1; 2)= rn . Đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là: kd212,(31;1;13)0 k k kr Nên 21 131.11 2kk kk= = = Vậy giá trị cần tìm là 0,5đ 0,5 đ 3) 1 điểmTa có (P) (Q) và = (P) (Q), mà AC AC (Q) AC AD, hay . Tơng tự, ta có BD nên BD (P), do đó CBD . Vậy A và B A, B nằm trên mặt cầu đờng kính CD. 090=CAD090=Và bán kính của mặt cầu là: 22122CDR BC BD== + 2221322aAB AC BD=++=. Gọi H là trung điểm của BC AH BC. Do BD (P) nên BD AH AH (BCD). Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và 12.22aAH BC== 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu 4. 2điểm1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số211xyx+=+ trên đoạn [ ]1; 2. 1 điểm231'.(1)xyx=+ '0 1yx==. Ta có3(1) 0, 2, (2) .5 y(1) yy= = = Vậy []1; 2(1) 2maxyy== và []1; 2min ( 1) 0.yy= = 0,5đ 0,5đ 2) Tính tích phân 220 I xxd=x. 1 điểmTa có 200 1x xx , suy ra 122201() () = + I x x dx x x dx 1223 32011.23 32= + =xx xx 0,5đ 0,5đ unn k==r uuruur31() || kdPun rrk 1.=k.A BC D PQ H 3 Câu 5. 1điểmCách 1: Ta có (2021222241) .nnn nnn nnnx Cx Cx Cx C+= + + ++, 011222333( 2) 2 2 2 . 2nn n n n nnn n nnnx Cx Cx Cx Cx C+= + + + ++. Dễ dàng kiểm tra 1, 2= =nn không thỏa mãn điều kiện bài toán. Với thì 3n33 2 3 22 1.nnnnnxxxxx==Do đó hệ số của 33nx trong khai triển thành đa thức của là 2(1)(2++nnxx)nC303 11332. . 2. .nnnnaCCC=+. Vậy 23352(2 3 4)26 26732=+= == nnnn nan nn Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dơng). 5=n nCách 2: Ta có 232332200 0012(1)(2) 1 1122.nnnnniknn nnni k niikkknn nnik ikxx xxxxC C xCxCxxx== ==++= + + == Trong khai triển trên, luỹ thừa của x là 33n khi 23ik =3k, hay Ta chỉ có hai trờng hợp thỏa điều kiện này là 23ik+=.0,i= = hoặc i1, 1k= =. Nên hệ số của 33nx là . 033 1133 2 2nnn nnaCCCC=+Do đó 23352(2 3 4)26 26732=+= == nnnn nan nn Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dơng). 5=n n 0,75đ 0,25đ hoặc 0,75đ 0,25đ 4 . Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối D Nội dung. Cx Cx C+= + + + ++. Dễ dàng kiểm tra 1, 2= =nn không thỏa mãn điều kiện bài toán. Với thì 3n33 2 3 22 1.nnnnnxxxxx==Do đó hệ số của 33nx trong khai triển